Résolution de problèmes

(1)

Résolution de problèmes les problèmes additifs

Constuire le sens des opérations

Beauvais

13 mars 2018

(2)

Plan de l’animation

 Les enjeux des Instructions en mathématiques

 Qu’est ce qu’un problème additif ou soustractif ?

 S’approprier la classification des problèmes additifs de G Vergnaud

 -Développer des compétences pour résoudre

des problèmes additifs et soustractifs

(3)

Les enjeux des Instructions en mathématiques

 Au cycle 2, on apprend à réaliser les activités scolaires fondamentales que l’on retrouve dans plusieurs enseignements et qu’on

retrouvera tout au cours de la scolarité :

 ◦résoudre un problème,

 ◦comprendre un document,

 ◦ rédiger un texte,

 ◦ créer ou concevoir un objet.

(4)

La resolution de problèmes

 Mathématiques > Introduction

 ◦Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer.

 ◦Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements.

 ◦Ils peuvent être issus de situations de vie de classe ou de situations rencontrées dans d’autres enseignements, notamment « Questionner le monde ». Ils ont le plus souvent possible un caractère ludique.

 ◦On veillera à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements.

 ◦Les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens, en particulier des problèmes portant sur des grandeurs ou sur leurs mesures.»

(5)

Nombres et calculs

Repères de progressivité

 Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul

CP CE1 CE2

Problèmes additifs et soustractifs

+ problèmes multiplicatifs

Etude de la division : initiation situations simples de partage ou de groupement.

Elle est ensuite préparée par la

résolution de deux types de problèmes -ceux où l’on cherche combien de fois une grandeur contient une autre

grandeur

-et ceux où l’on partage une grandeur en un nombre donné de grandeurs.

+ problèmes plus complexes,

éventuellement à deux étapes

Il est possible, lors de la résolution de problèmes,

d’aller au-delà des repères de progressivité identifiés pour chaque niveau

(6)

Qu’est ce qu’un problème additif ou soustractif?

 Les problèmes qui se résolvent par une

addition ou une soustraction relèvent de ce

qu’on appelle “le champ additif”. !

(7)

QUIZZ

 Combien existe-t-il de types de problèmes additifs ?

2 5 12 plus?

(8)

Un constat

(9)

Types de problème

Proportion de réussite sur 100 GS CP CE1 CE2

1- X a 3 billes. Y a 5 billes. Combien X et Y ont – ils de billes ensemble ? (5+3)

100 100 100 100

2- X avait 3 billes. Puis Y lui a donné 5 billes.

Combien de billes a maintenant X ? (5+3)

87 100 100 100

3- X avait des billes. Il en a donné 5 à Y. Maintenant X a 3 billes. Combien avait-il de billes ? (5+3)

22 39 70 80

4- X avait 8 billes. Puis il a donné 3 billes à Y.

Combien de billes a maintenant X ? (8-3)

100 100 100 100

5- X et Y ont ensemble 8 billes. X a 3 billes. Combien Y a-t-il de billes ? (8-3)

22 39 70 100

6- X avait 3 billes. Y lui en a donné. X a maintenant 8 billes. Combien de billes Y a-t-il données à X ? (8-3)

61 56 100 100

7- X avait 8 billes. Il en a donné à Y. Maintenant X a 3 billes. Combien de billes X a-t-il données à Y ? (8-3)

91 78 100 100

(10)

 A contexte égal (jeu de billes), à mêmes valeurs numériques, tous les problèmes relevant de

l’addition ne sont pas de même difficulté.

• Un grand nombre de problèmes relevant d’une soustraction sont beaucoup mieux réussis que d’autres relevant d’une addition.

 L’enseignant est responsable des problèmes qu’il choisit pour aider les élèves à construire ses

connaissances.

(11)

Classer les problèmes du champ additif

1. J’ai 20 bonbons ; j’en mange 2 et puis encore 3. Combien m’en reste-t-il ?

2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant ? 3. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils

Thomas. Quel est l’âge de Thomas ?

4. Paul joue au jeu de l’oie. Son pion est sur la case bleue.

Il avance de 14 cases et arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue ?

5. Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première

partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd

12. Au total en a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus

que gagnés ? Et combien ?

