Inf ´e rencesurvariablesr ´e ellesparunmod `e led’Ising

Inf´erence sur variables r´eelles par un mod`ele d’Ising

Victorin MARTIN

Plan de pr´esentation

1

Introduction/Probl´ ematique.

2

Construction du mod` ele d’Ising.

3

Algorithme d’inf´ erence.

4

Exp´ erimentations num´ eriques.

Probl´ematique

Champ Markovien de v.a.r

Ind´ependance conditionnelle Densit´e jointe :P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj) (Th´eor`eme de Hammersley-Clifford)

X

X

X

X

X

Observations

Probl´ematique

Champ Markovien de v.a.r

Ind´ependance conditionnelle Densit´e jointe :P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj) (Th´eor`eme de Hammersley-Clifford)

X

X

X

X

X

X

X

Observations

Probl´ematique

Champ Markovien de v.a.r

Ind´ependance conditionnelle Densit´e jointe :P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj) (Th´eor`eme de Hammersley-Clifford)

X

X

X

X

X

X

X

Observations

Pr´ edictions

Probl´ematique

Deux probl` emes ` a r´ esoudre

A partir d’un historique{X^k}k∈{1..M}, calibrer le mod`ele i.e.P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj).

R´ealiser l’inf´erence conditionnelle aux observations.

L’inf´ erence : un probl` eme th´ eoriquement trivial

Densit´efk(Xk) =

R

X\X_k

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj)dX.

SupposonsXcontenantnvariables binaires→2ⁿ⁻¹termes dans la somme...

Cas particulier : X ∼ N (µ, Σ)

Calibration simple ; estimation deµet Σ. Inf´erence exacte tractable.

Cas g´ en´ eral

Calibration et inf´erence sont fait de mani`ere approch´ee. Les 2 approximations s’influencent fortement...

Probl´ematique

Deux probl` emes ` a r´ esoudre

A partir d’un historique{X^k}k∈{1..M}, calibrer le mod`ele i.e.P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj).

R´ealiser l’inf´erence conditionnelle aux observations.

L’inf´ erence : un probl` eme th´ eoriquement trivial

Densit´efk(Xk) =

R

X\X_k

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj)dX.

SupposonsXcontenantnvariables binaires→2ⁿ⁻¹termes dans la somme...

Cas particulier : X ∼ N (µ, Σ)

Calibration simple ; estimation deµet Σ. Inf´erence exacte tractable.

Cas g´ en´ eral

Calibration et inf´erence sont fait de mani`ere approch´ee. Les 2 approximations s’influencent fortement...

Probl´ematique

Deux probl` emes ` a r´ esoudre

A partir d’un historique{X^k}k∈{1..M}, calibrer le mod`ele i.e.P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj).

R´ealiser l’inf´erence conditionnelle aux observations.

L’inf´ erence : un probl` eme th´ eoriquement trivial

Densit´efk(Xk) =

R

X\X_k

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj)dX.

SupposonsXcontenantnvariables binaires→2ⁿ⁻¹termes dans la somme...

Cas particulier : X ∼ N (µ, Σ)

Calibration simple ; estimation deµet Σ.

Inf´erence exacte tractable.

Cas g´ en´ eral

Calibration et inf´erence sont fait de mani`ere approch´ee. Les 2 approximations s’influencent fortement...

Probl´ematique

Deux probl` emes ` a r´ esoudre

A partir d’un historique{X^k}k∈{1..M}, calibrer le mod`ele i.e.P(X) =

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj).

R´ealiser l’inf´erence conditionnelle aux observations.

L’inf´ erence : un probl` eme th´ eoriquement trivial

Densit´efk(Xk) =

R

X\X_k

Q

(ij)ϕij(Xi,Xj)dX.

SupposonsXcontenantnvariables binaires→2ⁿ⁻¹termes dans la somme...

Cas particulier : X ∼ N (µ, Σ)

Calibration simple ; estimation deµet Σ.

Inf´erence exacte tractable.

Cas g´ en´ eral

Calibration et inf´erence sont fait de mani`ere approch´ee.

Les 2 approximations s’influencent fortement...

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires

On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires

On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires

On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires

On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

Notre approximation

MRF de variables r´ eelles

X

X

X

X

X

X

σ

σ

σ

σ

σ

MRF de variables binaires

On observe X

= x .

On en d´ eduit

P (σ

= 1|X

= x) = Λ

(x)

σ

P (σ

) P (σ

)

P (σ

) P (σ

)

σ

σ

σ

σ

Pr´ ediction

X ˆ

= Γ

( P (σ

))

R´esumons...

Sch´ ema Global

X

= x

∈ R −→

P (σ

= 1|X

= x

)





 y

inf´ erence X

= x

∈ R

Γj

←− P (σ

= 1) ∈ [0, 1]

Oublions le probl` eme d’inf´ erence (pour l’instant).

