1
بﺎﺒﻟا 6 :
ا ﻲﺑرﺎﻘﺘﻟا كﻮﻠﺴﻟ ê
1 ﺔﻓﻮﻟﺄﻣ لاود تﺎﯾﺎﮭﻧ .
2 ا . تﺎﯾﺎﮭﻨﻟا ﻰﻠﻋ تﺎﯿﻠﻤﻌﻟ
3 ﺔﺑرﺎﻘﺘﻤﻟا تﺎﻤﯿﻘﺘﺴﻤﻟا .
• ﺔﻓﺪﮭﺘﺴﻤﻟا تاءﺎﻔﻜﻟا :
دﺎﺼﺘﻗاو ﺮﯿﯿﺴﺗ ﺔﺒﻌﺷ بدآ ﺔﺒﻌﺷ
ﺩﻭﺠﻭ ﺭﻴﺴﻔﺘ- ﺪﺣأ يزاﻮﯾ برﺎﻘﻣ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ
و ﻦﯾرﻮﺤﻤﻟا ﻲﻠﻣﺎﺣ ﮫﻟﺎﻤﻌﺘﺳا
ﻞﯿﺜﻤﺘﻟا ﻲﻓ
ﻲﻧﺎﯿﺒﻟا .
ﺭﻴﺴﻔﺘ- ﻣ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ دﻮﺟو ﮫﻟﺎﻤﻌﺘﺳاو ﻞﺋﺎﻣ برﺎﻘ
ﻲﻧﺎﯿﺒﻟا ﻞﯿﺜﻤﺘﻟا ﻲﻓ .
.
• ءاﺰﺟﻷا ﻞﺼﻔﻤﺗ لوﺪﺟ :
ﺔﻄﺸﻧأ
ﺔﯾﺪﯿﮭﻤﺗ
فرﺎﻌﻣ ﻖﺋاﺮﻃ
1
2
3
4 1 لاود تﺎﯾﺎﮭﻧ .
ﺔﻓﻮﻟﺄﻣ
• ﺔﻟاﺪﻟا تﺎﯾﺎﮭﻧ
"
ﻊﺑﺮﻣ
"
• ﺔﻟاﺪﻟا تﺎﯾﺎﮭﻧ
"
ﺐﻌﻜﻣ
"
• ﺔﻟاﺪﻟا تﺎﯾﺎﮭﻧ
"
ﻲﻌﯿﺑﺮﺘﻟا رﺬﺠﻟا
"
• ﺔﻟاﺪﻟا تﺎﯾﺎﮭﻧ
"
بﻮﻠﻘﻣ
"
2 ﻰﻠﻋ تﺎﯿﻠﻤﻌﻟا .
تﺎﯾﺎﮭﻨﻟا
• ﻦﯿﺘﻟاد عﻮﻤﺠﻣ ﺔﯾﺎﮭﻧ .
• ﻦﯿﺘﻟاد ءاﺪﺟ ﺔﯾﺎﮭﻧ .
• ﻦﯿﺘﻟاد بﻮﻠﻘﻣ ﺔﯾﺎﮭﻧ .
• ﺪﻨﻋ دوﺪﺤﻟا ﺮﯿﺜﻛ ﺔﻟاﺪﻟا ﺔﯾﺎﮭﻧ وأ −∞
+∞
. 1
2
3
6
2
3 تﺎﻤﯿﻘﺘﺴﻤﻟا .
ﺔﺑرﺎﻘﻤﻟا
• ﺪﻨﻋ ﺔﯾﺮﻇﺎﻨﺘﻟا ﺔﻟاﺪﻟا ﺔﯾﺎﮭﻧ
−∞
وأ
+∞
.
• ﺐﯿﺗاﺮﺘﻟا رﻮﺤﻤﻟ برﺎﻘﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا .
• ﻞﺻاﻮﻔﻟا رﻮﺤﻤﻟ برﺎﻘﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا .
• ﺐﯿﺗاﺮﺘﻟا ﻞﺋﺎﻤﻟا برﺎﻘﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا .
