République Algérienne Démocratique et Populaire

Université de MOULOUD MAMMERI DE TIZI OUZOU Faculté de Génie électrique et Informatique.

En vue de l’obtention du Diplôme de Master en Electrotechnique Option : Machine électrique.

Présenté par : Promoteur :

AMMAR SMAIL. AREZKI CHIBAH

AKLIL IDIR. Co-Promoteur : MADJID MEZIANI

Commande directe du couple (DTC) d’un moteur asynchrone à double alimentation.

Année universitaire: 2012/2013

J’adresse des remerciements tout particuliers à notre promoteur Monsieur AREZKI CHIBAH maitre assistant à l’université de Tizi-Ouzou et à notre co-promoteur Monsieur MADJID MEZIANI maitre assistant à l’université de Tizi-Ouzou, qui ont rendu possible ce travail de mémoire en nous faisant profiter de leurs vastes connaissances et de leurs expériences.

Je remercie profondément Monsieur YAZID AZZOUG Maitre de conférence classe

« B » au département de l’électrotechnique de l’UMMTO de nous avoir fait l’honneur d’accepter de présider le jury de soutenance.

C’est pour nous un grand honneur de voire juger ce travail par monsieur AHMED NAHI Maitre de conférence classe « B » au département de l’électrotechnique de l’UMMTO, nous voudrions lui témoigner aussi, notre profonde gratitude et nos sincère reconnaissance.

Que Mademoiselle NADIA KECILI Maitre assistante classe « B » au département de l’électrotechnique de l’UMMTO, soit vivement remerciée pour l’intérêt qu’elle a accordée au sujet et pour nous avoir fait l’honneur d’accepter l’évaluation de ce travail.

Je tiens à témoigner ma plus vive reconnaissance à toutes les personnes qui ont participé de près ou de loin à l’élaboration de ce travail de mémoire.

A mon cher père et ma chère mère Pour l’éducation et le grand amour

Dont ils m’ont entouré Et

Pour leur patience et leur sacrifice.

A ceux qui m’ont tout donné sans rien en retour A la mémoire de mon grand parant AMMAR Mohamed

A mes chères sœurs A mes chers frères A tous mes proches

A tous mes amis A tous ce que j’aime Ce mémoire leur est dédié

Et bien sur sans oublier mon meilleur ami Saïd.

AMMAR SMAIL.

A ma mère et mon père A mes frères et mes sœurs A la mémoire de mon grand frère

AKLIL Karim A toute ma famille

A mes amis

A tous ceux qui me sont chers Ce mémoire leur est dédié

Aklil idir

I. Introduction générale ... ….1

Chapitre I: Etat de l’art de la machine asynchrone à double alimentation I. Introduction ... ….4

II. Présentation de la machine asynchrone à double alimentation ... ….4

III. Principe de fonctionnement de la MADA ... ….5

IV. Classification de la machine asynchrone à double alimentation ... ….6

IV.1. Machine à double alimentation simple ... ….6

IV.2. Machine à double alimentation en cascade ... ….7

IV.3. Machine à double alimentation cascade à un repère ... ….7

IV.4. Machine à double alimentation sans collecteur ... ….8

IV.5. Machine à double alimentation sans balais ... ….8

V. Notions hypo et hyper-synchrone de la MADA ... ….9

VI. Différentes stratégie d’alimentation de la MADA pour une application moteur ... ….10

VI.1.Commande de la MADA par un seul convertisseur ... ….10

VI.2 Commande de la MADA par deux onduleurs ... 11

VII. Domaines d’application de la MADA ... ….12

VIII. Avantages et inconvénients de la MADA ... ….13

VIII.1. Avantages de la MADA ... ….13

VIII.2. Inconvénients de la MADA ... ….14

IX. Conclusion ... ….14

Chapitre II : Modélisation de la Machine Asynchrone à Double Alimentation I. Introduction ... .15