(12)

6. La maîtresse a 42 cahiers dans l’armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout, 67

cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers ?

7. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons.

Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe ?

8. Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus ?

9. Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de moins.

Combien mesure la bande bleue ?

10. Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16.

Sur quelle case se trouvait-elle auparavant?

11. Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en

a 9 de moins qu'elle. Combien en a-t-il?

(13)

12. Un sous marin plonge en deux étapes dans l’océan. A la première étape, il descend de 45m. et à la deuxième étape, il

descend de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout ? 13. Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ; Hervé, lui, n'en a que 83.Combien d'argent Sophie a-t-elle de plus que lui?

14.Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches?

15. Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en tout ?

16. Pour son anniversaire Magalie reçoit 50€ de sa grand-mère et 30€ de sa tante. Combien Magali a-t-elle reçu d’argent au total ? 17. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur ?

18. Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris.

Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris ?

(14)

19. Il y avait 160 oiseaux dans l’arbre. Il n’en reste plus que 50.

Combien d’oiseaux se sont envolés ?

20. Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien. Combien l’immeuble de mon cousin a-t-il d’étages ?

21. Hakim joue trois fois de suite au jeu de l’oie. La première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième

fois, il recule d’une case. De combien de cases a-t-il avancé en

tout ?

(15)

La classification de

Gérard Vergnaud

(16)

Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformations (ete)

Problèmes du type : état initial – transformation (+ ou -) – état final 1. Transformation

positive

Recherche de l’état final (et+E)

Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes.

Combien de billes a maintenant Léo ?

+

2. Transformation

négative ; recherche de l’Etat Final

(et-E)

Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette.

Combien de billes a maintenant Léo ?

-

positive ; recherche de L’ÉTAT INITIAL

(Et+e)

Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes.

Maintenant Léo a 9 billes.

Combien de billes avait Léo ?

+

négative; recherche de L’ÉTAT INITIAL

(Et-e)

Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes.

Combien avait–il de billes ?

-

(17)

Problèmes du type : état initial – transformation (+ ou -) – état final 5. Recherche de la

transformation positive

Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes.

Combien de billes Juliette a–t–

elle données à Léo ?

+

6. Recherche de la

transformation négative

Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette.

Maintenant Léo a 4 billes.

Combien de billes Léo a–t–il données à Juliette ?

-

(18)

Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de combinaison (eee)

Problèmes du type : partie – partie - tout 7. Recherche de la

combinaison de deux états.

(eeE)

Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes.

Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?

8. Recherche d’un état connaissant un second état et la combinaison des deux états.

(eEe)

Léo et Juliette ont 17 billes ensemble.

Juliette a 8 billes.

Combien Léo a–t–il de billes ?

(19)

Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de comparaison (ece)

Problèmes du type : état 1 – comparaison (+ ou -) – état 2 9- Recherche de l’état à

comparer connaissant l’état comparé et la comparaison positive.

(Ec+e)

Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui.

elle ? 10 - Recherche de l’état

à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison négative.

(Ec-e)

Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui.

elle ? 11- Recherche de l’état

comparé (comparaison positive)

(ec+E)

Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette.

elle ?

(20)

Problèmes du type : état 1 – comparaison (+ ou -) – état 2 12- Recherche de l’état

comparé (comparaison négative)

(ec-E)

Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette.

elle ? 13- Recherche de la

comparaison positive connaissant les deux états.

(eC+e)

Léo a 3 billes. Juliette en a 9.

elle de plus que Léo ?

14 - Recherche de la comparaison négative

connaissance les deux états.

(eC-e)

Léo a 8 billes. Juliette en a 6.

elle de moins que Léo ?

(21)

Les problèmes additifs et soustractifs

Problèmes de composition de transformations

Problèmes du type : état initial – transformation 1 – état intermédiaire – transformation 2 – état final

15- Recherche de la composée de plusieurs transformations

Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5.

En a-t-il plus ou moins qu’au départ? Et combien?

16 - Recherche d’une des composantes

Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu’au départ.

Combien a-t-il perdu de billes

(22)

Retour sur les problèmes que

nous avons classés.

