D20245. Double inscription
D´em´enageant mes archives, je range mes boˆıtes de documents dans des caisses dont la largeur est exactement celle des boˆıtes.
Dans une des caisses (ABF G), la seconde boˆıte (P QRS) s’est coinc´ee en travers au-dessus de la premi`ere (ABCD). L’arˆete R de la boˆıte affleure exactement au niveau sup´erieurF G de la caisse.
a) Montrez sans calcul que le point S se situe au milieu de AG. Tirez-en une indication sur les proportions de la caisse.
b) Rang´ees comme la premi`ere, les boˆıtes remplissent exactement la caisse.
Combien y en a-t-il ? Quelles sont les proportions des boˆıtes, et des caisses ?
Solution
a) On passe de ABCD `a P QRS par un d´eplacement qui n’est pas une translation, mais une rotation dont le centre appartient aux m´ediatrices de AP, BQ, CR, DS. Les m´ediatrices de BQ et DS, parall`eles toutes deux `aAB, doivent donc ˆetre confondues etBQSDest un trap`eze isoc`ele.
Les segments BD et SQ ont des projections ´egales sur AG; il en est de mˆeme des vecteurs ´egaux P S et QR. Donc SR se projette en SG=AS, CQFD.
Quant aux proportions de la caisse, la disposition de la figure n´ecessite queSR > SG, doncAG= 2SG <2SR= 2AB.
b) L’in´egalit´e DS < P S=AD conduit `a AD < AS =AG/2 =AD+DS <2AD.
Le rapport AG/AD est donc strictement compris entre 2 et 4. S’il est entier (c’est alors le nombre de boˆıtes remplissant exactement la caisse), il vaut 3.
Soitα= (AB, AC) = (AB, SQ) = (SQ, P Q) = (P Q, P R).
On a (AB, P R) = 3α,DG=AG−AD= 2AD, puis sin(3α) =DG/P R= 2AD/AC = 2 sinα,
d’o`u on tire sinα= 1/2, α=π/6, AB/AD= cotα=√
3,AG/AB = 3AD/AB = 3 tanα=√ 3.
Les triangles ABC etAGF sont des demi-triangles ´equilat´eraux.
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