4
5
• ﺔﻄﺸﻧﻷا ﺬﯿﻔﻨﺘﻟ تﺎﮭﯿﺟﻮﺗ :
ا ﺳ ﺒﺘ ﺪﻌﺘﻣ نﺎﯿ د
تﺎﺑﺎﺟﻹا :
اﺬھ فﺪﮭﯾ نﺎﯿﺒﺘﺳﻻا
ﺗ ﻰﻟإ ﻢﯾﻮﻘ ﺬﯿﻣﻼﺘﻟا تﺎﺒﺴﺘﻜﻣ تﺎﯾﺎﮭﻨﻟاو ﺔﻟاد تاﺮﯿﻐﺗ ﻢﯿھﺎﻔﻣ لﻮﺣ
ﺪﻨﻋ
دﺪﻌﻟا ﻢﻠﻌﻤﻟا أﺪﺒﻣ وأ تﺎﯿﺛاﺪﺣﻹا يرﻮﺤﻣو ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟ ﺔﯿﺒﺴﻨﻟا عﺎﺿوﻷا اﺬﻛو 0 ﺔﻠﺌﺳﻷﺎﻓ .
ﺔﯿﻠﺒﻗ تﺎﺒﺴﺘﻜﻣ ﺮﺒﺘﻌﺗ ﻲﺘﻟاو ﺔﺒﺴﺘﻜﻤﻟا فرﺎﻌﻤﻟا ﺾﻌﺑ عﺎﺟﺮﺘﺳﺎﺑ ﺬﯿﻤﻠﺘﻠﻟ ﺢﻤﺴﺗ ﺔﺣوﺮﻄﻤﻟا بﺎﺒﻟا اﺬﮭﻟ .
ﻷا ﻧ ﺔﻄﺸ ﻟا ﺔﯾﺪﯿﮭﻤﺘ :
طﺎﺸﻧ :1 راﻮﺠﺑ لاوﺪﻟا ﺾﻌﺑ ﺔﺳارد +∞
.
ﻰﻟإ طﺎﺸﻨﻟا اﺬھ فﺪﮭﯾ ﺪﻨﻋ ﺔﻟاد ﺔﯾﺎﮭﻧ مﻮﮭﻔﻣ ﺔﺑرﺎﻘﻣ
ﺔﻟاد ﻢﯿﻗ ﺔﺳارد لﻼﺧ ﻦﻣ ﻚﻟذو +∞
راﻮﺟ ﻲﻓ ﺎﮭﻟ ﻞﺜﻤﻤﻟا ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﻂﻘﻧ ﺐﯿﺗاﺮﺘﻟ ﺔﯿﻧﺎﯿﺒﻟا ةءاﺮﻘﻟا ﻖﯾﺮﻃ ﻦﻋ ﺎﻣ ﻮھو ،+∞
ﯾﺎﮭﻨﻟﺎﺑ ﺔﻘﻠﻌﺘﻤﻟا ﺮﯿﺑﺎﻌﺘﻟا ﺾﻌﺑ ﮫﺴﻔﻨﺑ ﻎﺼﯾ ﺬﯿﻤﻠﺘﻟا ﻞﻌﺠﯾ تﺎ
.
طﺎﺸﻧ :2 راﻮﺠﺑ ﺔﯿﮭﺘﻨﻤﻟا ﺮﯿﻏ ﺔﯾﺎﮭﻨﻟا +∞
.
ﯾ فﺪﮭ ﻰﻟإ طﺎﺸﻨﻟا اﺬھ ﻦﯿﺗاﺪﻟا ﻦﻣ ﻞﻛ ﺔﯾﺎﮭﻧ ﺔﺳارد
xa x2 و
xa x +∞ ﺪﻨﻋ
.
ﻠﺻﺎﻔﻟا نﻮﻜﺗ ﺎﻣﺪﻨﻋ ﻂﻘﻨﻟا ﺐﯿﺗاﺮﺘﻟ ﺔﯿﻧﺎﯿﺒﻟا ةءاﺮﻘﻟﺎﺑ ﻞﺻﻮﺘﯾ ،نﺎﻜﻣﻹا رﺪﻘﺑ ةﺮﯿﺒﻛ ﺔ
ﻦﯿﺗرﻮﻛﺬﻤﻟا ﻦﯿﺘﻟاﺪﻟا ﻦﻣ ﻞﻛ ﺔﯾﺎﮭﻨﺑ ﺔﻘﻠﻌﺘﻤﻟا صﻮﺼﻨﻟا ﺾﻌﺑ ﻦﻋ ﺮﯿﺒﻌﺘﻟا ﻰﻟإ ﺬﯿﻤﻠﺘﻟا .