II. Hypothèses simplificatrices ... .15

III. Mise en équations de Machine Asynchrone à Double Alimentation ... 16

III.1. Equations électriques ... 16

III.2. Equations magnétiques ... 17

III.3. Transformation triphasée - diphasée ... .18

III.3.1. Transformation de Concordia ... 18

III.3.3. Modèle de la MADA dans le repère de Concordia... 19

III.3.3.1. Equations des flux ... 19

III.3.3.2. Equations des tensions ... 20

III.3.4. Modèle de la MADA dans le repère de Park ... 21

III.3.4.1. Equations des flux ... 21

III.3.4.2. Equations des tensions ... 21

III.4. Expression du couple électromagnétique ... .23

III.5. Equation mécanique ... .23

IV. Modèle d’état de la MADA ... 24

V. Simulation de la MADA alimentée par le réseau ... 25

VI.1. Résultats de simulation ... 25

VI.2. Interprétation des résultats de simulation ... 29

VI. Conclusion ... 30

Chapitre III : Stratégie de Commande directe du couple I. Introduction ... .31

II. Différentes stratégies de commandes de la MADA ... .31

II.1. Commande vectorielle à flux orienté (FOC) ... .31

II.2. Commande Directe du Couple (DTC) ... .32

III. Stratégie de Commande Directe du Couple ... .33

III.1. Modélisation de l’onduleur ... .33

III.2. Stratégie de Commande Directe du Couple de la MADA ... .37

III.2.1. Principe de la stratégie de la Commande Directe du Couple ... .37

III.2.2 Table de commutation ... .40

III.2.3 Expression du couple électromagnétique ... .41

III.2.4 Schéma générale de la stratégie de la Commande Directe du Couple .... .42

IV. Conclusion ... .46

Chapitre IV : Simulation de la Commande Directe du Couple de la MADA I. Introduction ... .47

II. Structure générale de simulation ... .47

II.1.1. Partie Electrique ... .48

II.1.2. Partie mécanique ... .49

II.2. Système de puissance ... .49

II.3. Table de commutation ... .50

II.4. Système de calcul de flux de référence ... .51

II.5. Système de calcul des flux estimés... .51

II.6. Système de commande ... .52

II.7. Système de calcul des angles de référence ... .52

III. Résultats de simulation ... .52

IV. Interprétation des résultats ... .58

V. Conclusion ... .58

Conclusion générale ... .60

Chapitre I

Figure (I.1) Stator bobinée ... ….5

Figure (I.2) Rotor bobinée ... ….5

Figure (I.3) Schéma d’alimentation typique de la MADA ... ….5

Figure (I.4) Schéma de principe de la Machine à Double Alimentation simple ... ….6

Figure (I.5) Schéma de principe de la Machine à Double Alimentation en cascade ... ….7

Figure (I.6) Schéma de principe de la Machine à Double Alimentation en cascade à un repère ... ….7

Figure (I.7) Schéma de principe de la Machine à Double Alimentation en cascade sans collecteur ... ….8

Figure (I.8) Schéma de principe de la Machine à Double Alimentation sans balai ... ….9

Figure (I.9) MADA Commandée un seul convertisseur alimentant le rotor ... ….10

Figure (I.10) MADA Commandée par deux onduleurs alimentés à travers deux redresseurs ... ….11

Figure (I.11) MADA Commandée par deux onduleurs alimentés à travers un redresseur commun ... ….12

Chapitre II Figure (II.1) Représentation schématique de la MADA ... ….16

Figure (II.2) Représentation schématique d’une transformation triphasée - diphasée ... ….18

Figure (II.3) Représentation schématique d’une transformation de Park ... ….19

Figure (II.4) Le schéma bloc Simulink de la MADA alimentée en tension ... ….25

Figure (II.5) Trajectoire du couple résistant ... ….26

Figure (II.6) Vitesse de rotation en hypo-synchrone ... ….26

Figure (II.7) Couple électromagnétique en hypo-synchrone ... ….27

Figure (II.8) Courants statorique en hypo-synchrone ... ….27

Figure (II.9) Zoom des courants statorique ... ….28

Figure (II.10) Courants rotorique en hypo-synchrone ... ….28

Figure (II.11) Zoom des courants rotorique ... ….29

Chapitre III Figure (III.1) Onduleur de tension triphasé à deux niveaux ... ….34

Figure (III.2) Représentation vectorielle d’un onduleur à deux niveaux dans le plan (αβ) ... ….37

