A565. Qui sommes-nous ?
On considère l’ensemble E des entiers naturels n≤ 2013 tels que le produit des diviseurs propres* de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention,on dit que l’empan de n est égal à k. Par exemple l’entier 12 appartient à E avec ses diviseurs propres 1,2,3,4 et 6 qui ont pour produit 144 = 122 et son empan est égal à 2. A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie de E.
Quatre entiers A,B,C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant à E forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E . »
C : « Je suis plus petit que A mais j’ai le même empan que lui. »
D : « Parmi les entiers de E supérieurs à B comme moi, tous ont un empan différent du mien. » Qui sommes-nous ?
*Nota : diviseur propre ou diviseur aliquote : tout entier naturel qui divise exactement un entier autre que lui-même
Solution proposée par David Amar
Propriété 1 : est l’ensemble des entiers inférieurs ou égaux à 2013 qui ne sont ni premier, ni carrés.
Démonstration : à tout diviseur propre d’un nombre, on peut associer son co-diviseur propre distinct, sauf
- pour le diviseur 1 (qui a bien un co-diviseur, mais non propre)
- ainsi que la racine d’un nombre carré : elle est son propre co-diviseur.
Le produit d’un diviseur et de son co-diviseur donne à chaque fois le nombre de départ. Le produit de tous les diviseurs propres d’un nombre peut donc être groupé par paires de même produit et donc par puissances de notre nombre de départ.
Les nombres premiers n’ont pas d’autre diviseur propre que 1, il n’y a donc pas de produit possible ; et les carrés se retrouvent avec un produit qui est une puissance impaire de leur racine, mais eux-mêmes ne sont pas premiers.
Propriété 2 : Soit un nombre de et ses facteurs premiers ; l’empan de vaut Démonstration : D’après ce qu’on a vu, chaque paire de diviseurs introduit un facteur dans le produit calculé ; or possède diviseurs, en ôtant 1 et lui-même, puis en comptant les paires on trouve
Propriété 3 : si a un empan pair, c’est le produit d’un premier et d’un carré.
Démonstration : si a un empan pair, alors est congru à 2 modulo 4 d’après la propriété 2.
Cela signifie qu’un seul des termes du produit est pair, donc qu’un seul est impair et que les autres sont pairs : autrement dit, avec qui correspond à cet est un carré ; et
Notons que la réciproque est fausse : par exemple à pour empan 3.
Cherchons alors l’élément de ayant le plus grand empan, c'est-à-dire .
Il faut pour cela avoir le plus possible de facteurs premiers différents. On remarque que est trop grand pour faire partie de , il faudra donc chercher dans les multiples de . Il n’y en a que 10, ça va vite ; et on trouve avec pour empan .
Cherchons maintenant parmi les nombres suivants. Pour être efficace, ne partons pas des nombres eux-mêmes, mais de leur empan : si on trouve 2 nombres supérieurs à 1680 pouvant avoir le même empan, c’est que ce n’est pas bon.
Empan On cherche alors (non exhaustif) On trouve Et
1 Un cube ou un produit de 2 premiers 2 Le produit d’un carré de premier et d’un premier 3 Le produit de 3 premiers 4 Le produit d’un premier et d’un bicarré
5 Le produit de 2 premiers et d’un carré 1734 1690
6 Le produit d’un premier et de 64 1856 1984
7 Le produit de 4 premiers 1830 2010
…
On finit par trouver 2 valeurs possibles pour : 1728 et 1872.
On sait de plus que et que sont en progression arithmétique.
Partant de , on a alors assez peu de cas à tester et la propriété 3 nous permet de détecter rapidement si et on un empan pair.
On trouve alors , d’empans respectifs 19, 4, 4 et 14.
