Feuille d’exercices n˚13 Probabilit´ es

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚13 Probabilit´ es

Exercice 198 : Soitn∈N,n≥3. Un joueur lance une bille sur une planche perc´ee de ntrous num´erot´es de 1 `a n.

La bille tombe dans un trou et un seul. On sait que pour toutk∈J1, n−1K, la probabilit´e que la boule tombe dans le trou n˚k est de 1/3^k.

Quelle est la probabilit´e que la boule tombe dans le trou n˚n?

Exercice 199 : On jette trois d´es non truqu´es `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6. Calculer : 1. la probabilit´e d’avoir exactement un 6.

2. la probabilit´e d’avoir au moins un 6.

3. la probabilit´e d’obtenir au moins deux faces identiques.

Exercice 200 : Un tiroir contient 12 paires de chaussettes toutes diff´erentes, non rang´ees par paires. On prend 4 chaussettes au hasard.

Quelle est la probabilit´e d’obtenir : 1. 2 paires compl`etes ?

2. au moins une paire ? 3. une paire et une seule ?

Exercice 201 : Une urne contient 8 boules num´erot´ees de 1 `a 8. On tire trois fois de suite une boule avec remise.

Quelle est la probabilit´e d’obtenir 3 nombres : 1. dans un ordre strictement croissant ? 2. dans un ordre croissant ?

Exercice 202 : On re¸coit simultan´ement 5 cartes tir´ees au hasard dans un jeu de 52 cartes. Un jeu de 52 cartes est form´e de 4 couleurs (tr`efle, pique, carreau, coeur), contenant chacune 13 valeurs class´ees dans l’ordre : 2, 3, . . ., 10, valet, dame, roi, as.

D´eterminer la probabilit´e d’avoir :

1. une quinte flush (5 cartes cons´ecutives (par ordre de valeurs), d’une mˆeme couleur) ; 2. un carr´e (4 cartes de la mˆeme valeur) ;

3. un full (3 cartes de la mˆeme valeurV1 d’une part et 2 cartes de valeur identiqueV26=V1) ; 4. une quinte (5 cartes de valeurs cons´ecutives (par ordre de valeurs), de couleurs diff´erentes) ; 5. un brelan (3 cartes de la mˆeme valeur qui ne forment pas avec les autres un carr´e ou un full).

Exercice 203 : Dans une urne, on place 10 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement avec remise 4 boules de l’urne. On noteNl’´ev`enementobtenir une boule noire etB l’´ev`enementobtenir une boule blanche.

1. Quelle est la probabilit´e pour que l’on obtienne le r´esultat (N, N, B, B) ? 2. Quelle est la probabilit´e d’obtenir deux boules blanches exactement ? 3. Quelle est la probabilit´e d’obtenir au moins une boule blanche ?

1

F Exercice 204 : En vue d’estimer la taille d’une population deN animaux (N est inconnu), on effectue les op´erations suivantes :

• on capture simultan´ementaanimaux que l’on marque, puis on les relˆache parmi les autres ;

• quelques temps plus tard, on capture simultan´ementnanimaux et on observe quek d’entre eux sont marqu´es.

On suppose queN est assez grand pour ˆetre sup´erieur `a n+a.

1. On veut calculer la probabilit´ep_N de tirer un ´echantillon denanimaux dontk sont marqu´es.

(a) D´eterminer le nombre d’´echantillons de taillen.

(b) D´eterminer le nombre d’´echantillons de taillencontenantkanimaux marqu´es.

(c) En d´eduirepN.

2. On veut d´eterminer la valeur de N qui rend cette probabilit´e maximale.

(a) CalculerqN = pN

p_N−1 pour toutN ∈N^∗. (b) ´Etudier le signe deq_N−1 en fonction deN.

(c) En d´eduire qu’il existe un entierN₀qui rendp_N maximale. Cette valeurN₀ est l’estimation deN la plus vraisemblable.

3. Application num´erique : ´Evaluer la population des poissons d’un lac sachant que 200 poissons ont ´et´e marqu´es et que lors de la capture de 150 poissons, on en a comptabilis´e 15 de marqu´es.

F Exercice 205

1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : une porte le num´ero 1, deux le num´ero 2, trois le num´ero 3, quatre le num´ero 4.

(a) On tire au hasard une boule. D´eterminer la probabilit´e d’obtenir un num´ero pair.

(b) On tire au hasard simultan´ement deux boules. D´eterminer la probabilit´e d’obtenir deux num´eros de mˆeme parit´e.

2. Soitn≥2 un entier naturel. Une urne contient des boules, indiscernables au toucher, num´erot´ees de 1 `an.

On suppose que pour toutk∈J1, nK, il y akboules portant le num´erok.

(a) Combien y a-t-il de boules dans l’urne ? (b) On tire une boule au hasard dans l’urne.

i. Si on supposenpair, d´eterminer la probabilit´epnd’obtenir une boule portant un num´ero pair. Comparer pn `a 1

2.

ii. Si on suppose n impair, d´eterminer la probabilit´e q_n d’obtenir une boule portant un num´ero pair.

Comparerq_n `a 1 2. iii. D´eterminer lim

l→+∞p2l et lim

l→+∞q2l+1.

Exercice 206 : Quatre amis a, b, c, d sont all´es au restaurant, chacun avec sa voiture, et ont confi´e leurs clefs au voiturier qui les a m´elang´ees et rendues au hasard.