(23)

Problèmes du type : état initial – transformation (+ ou -) – état final 1. Transformation

positive

Recherche de l’état final (et+E)

N°17. Le compteur de la photocopieuse marque 132.

La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur ?

négative ; recherche de l’Etat Final

(et-E)

N°2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant ?

positive ; recherche de L’ÉTAT INITIAL

(Et+e)

N°4. Paul joue au jeu de l’oie. Son pion est sur la case bleue. Il avance de 14 cases et arrive sur une case

rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue ?

négative; recherche de L’ÉTAT INITIAL

(Et-e)

N°10. Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases.

Elle tombe alors sur la case 16.

Sur quelle case se trouvait-elle auparavant?

(24)

Problèmes du type : état initial – transformation (+ ou -) – état final 5. Recherche de la

transformation positive

N°6. La maîtresse a 42 cahiers dans l’armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout, 67 cahiers.

Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers ? 6. Recherche de la

transformation négative

N°19. Il y avait 160 oiseaux dans l’arbre. Il n’en reste plus que 50. Combien d’oiseaux se sont envolés ?

(25)

Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de combinaison (eee)

Problèmes du type : partie – partie - tout 7. Recherche de la

combinaison de deux états.

(eeE)

16. Pour son anniversaire Magalie reçoit 50€ de sa grand-mère et 30€ de sa tante. Combien

Magalie a-t-elle reçu d’argent au total ? 8. Recherche d’un état

connaissant un second état et la combinaison des deux états.

(eEe)

7. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe ?

14.Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches.

Combien de vaches sont blanches?

18. Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris. Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris?

(26)

Problèmes du type : état 1 – comparaison (+ ou -) – état 2 9- Recherche de l’état à

comparer connaissant l’état comparé et la comparaison positive.

(Ec+e)

N°20. Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien.

Combien l’immeuble de mon cousin a-t-il d’étages ?

10 - Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison négative.

(Ec-e)

N°11. Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en a 9 de moins qu'elle. Combien en a- t-il?

N°9. Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de moins. Combien mesure la bande bleue ?

11- Recherche de l’état comparé (comparaison positive)

(ec+E)

N°3. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l’âge de Thomas ?

(27)

Problèmes du type : état 1 – comparaison (+ ou -) – état 2 12- Recherche de l’état

comparé (comparaison négative)

(ec-E)

13- Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états.

(eC+e)

N°8. Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus ?

14 - Recherche de la comparaison négative

connaissance les deux états.

(eC-e)

N°13. Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ;

Hervé, lui, n'en a que 38.Combien d'argent Hervé a-t-il de moins que Sophie?

(28)

Les problèmes additifs et soustractifs

Problèmes de composition de transformations

Problèmes du type : état initial – transformation 1 – état intermédiaire – transformation 2 – état final

15- Recherche de la composée de plusieurs transformations

N°1. J’ai 20 bonbons ; j’en mange 2 et puis encore 3. Combien m’en reste-t-il ?

N°5. Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd 12.

Au total en a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus que gagnés ? Et combien ?

N°12. Un sous marin plonge en deux étapes dans l’océan. A la première étape, il descend de 45m. et à la deuxième étape, il descend de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout

?

N°15. Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a

gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en tout ?

N°21. Hakim joue trois fois de suite au jeu de l’oie. La

première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième fois, il recule d’une case. De combien de cases a-t-il avancé en tout ?

(29)

L’automatisation du processus de reconnaissance de l’opération n’est réellement effective que si l’élève parvient à associer une opération (la soustraction par exemple) à n’importe quelle situation nécessitant

cette opération. Choisir parmi plusieurs opérations nécessite de construire simultanément une

automatisation (elle sera progressive) du processus de reconnaissance de l’opération.

Ces conditions impliquent que l’élève ait été confronté à la diversité des situations additives regroupant les problèmes d’addition et de

soustraction.

(30)

Un exemple de situation d’apprentissage : le jeu des enveloppes

Le nombre au cycle 2 – Scérén

http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_

2_153003.pdf

 Pour cette étape, il s’agit bien d’une situation et non pas d’un énoncé.

 Les élèves disposent d’enveloppes contenant un nombre de jetons inconnu d’eux. Le maître leur fait ajouter des jetons. Les élèves comptent alors tous les jetons dans leur enveloppe.

