(6) (6)
>
>
>
>
(7) (7)
>
>
>
>
(4) (4)
>
>
>
>
>
>
>
>
(3) (3)
>
>
(5) (5) (2) (2) (1) (1)
Correction de l'exercice 2 du sujet d'oral blanc n°2restart:
with(linalg): # pour travailler avec des matrices par exemple Question 1
A:=matrix([[-19,10,4],[10,-10,14],[4,14,-7]]);
A :=
K 19 10 4 10 K 10 14 4 14 K 7
Q:=charpoly(A,X);Q := X
3C 36 X
2C 81 X K 4374
Question 2
P_A:=subs(X=A,Q);
P_A := A
3C 36 A
2C 81 A K 4374
evalm(P_A);0 0 0 0 0 0 0 0 0
Donc P(A) est la matrice nulle de M_3(R). On en déduit:(*) A^3 = -36 . A^2 - 81 . A + 4374 . I_3 où I_3 désigne la matrice identité de M_3(R).
Remarque: A^3 = P_3(A) où P_3 = -36 X^2 -81 X + 4374 appartient à R_2[X].
Question 3
P[10]:=sum(a[k]*X^k,k=0..2);
P
10:= a
0C a
1X C a
2X
2 Eq:= evalm(subs(X=A,P[10])) = evalm(A^(10));Eq :=
K 19 a
1C 477 a
2C a
010 a
1K 234 a
24 a
1C 36 a
210 a
1K 234 a
2K 10 a
1C 396 a
2C a
014 a
1K 198 a
24 a
1C 36 a
214 a
1K 198 a
2K 7 a
1C 261 a
2C a
0=
93094431563277 K 90712957817394 44167485427956 K 90712957817394 91905438082536 K 46545472389438 44167485427956 K 46545472389438 24465216459861
Syst:=seq(seq(lhs(Eq)[i,j]=rhs(Eq)[i,j],i=1..3),j=1..3);
>
>
(7) (7)
(9) (9)
(10) (10) (8) (8)
>
>
(12) (12)
>
>
>
>
>
>
(13) (13)
>
>
(11) (11)
>
>
Syst := K 19 a
1C 477 a
2C a
0= 93094431563277, 10 a
1K 234 a
2= K 90712957817394, 4 a
1C 36 a
2= 44167485427956, 10 a
1K 234 a
2= K 90712957817394, K 10 a
1C 396 a
2C a
0= 91905438082536, 14 a
1K 198 a
2= K 46545472389438, 4 a
1C 36 a
2= 44167485427956, 14 a
1K 198 a
2= K 46545472389438, K 7 a
1C 261 a
2C a
0= 24465216459861
Solution:=solve({Syst});
Solution := a
0= K 99373355428500, a
1= 5454880485120, a
2= 620776763541
assign(Solution);Donc le polynôme P_10 défini comme étant le polynôme:
P[10];
K 99373355428500 C 5454880485120 X C 620776763541 X
2 vérifie P_10(A)=A^(10).Question 4
La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable (dans une base orthonormée pour le produit scalaire usuel sur R^3).
Spec:=eigenvalues(A);
Spec := K 18, K 27, 9
D_A:=diag(Spec);D_A :=
K 18 0 0 0 K 27 0
0 0 9
En conséquence il existe P dans GL_3(R) (et même dans O_3(R)) telle que:
A = P * D_A * P^(-1).
On vérifie facilement, en s'appuyant sur l'identité ci-dessus, que s'il existe un polynôme Q_n de R_2[X] tel que Q_n (D_A) = (D_A)^n alors ce polynôme Q_n vérifie également Q_n(A)=A^n.
Donc, si l'on arrive à démontrer l'existence de Q_n, alors le polynôme P_n := Q_n convient.
L'intérêt de passer par D_A plutôt que par A est que les puissances de D_A sont aisées à calculer.
Q[n]:=sum(b[k]*X^k,k=0..2);
Q
n:= b
0C b
1X C b
2X
2Eq:= evalm(subs(X=D_A,Q[n])) = evalm(diag(seq(Spec[i]^n,i=1..3)));
Eq :=
K 18 b
1C 324 b
2C b
00 0
0 K 27 b
1C 729 b
2C b
00
0 0 9 b
1C 81 b
2C b
0=
K 18
n0 0 0 K 27
n0
0 0 9
n(7) (7)
(16) (16)
>
>
(17) (17)
>
>
>
>
>
>
>
>
(15) (15) (14) (14)
Syst:=seq(lhs(Eq)[i,i]=rhs(Eq)[i,i],i=1..3);Syst := K 18 b
1C 324 b
2C b
0= K 18
n, K 27 b
1C 729 b
2C b
0= K 27
n, 9 b
1C 81 b
2C b
0= 9
nSolution:=solve({Syst},{seq(b[k],k=0..2)});
Solution := b
0= 1
2 9
nK 1
2 K 27
nC K 18
n, b
1= 5
108 9
nC 1
36 K 27
nK 2 27 K 18
n, b
2= 1
972 9
nC 1
324 K 27
nK 1
243 K 18
n assign(Solution);Q[n];
1
2 9
nK 1
2 K 27
nC K 18
nC 5
108 9
nC 1
36 K 27
nK 2
27 K 18
nX C 1 972 9
nC 1
324 K 27
nK 1
243 K 18
nX
2Le polynôme P_n, défini comme étant le polynôme ci-dessus, vérifie donc P_n(A)=A^n.
Remarque 1: pour n=10, on retrouve le polynôme P_10 calculé à la question 3. En effet:
is( P[10] = subs(n=10,Q[n]));
true
Remarque 2: Nous pourrions démontrer l'existence de P_n par récurrence, en nous appuyant sur la relation (*) obtenue à la question 2.