طﺎﺸﻧ :3
أ راﻮﺠﺑ ﺔﯿﮭﺘﻨﻤﻟا ﺮﯿﻏ ﺔﯾﺎﮭﻨﻟا ( +∞
.
ﺒ دﺪﻌﻟا راﻮﺠﺑ ﺔﯿﮭﺘﻨﻤﻟا ﺮﯿﻏ ﺔﯾﺎﮭﻨﻟا ( 0
ﻦﯿﻤﯿﻟا ﻦﻋ .
فﺪﮭﯾ ﻰﻟإ طﺎﺸﻨﻟا اﺬھ ﺔﯾﺎﮭﻧ ﺔﺑرﺎﻘﻣ
ﺔﻟاد
"
بﻮﻠﻘﻣ "
ﺪﻨﻋ +∞
و دﺪﻌﻟا راﻮﺠﺑ 0
لﻼﺧ ﻦﻤﻓ .
ﻞﺜﻤﻤﻟا ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﻂﻘﻧ ﺐﯿﺗاﺮﺘﻟ ﺔﯿﻧﺎﯿﺒﻟا ةءاﺮﻘﻟا ﺔﻟاﺪﻟ
"
بﻮﻠﻘﻣ "
،تﺎﻨﯾﺎﺒﺘﻤﻟا لﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑو
ﺔﻟاﺪﻟا ﺔﯾﺎﮭﻧ ﺪﯾﺪﺤﺗ ﻰﻟإ ﺬﯿﻤﻠﺘﻟا ﻞﺻﻮﺘﯾ
"
بﻮﻠﻘﻣ "
ﺪﻨﻋ +∞
دﺪﻌﻟا راﻮﺠﺑو 0
ﻦﯿﻤﯿﻟا ﻦﻋ .
3
• ﻞﺋﺎﺴﻣو ﻦﯾرﺎﻤﺗ :
1 ﺊﻃﺎﺧ وأ ﺢﯿﺤﺻ.
(1 ﺢﯿﺤﺻ (6
ﺧ ﺎ ﻃ ﺊ
(2 ﺧ ﺎ ﻃ ﺊ (7
ﺢﯿﺤﺻ
(3 ﺧ ﺎ ﻃ ﺊ (8
ﺧ ﺎ ﻃ ﺊ
4 ﺢﯿﺤﺻ ( (9
ﺧ ﺎ ﻃ ﺊ
(5 ﺢﯿﺤﺻ
(10 ﺧ ﺎ ﻃ ﺊ
2 ﻖﺒﻄﯾ . ﺔﻓﻮﻟﺄﻤﻟا لاوﺪﻟا تﺎﯾﺎﮭﻧ ﺬﯿﻤﻠﺘﻟا
تﺎﯾﺎﮭﻧ بﺎﺴﺤﻟ تﺎﯾﺎﮭﻨﻟا ﻰﻠﻋ تﺎﯿﻠﻤﻌﻟاو ﺔﺣﺮﺘﻘﻤﻟا لاوﺪﻟا .
10
( ) ( )
.xlim f x g x
→+∞ + = +∞
.
( ) ( )
xlim f x .g x
→+∞ = +∞
.
11
( )
.xlim g x
→+∞ = −∞
.
12
( ) ( )
.xlim f x g x
→−∞ + = −∞
.
17
( )
.>
x
lim f x
→−
= +∞
1
( )
،<
x
lim f x
→−
= −∞
1
>
( )
x
lim f x
→
= +∞
3
( )
،>
x
lim f x
→
= −∞
3
xlim f x
( )
→+∞ =0
،
xlim f x
( )
→−∞ =0
.
22 . y=3 ، y=6 ﻟدﺎﻌﻣ ﺎﻤھ ﺎﺘ
رﻮﺤﻤﻟ ﻦﯿﯾزاﻮﻤﻟا ﻦﯿﺑرﺎﻘﻤﻟا ﻦﯿﻤﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻞﺻاﻮﻔﻟا .
x=0 برﺎﻘﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﺔﻟدﺎﻌﻣ ﻲھ
ﺗاﺮﺘﻟا رﻮﺤﻤﻟ يزاﻮﻤﻟا ﯿ
ﺐ .
26
.
1
( )
(xlim f x
→−∞ = −∞
( )
،xlim f x
→+∞ = +∞
( )
>
x
lim f x
→−
= −∞
1
( )
،<
x
lim f x
→−
= +∞
1
2 ( a=1 ، b=0
، c= −2 .