Figure (III.4) Principe de la Commande Directe du Couple ... ….39

Figure (III.5) Principe du contrôle du flux utilisant une table de commutation ... ….39

Figure (III.6) Comparateur à hystérésis ... ….40

Figure (III.7) Principe de fonctionnement de la table de commutation ... ….41

Figure (III.8) Commande optimisée de la vitesse mécanique et du vecteur flux pour une MADA .... ….43

Figure (III.9) Structure de régulation de la vitesse mécanique ... ….45

Figure (III.10) Structure du régulateur PI avec un anti-windup de la régulation de la vitesse mécanique …. 45

Chapitre IV Figure (IV.1) Schéma global de simulation ... ….47

Figure (IV.2) Machine Asynchrone à Doubla Alimentation MADA ... ….48

Figure (IV.3) Bloc partie électrique de la MADA ... ….49

Figure (IV.4) Bloc partie Mécanique de la MADA ... ….49

Figure (IV.5) Bloc onduleur triphasé ... ….50

Figure (IV.6) Bloc détermination des instants de commutation des hystérésis ... ….50

Figure (IV.7) Bloc de calcul des flux de référence ... ….51

Figure (IV.8) Bloc de calcul des flux estimés ... ….51

Figure (IV.9) Bloc de régulation de vitesse ... ….52

Figure (IV.10) Bloc d’estimation des angles de références ... ….52

Figure (IV.11) Trajectoire de la vitesse ... ….53

Figure (IV.12) Trajectoire du couple résistant ... ….53

Figure (IV.13) Vitesse estimée et la vitesse de référence ... … 54

Figure (IV.14) Zoom de la vitesse estimée et la vitesse de référence ... ….54

Figure (IV.15) Flux statorique de référence ... ….55

Figure (IV.16) Flux statorique de estimé ... ….55

Figure (IV.17) Flux statorique de référence et le flux estimé ... ….56

Figure (IV.18) Flux rotorique de référence ... ….56

Figure (IV.19) Flux rotorique de estimé ... ….57

Figure (IV.20) Flux rotorique de référence et le flux estimé ... ….57

Figure (IV.20) Couple électromagnétique estimé ... ….68

Tableau (III.1) Tensions simples triphasées et diphasées ... ….36 Tableau (III.2) Table de commutation (associée à des comparateurs à hystérésis à seul non nul) ... ….40

𝑝𝑝 Nombre de paire de pôles 𝐿𝐿𝑠𝑠 Inductance propre statorique 𝐿𝐿_𝑟𝑟 Inductance propre rotorique

𝑀𝑀_{𝑠𝑠𝑟𝑟} Inductance mutuelle entre stator et rotor 𝑅𝑅𝑠𝑠 Résistance statorique

𝑅𝑅𝑟𝑟 Résistance rotorique 𝐶𝐶_{𝑒𝑒𝑒𝑒} Couple électromagnétique 𝐶𝐶_𝑟𝑟 Couple de charge

𝐽𝐽 Inertie de la machine 𝑔𝑔 Glissement

𝜎𝜎 Coefficient de dispersion

𝐶𝐶_{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟} Couple électromagnétique de référence 𝑟𝑟 Coefficient de frottement visqueux Ω Vitesse de rotation mécanique

Ω_{𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟} Vitesse de rotation de référence

𝜔𝜔 Vitesse de rotation électrique 𝜔𝜔_𝑠𝑠 Pulsation statorique

𝜔𝜔_𝑟𝑟 Pulsation rotorique

𝜗𝜗 Position angulaire électrique du rotor de la machine 𝜗𝜗_𝑠𝑠 Phase du flux statorique par rapport au stator 𝜗𝜗_𝑟𝑟 Phase du flux rotorique par rapport au rotor