Comment choisir Λ (et Γ) ?

R´esumons...

Sch´ ema Global

X

= x

∈ R −→

P (σ

= 1|X

= x

)





 y

inf´ erence X

= x

∈ R

Γj

←− P (σ

= 1) ∈ [0, 1]

Oublions le probl` eme d’inf´ erence (pour l’instant).

Comment choisir Λ (et Γ) ?

R´esumons...

Sch´ ema Global

X

= x

∈ R −→

P (σ

= 1|X

= x

)





 y

inf´ erence X

= x

∈ R

Γj

←− P (σ

= 1) ∈ [0, 1]

Oublions le probl` eme d’inf´ erence (pour l’instant).

Comment choisir Λ (et Γ) ?

Choix de Λ

Choisir Λ est ´ equivalent ` a d´ efinir σ

Λ(x) =P(σ= 1|X =x) P(σ= 1) =

R

xΛ(x)dFX(x), avecFX(x) =P(X ≤x)

Diff´ erents crit` eres

Information mutuelle. Entropie.

Contraintes sur Λ

Fonction croissante (de 0 `a 1), c`adl`ag.

Choix de Λ

Choisir Λ est ´ equivalent ` a d´ efinir σ

Λ(x) =P(σ= 1|X =x) P(σ= 1) =

R

xΛ(x)dFX(x), avecFX(x) =P(X ≤x)

Diff´ erents crit` eres

Information mutuelle.

Entropie.

Contraintes sur Λ

Fonction croissante (de 0 `a 1), c`adl`ag.

Choix de Λ

Choisir Λ est ´ equivalent ` a d´ efinir σ

Λ(x) =P(σ= 1|X =x) P(σ= 1) =

R

xΛ(x)dFX(x), avecFX(x) =P(X ≤x)

Diff´ erents crit` eres

Information mutuelle.

Entropie.

Contraintes sur Λ

Fonction croissante (de 0 `a 1), c`adl`ag.

Une interpretation stochastique de Λ

Λ est la distribution d’une variable al´ eatoire.

C`adl`ag, croissante de 0 `a 1.

⇒ ∃Y v.a.r|Λ(x) =P(Y ≤x) =FY(x).

σ

= 1 1

.

Example

Λ =FX⇒(X|σ= 1)∼max(X1,X2), (X|σ= 0)∼min(X1,X2).

Une interpretation stochastique de Λ

Λ est la distribution d’une variable al´ eatoire.

C`adl`ag, croissante de 0 `a 1.

⇒ ∃Y v.a.r|Λ(x) =P(Y ≤x) =FY(x).

σ

= 1 1

.

Example

Λ =FX⇒(X|σ= 1)∼max(X1,X2), (X|σ= 0)∼min(X1,X2).

Une interpretation stochastique de Λ

Λ est la distribution d’une variable al´ eatoire.

C`adl`ag, croissante de 0 `a 1.

⇒ ∃Y v.a.r|Λ(x) =P(Y ≤x) =FY(x).

σ

= 1 1

.

Example

Λ =FX⇒(X|σ= 1)∼max(X1,X2), (X|σ= 0)∼min(X1,X2).

Fonction de d´ecodage Γ

Si Λ est inversible

On peut chosir Γ = Λ⁻¹.

Λ⁻¹(b) correspond `a la seule valeur deX telle que (σ|X =x) soit distribu´e selonb.

Plus g´ en´ eralement, Λ n’est “que” c` adl` ag.

En d´econditionnant parσon obtient une distribution ˆF : Fˆ(x) =bF¹(x) + (1−b)F⁰(x). avecF^s(x) =P(X ≤x|σ=s).

On calcule la statistique souhait´ee de ˆF (moyenne, m´ediane, ...). On peut faire cela que Λ soit inversible ou non.

Fonction de d´ecodage Γ

Si Λ est inversible

On peut chosir Γ = Λ⁻¹.

Λ⁻¹(b) correspond `a la seule valeur deX telle que (σ|X =x) soit distribu´e selonb.

Plus g´ en´ eralement, Λ n’est “que” c` adl` ag.

En d´econditionnant parσon obtient une distribution ˆF : Fˆ(x) =bF¹(x) + (1−b)F⁰(x).

avecF^s(x) =P(X ≤x|σ=s).

On calcule la statistique souhait´ee de ˆF (moyenne, m´ediane, ...).

On peut faire cela que Λ soit inversible ou non.

Choix de Λ

Information Mutuelle, Λ

argmax

I (σ, X ) = 1 1

X }

.

D´ emonstration.

I(X, σ) =H(P(σ= 1))−

Z

x

H(Λ(x))dFX(x),

avecH(x) =−xlogx−(1−x) log(1−x). Terme de droite nul pour Λ(x)∈ {0,1}, terme de gauche maximal pourP(σ= 1) = 0.5.