3 ( x= −1 برﺎﻘﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﺔﻟدﺎﻌﻣ ﻲھ
يزاﻮﻤﻟا ﺗاﺮﺘﻟا رﻮﺤﻤﻟ
ﯿ ﺐ .
y=x برﺎﻘﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﺔﻟدﺎﻌﻣ ﻲھ
ﻞﺋﺎﻤﻟا .
4 ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟاو ﻰﻨﺤﻨﻤﻠﻟ ﻲﺒﺴﻨﻟا ﻊﺿﻮﻟا (
ةرﺎﺷﺈﺑ ﻖﻠﻌﺘﯾ ﻞﺋﺎﻤﻟا برﺎﻘﻤﻟا
( )
f x −x .
+∞
-1
∞
- x
-
+
( )
f x −x
ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﺖﺤﺗ
ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻞﺋﺎﻤﻟا برﺎﻘﻤﻟا
ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﻓ قﻮ
ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻞﺋﺎﻤﻟا برﺎﻘﻤﻟا
ﺞﺋﺎﺘﻨﻟا
35 .
1 ( a=7 و b=60
( )
،f x = +x + 7 20 7
2 أ ( ( لﺎﺠﻤﻟا ﻰﻠﻋ ﺔﺼﻗﺎﻨﺘﻣ f
[0;+∞[ .
ﺺﻗﺎﻨﺘﯾ نﺎﻜﺴﻟا دﺪﻋ نذإ .
ﺒ
( )
(xlim f x
→+∞ =7
دﺪﻋ دادﺰﯾ ﺎﻣﺪﻨﻋ نذإ .
ﻰﻟإ لوﺆﯾ نﺎﻜﺴﻟا دﺪﻋ نﺈﻓ ،تاﻮﻨﺴﻟا 7
ﺔﻤﺴﻧ ﻦﯿﯾﻼﻣ .
ﺠ ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا ﻞﺣ ( ( )
f x =8 5 ﻮھ
.
ﺔﻨﺳ ﻲﻓ يأ نﺎﻜﺴﻟا دﺪﻋ ﻎﻠﺒﯾ ،1985
8
ﺔﻤﺴﻧ ﻦﯿﯾﻼﻣ ﺔﻟاﺪﻟا نأ ﺎﻤﺑ و .
ﺔﺼﻗﺎﻨﺘﻣ f
لﺎﺠﻤﻟا ﻰﻠﻋ [0;+∞[
ﻲﻓ نﺎﻜﺴﻟا دﺪﻋ نﺈﻓ ،
2020 ﺔﻨﺳ ﻦﻋ ﻞﻘﯾ ﺔﻤﺴﻧ ﻦﯿﯾﻼﻣ 8
.
4
36 .
1
( )
( f x x= + +2 10x
a=1 ، b=2
، c=10 .
2
( ) ( )
(xlim f x x
→+∞ − −2 =0
نذإ كﻮﻠﺳ ﺔﻟاﺪﻟا كﻮﻠﺳ ﻮھ f
ﺘﻟا ﺂ ﺔﯿﻔﻟ
g : xax+2
.
3 ﻹا ﺔﻔﻠﻛ ﺖﻧﺎﻛ اذإ ( ةﺮﯿﻐﺻ جﺎﺘﻧ
ﺔﺒﯾﺮﻗ)
ﺮﻔﺼﻟا ﻦﻣ نﻮﻜﺗ ﺔﻄﺳﻮﺘﻤﻟا ﺔﻔﻠﻜﻟا نﺈﻓ ،(
ﺮﺒﻛﺎﻓ ﺮﺒﻛأ .
4 تاﺮﯿﻐﺗ ﺺﺨﻠﯾ ﻲﻟﺎﺘﻟا لوﺪﺠﻟا ( .f
0 10 +∞
x
- +
( )
f ' x
+∞
+∞
(
+)
2 10 1
( )
f x
5 ﻢﺳﺮﻟ ﺔﯿﻧﺎﯿﺑ ﺔﺒﺳﺎﺣ لﺎﻤﻌﺘﺳا ﻦﻜﻤﯾ (
ﺔﻟاﺪﻠﻟ ﻞﺜﻤﻤﻟا ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا رﺎﯿﺘﺧا ﻊﻣ ،f
ﻓﺎﻧ ﺔﺒﺳﺎﻨﻣ ةﺬ .
0