Soient

A l’´ev`enementas’est vu remettre sa clef, B l’´ev`enement bs’est vu remettre sa clef, C l’´ev`enementcs’est vu remettre sa clef, D l’´ev`enementds’est vu remettre sa clef. 1. Calculer les probabilit´esP(A),P(A∩B),P(A∩B∩C) etP(A∩B∩C∩D).

2. En utilisant la formule de Poincar´e, calculer la probabilit´e qu’au moins une personne ait re¸cu sa clef.

Exercice 207 : SoitAetB deux ´ev`enements d’un espace probabilis´e.

1. CalculerP(A∩B) en fonction de P(A) etP(B).

2. D´emontrer l’´equivalence :

Aet B sont ind´ependants⇐⇒A etB sont ind´ependants.

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Exercice 208 : On dispose de 10 boules noires, de 3 boules blanches et d’une urne. On place 7 boules noires et 3 boules blanches dans l’urne. On tire ensuite successivement 3 boules :

• si on tire une noire, on l’enl`eve,

• si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire `a la place.

Quelle est la probabilit´e de tirer 3 blanches `a la suite ?

F Exercice 209 : Un commer¸cant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an. Pour chaque plante, la premi`ere ann´ee, la probabilit´e de donner une fleur rose est de 3/4, celle de donner une fleur blanche est de 1/4. Puis, les ann´ees suivantes, pour tout entier natureln, on a :

• si l’ann´een, la plante a donn´e une fleur rose, alors l’ann´ee n+ 1, elle donnera une fleur rose ;

• si l’ann´een, la plante a donn´e une fleur blanche, alors l’ann´een+ 1, elle donnera de fa¸con ´equiprobable une fleur rose ou une fleur blanche.

On note pn la probabilit´e de l’´ev`enement :la plante a donn´e une fleur rose l’ann´een. 1. Montrer que pour tout entier natureln, on a :

pn+1= 1 2pn+1

2. 2. En d´eduire une expression dep_n en fonction den.

3. D´eterminer la limite de la suite (p_n)_n∈N.

4. Quelle est la probabilit´e que la plante ne donne que des fleurs roses pendant les npremi`eres ann´ees ? 5. Quelle est la probabilit´e que la plante ne donne que des fleurs blanches pendant lesnpremi`eres ann´ees ?

Exercice 210 : On a deux urnesU1 et U2. DansU1, il y a 3 boules rouges et 5 boules blanches. DansU2, il y a 5 boules rouges et 6 boules blanches. Les boules blanches sont indiscernables entre elles, les boules rouges aussi.

On tire au hasard une boule deU₁et on la met dansU₂. On tire ensuite, toujours au hasard, une boule dansU₂et on la met dans U₁.

1. On note

R1l’´ev`enement on a tir´e une boule rouge deU1, R2l’´ev`enement on a tir´e une boule rouge deU2. (a) D´eterminerP(R1) etP(R2|R1).

(b) D´eterminer la probabilit´e d’avoir tir´e deux boules rouges cons´ecutives. Que peut-on alors dire de la com- position de l’urneU₁?

2. D´eterminer la probabilit´e pour qu’au cours de l’exp´erience la composition de l’urne U1 n’ait pas chang´e.

Exercice 211 : On dispose de deux d´esD1etD2´equilibr´es `a 6 faces. Les faces deD1sont num´erot´ees de 1 `a 6 tandis queD2 poss`ede 5 faces portant le num´ero 1 et 1 face portant le num´ero 6. On choisit un d´e au hasard et on le lance deux fois. On consid`ere les ´ev`enementsE=le premier lancer donne l’as etF =le deuxi`eme lancer donne l’as.

1. CalculerP(E) etP(F).

2. (a) Sachant que l’on a choisi le d´eD2quelle est la probabilit´e de l’´ev`enement E∩F? (b) Calculer P(E∩F).

3. Les ´ev`enementsE et F sont-ils ind´ependants ?

Exercice 212 : Quatre pour cent des pi`eces fabriqu´ees dans un atelier ´etant d´efectueuses, on d´ecide de les contrˆoler

`

a l’aide d’une machine.

• Si la pi`ece est bonne, elle est accept´ee avec une probabilit´e de 98%.

• Si la pi`ece est d´efectueuse, elle est refus´ee avec une probabilit´e de 99%.

1. Calculer la probabilit´e des ´ev`enements suivants :

A:La pi`ece est d´efectueuse et elle est accept´ee., B :La pi`ece est bonne et elle est refus´ee., 2. CalculerP(A∪B). Interpr´eter ce r´esultat.

3. Calculer la probabilit´e que la pi`ece soit bonne sachant qu’elle a ´et´e refus´ee.

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F Exercice 213 : On dispose de 5 pi`eces de monnaie ´equilibr´ees dont 4 poss`edent unPILE et un FACE et dont une poss`ede deuxFACE.

Soitn≥2 un entier. On choisit une des pi`eces au hasard et on la lancenfois.

1. Quelle est la probabilit´e d’obtenirFACE au premier lancer ?

2. On a obtenuFACE au premier lancer, quelle est la probabilit´e d’avoir choisi la pi`ece `a deuxFACE ? 3. Quelle est la probabilit´e d’obtenirFACE auxnpremiers lancers ?

4. On a obtenu FACE aux n premiers lancers, quelle est la probabilit´e pn d’avoir choisi la pi`ece `a deux

FACE ?

5. D´eterminer la limite depn quandntend vers +∞.

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