σ est une fonction d´ eterministe de X & Λ non inversible.

Entropie (relative ` a la mesure uniforme)

Entropie de U = Λ(X )

Entropie, Λ

argmax

S(Λ) = F

(x ) (fonction de repartition de X ).

D´ emonstration.

L’entropie est maximale pour une variable uniforme sur [0,1] et la fonction de repartition transformeX en une v.a. uniforme.

Sans observations, quelle pr´ ediction ?

P(σ= 1) = ¹₂.

F_X⁻¹(P(σ= 1)) =q_X^0.5⇒optimal seulement pour une erreurL¹.

σ est une variable al´ eatoire ` a X fix´ e.

Entropie (relative ` a la mesure uniforme)

Entropie de U = Λ(X )

Entropie, Λ

argmax

S(Λ) = F

(x ) (fonction de repartition de X ).

D´ emonstration.

L’entropie est maximale pour une variable uniforme sur [0,1] et la fonction de repartition transformeX en une v.a. uniforme.

Sans observations, quelle pr´ ediction ?

P(σ= 1) = ¹₂.

F_X⁻¹(P(σ= 1)) =q_X^0.5⇒optimal seulement pour une erreurL¹.

σ est une variable al´ eatoire ` a X fix´ e.

Correlations des variables binaires

Loi des paires de variables binaires

Loi marginales fix´ees par le choix de Λ

P(σi = 1) =

Z

x

Λi(x)dFx(x).

Reste un param`etre de corr´elationP(σiσj= 1).

Deux m´ ethodes

M´ethode des moments :E[Λ1(X1)Λ2(X2)] =hΛ1(X1)Λ2(X2)i:

cov(σ1, σ2) =^cov(Λ

c

Y

i∈{1,2}

var(σi) var(Λi(Xi)).

Maximum de vraisemblance (via l’algorithme EM).

Correlations des variables binaires

Loi des paires de variables binaires

Loi marginales fix´ees par le choix de Λ

P(σi = 1) =

Z

x

Λi(x)dFx(x).

Reste un param`etre de corr´elationP(σiσj= 1).

Deux m´ ethodes

M´ethode des moments :E[Λ1(X1)Λ2(X2)] =hΛ1(X1)Λ2(X2)i:

cov(σ1, σ2) =^cov(Λ

c

Y

i∈{1,2}

var(σi) var(Λi(Xi)).

Maximum de vraisemblance (via l’algorithme EM).

Inf´erence

Objectif : calcul approch´ e des lois marginales

A partir d’une forme produit.

P(σ) =

Y

(ij)

ϕij(σi, σj)

Y

i

θi(σi)

Belief Propagation (BP)

M´ethode it´erative par passage de messages.

Marginales exactes si le graphe ne comporte pas de cycle.

Minimisation d’une pseudo-distance aux vraies marginales en g´en´eral. S’il y a convergence...

Inf´erence

Objectif : calcul approch´ e des lois marginales

A partir d’une forme produit.

P(σ) =

Y

(ij)

ϕij(σi, σj)

Y

i

θi(σi)

Belief Propagation (BP)

M´ethode it´erative par passage de messages.

Marginales exactes si le graphe ne comporte pas de cycle.

Minimisation d’une pseudo-distance aux vraies marginales en g´en´eral.

S’il y a convergence...

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1)

m4→2 m2→5 m5→3(1)

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1)

m4→2 m2→5 m5→3(1)

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1)

m4→2 m2→5 m5→3(1)

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1)

m4→2 m2→5 m5→3(1)

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1)

m4→2 m2→5 m5→3(1)

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1) m4→2

m5→3(1) m2→5

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1) m4→2

m5→3(1)

m2→5

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1) m4→2

m5→3(1) m2→5

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Formule de mise ` a jour des messages

Message envoy´e par un noeud i vers un noeudj mi→j(σj)∝

X

σ_i∈{0,1}

ϕij(σi, σj) θi(σi)

Y

k∈∂j\i

mk→i(σi).

σ

σ

σ

σ

σ

m1→4

m5→4

m4→2(1)

θ4(1)m5→4(1)m1→4(1) θ4(1)m5→4(0)m1→4(0)

m2→5(1)

m4→2 m2→5 m5→3(1)

m4→5

bi(σi)∝θi(σi)

Y

j∈∂i

mj→i(σi) bij(σi, σj)∝ϕij(σi, σj) b_i(σ_i)b_j(σ_j) mi→j(σi)mj→i(σj)

Belief Propagation

Comment introduire nos observations ?

Une observation deXi se traduit en probabilit´e surσi. Fixer la valeur deσi est naturel avec BP pas sa probabilit´e.