 Ils doivent trouver le nombre initial de jetons dans leur enveloppe, sans contrainte de procédure, puis dans un second temps, en utilisant une écriture soustractive.

 Par la suite, il leur est demandé de vérifier avec le

matériel.

(31)

Exemple de mise en œuvre pour :

Recherche de l’état initial à partir d’une transformation positive.

Objectif: automatiser l’utilisation de la

soustraction pour la résolution d’un problème

relevant d’une telle structure.

(32)

Mise en œuvre proposée:

1) Comprendre la situation;

2) Dissocier la situation des autres déjà rencontrées;

3) Elaborer une première procédure;

4) Identifier cette nouvelle procédure et construire l’association soustraction/nouvelle procédure de résolution;

5) Réinvestissement;

-Le passage de la situation à l’énoncé;

-Automatiser l’utilisation de la soustraction pour résoudre le problème;

-Traiter le contexte ordinal

6) Evaluation.

(33)

1) Comprendre la situation;

-

Donner des enveloppes avec les jetons.

-

Mimer l’action

-

L’élève ne peut bâtir une représentation qu’à partir de manipulations

-

La représentation d’un problème sous forme

d’énoncé est encore une phase ultérieure.

(34)

2) Dissocier la situation des autres déjà rencontrées;

-

On suppose que des affiches récapitulant les autres situations ont été faites;

-

On va faire voir que cette situation ne correspond à aucune autre déjà rencontrée;

-

On va parler aux élèves de Problème avec une action, Quantité avant l’action, Quantité après l’action,

- Puis regarder ce que l’on cherche.

(35)

3) Elaborer une première procédure;

Les élèves élaborent des procédures personnelles:

-

dessin

-

Texte

-

calcul

-

Additions à trou

L’addition a trou permet de suivre la chronologie de l’histoire. Elle est donc naturelle.

Exemple

? + 8 =12

(36)

4) Identifier cette nouvelle procédure et construire l’association soustraction/nouvelle procédure de résolution;

-

Affiche composée avec les élèves où figurent:

Un schéma Un dessin

Une opération à trou La soustraction

Chaque affiche sera spécifique à la classe: elle

fera référence aux procédures des élèves.

(37)

5) Réinvestissement;

-

Le passage de la situation à l’énoncé écrit;

Un énoncé possible:

Combien y avait-il de cubes dans la boîte ? J’ai des cubes dans une boîte. J’en ajoute 35.

Maintenant, j’en ai 123.

(38)

5) Réinvestissement;

-

Le passage de la situation à l’énoncé écrit;

L’énoncé est source de difficultés

-

La forme des phrases, l’ordre des données…

-

L ’ordre chronologique donne de meilleurs résultats

-

Par exemple: « J’ai des cubes dans la boîte. J’en ajoute 14. Maintenant, j’en ai 26 » est plus facile que: « J’ajoute 14 cubes dans une boîte et

maintenant j’en ai 26 »

-

La question posée en début de problème donne de

meilleurs résultats.

(39)

5) Réinvestissement;

-

Automatiser l’utilisation de la soustraction pour résoudre le problème

^;

• Faire choisir la bonne affiche de référence est une bonne manière de guider les élèves;

• Puis faire élaborer une procédure de résolution;

• Faire créer des énoncés de ce même type de

problème aux élèves leur permet de reconnaître

la structure au-delà de l’énoncé.

(40)

5) Réinvestissement;

-

Traiter le contexte ordinal

Il s’agit de faire le lien entre le contexte cardinal et le contexte ordinal.

Le problème est le suivant:

Au jeu de l’Oie, je suis sur une case. Je fais «8 ».

Je déplace alors mon pion et je me trouve sur la

case 26. Sur quelle case avais je mon pion avant

de jouer ?

(41)

6) Evaluation.

Problème utilisé au milieu d’autres problèmes relevant des catégories utilisées précédemment.

En cas de non-réussites, d’autres critères d’analyse:

-

l’élève sait évoquer la situation concrète

-

L’élève reconnaît une situation d’action

-

L’élève sait identifier l’état final

-

L’élève reconnaît que l’on cherche l’état initial

-