Comment fixer une probabilit´e ?

Repartons du probl` eme de minimisation

{Points fixes stables de BP} ⊂ {Minima locaux d’une approximation de KL(b||P)}

min

b

X

σ

b(σ) logb(σ) P(σ) sous contraintes

b(σ) =

Y

(ij)

bij(σi, σj) bi(σi)bj(σj)

Y

i

bi(σi),

X

σ_j

bij(σi, σj) =bi(σi),

X

σ_j

bj(σj) = 1.

L’´equation de mise `a jour est obtenue `a partir des points stationnaires du Lagrangien de ce probl`eme.

Belief Propagation

Comment introduire nos observations ?

Une observation deXi se traduit en probabilit´e surσi. Fixer la valeur deσi est naturel avec BP pas sa probabilit´e.

Comment fixer une probabilit´e ?

Repartons du probl` eme de minimisation

{Points fixes stables de BP} ⊂ {Minima locaux d’une approximation de KL(b||P)}

min

b

X

σ

b(σ) logb(σ) P(σ) sous contraintes

b(σ) =

Y

(ij)

bij(σi, σj) bi(σi)bj(σj)

Y

i

bi(σi),

X

σ_j

bij(σi, σj) =bi(σi),

X

σ_j

bj(σj) = 1.

L’´equation de mise `a jour est obtenue `a partir des points stationnaires du Lagrangien de ce probl`eme.

Mirror Belief Propagation

Nouvelles contraintes

Pour chaque observationX_i=x_i on ajoute une contrainte du type

bi(σi= 1) = Λ(xi)^def=b^∗_i(1), bi(σi= 0) = 1−Λ(xi)^def=b^∗_i(0)

Version modifi´ee de Belief Propagation : mi→j(σj) inchang´e siXi n’est pas observ´e sinon :

mi→j(σj)∝

X

σ_i

ϕij(σi, σj) b_i^∗(σi) mj→i(σi) Le noeudi ne laisse plus traverser d’information.

Mirror Belief Propagation

Nouvelles contraintes

Pour chaque observationX_i=x_i on ajoute une contrainte du type

bi(σi= 1) = Λ(xi)^def=b^∗_i(1), bi(σi= 0) = 1−Λ(xi)^def=b^∗_i(0) Version modifi´ee de Belief Propagation :

mi→j(σj) inchang´e siXi n’est pas observ´e sinon :

mi→j(σj)∝

X

σ_i

ϕij(σi, σj) b_i^∗(σi) mj→i(σi) Le noeudi ne laisse plus traverser d’information.

Exp´erimentations num´eriques

D´ etail de l’exp´ erience

On observe les variables dans un ordre al´ eatoire. On pr´ edit les variables non observ´ ees.

On calcule l’erreur L

moyenne de pr´ ediction.

Donn´ ees synth´ etiques

Variables β(a, b) distribu´ ees sur un arbre.

Exp´erimentations num´eriques

D´ etail de l’exp´ erience

On observe les variables dans un ordre al´ eatoire.

On pr´ edit les variables non observ´ ees.

On calcule l’erreur L

moyenne de pr´ ediction.

Donn´ ees synth´ etiques

Variables β(a, b) distribu´ ees sur un arbre.

Exp´erimentations num´eriques

D´ etail de l’exp´ erience

On observe les variables dans un ordre al´ eatoire.

On pr´ edit les variables non observ´ ees.

On calcule l’erreur L

moyenne de pr´ ediction.

Donn´ ees synth´ etiques

Variables β(a, b) distribu´ ees sur un arbre.

Exp´erimentations num´eriques

D´ etail de l’exp´ erience

On observe les variables dans un ordre al´ eatoire.

On pr´ edit les variables non observ´ ees.

On calcule l’erreur L

moyenne de pr´ ediction.

Donn´ ees synth´ etiques

Variables β(a, b) distribu´ ees sur un arbre.

Exp´erimentations num´eriques

D´ etail de l’exp´ erience

On observe les variables dans un ordre al´ eatoire.

On pr´ edit les variables non observ´ ees.

On calcule l’erreur L

moyenne de pr´ ediction.

Donn´ ees synth´ etiques

Variables β(a, b) distribu´ ees sur un arbre.

Exp´erimentations num´eriques

23 24 25 26 27 28 29 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

β(0.12, 0.28)

Median F , F

F , Γ

Λ

KNN

Ground Truth

Merci de votre attention !

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X-quantile prediction

Belief b(1)

Quantile of X prediction for p=1/2 and different Decoding Methods StepFunction

Cumulative Inverse of Lambda (sqrt(2)-1)*x + 1-sqrt(2)/2

Exp´erimentations num´eriques

13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

β(2, 3)

Median F , F

F , Γ

Λ

KNN

Ground Truth