Variables associées à la machine

𝑝𝑝_𝑠𝑠

𝑝𝑝_𝑟𝑟 Puissance transitée par le rotor

𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚 Puissance mécanique de la machine

𝐼𝐼_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚} Courants de phases du côté stator

𝐼𝐼_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚} Courants de phases du côté rotor

𝑉𝑉𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚 Tensions de phases du côté stator

𝑉𝑉_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚} Tensions de phases du côté rotor

𝐼𝐼_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes de courant biphasées statoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au stator

𝐼𝐼_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes de courant biphasées rotoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au rotor

𝑉𝑉_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes de tension biphasées statoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au stator

𝑉𝑉_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes de tension biphasées rotoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au rotor

𝐼𝐼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Composantes de courant biphasées statoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au stator

𝐼𝐼_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes de courant biphasées rotoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au rotor

𝑉𝑉_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes de tension biphasées statoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au stator

𝑉𝑉𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠 Composantes de tension biphasées rotoriques dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au rotor

∅_𝑠𝑠 Flux statorique

∅𝑟𝑟 Flux rotorique

∅_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚} Composantes triphasées de flux statorique

Variables liées aux courants et tensions

Variables liées aux flux

∅_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚}

∅_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes biphasées du vecteur flux statorique dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au stator

∅_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes biphasées du vecteur flux rotorique dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au rotor

∅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Composantes biphasées du vecteur flux statorique dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au stator

∅_{𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠} Composantes biphasées du vecteur flux rotorique dans le repère 𝑠𝑠𝑠𝑠 lié au rotor

MADA Machine asynchrone à double alimentation

MADAS Machine asynchrone à double alimentation simple DTC Commande directe du couple (Direct torque contrôl) FOC Commande vectorielle à flux orienté (field oriented contrôl) IRFOC Commande vectorielle indirecte à flux orienté

PI Régulateur proportionnel intégrale Abréviations

Le travail présenté dans ce mémoire apporte, entre autres, une contribution à la méthode d’analyse et de synthèse de la commande robuste de la Machine Asynchrone à Double Alimentation (MADA) alimentée par deux onduleurs de tension.

On a introduit, dans un premier chapitre, les différentes stratégies de la MADA ainsi que les différentes structures de sa commande.

Le deuxième chapitre est consacré pour la modélisation de la MADA en vu de sa simulation directement par le réseau.

Dans le troisième chapitre on a présenté l²architecture générale de la commande directe du couple(DTC) par utilisation des comparateurs a hystérésis .

Dans le quatrièmes chapitre on a implante cette commande sous logiciel Matlab Simulink afin de tester la robustesse de cette commande. MADA Machine asynchrone à double alimentation

Mots Clés :

MADAS Machine asynchrone à double alimentation simple DTC Commande directe du couple (Direct torque contrôl) FOC Commande vectorielle à flux orienté (field oriented contrôl) IRFOC Commande vectorielle indirecte à flux orienté

PI Régulateur proportionnel intégrale

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Depuis l’ère de l’industrialisation, les chercheurs ont été confrontés au "comment commander les machines électriques à des vitesses variables ?", Car les entraînements électriques exigent de plus en plus de hautes performances, une fiabilité accrue, et un coût réduit [1].

Au 19éme siècle, ce problème à été résolu avec les moteurs à courant continu dont on peut modifier la vitesse de rotation de zéro à la vitesse maximale, et ceci en agissant sur la tension d’induit en gardant le flux d’induction constant. Cependant, la présence du système balais- collecteur les pénalise : ces machines ne peuvent servir ni dans le domaine des grandes puissances, ni en milieux corrosifs, s’y ajoute aussi l’entretien que nécessite le collecteur

Ces contraintes ont donc orienté la recherche dans le domaine de la vitesse variable vers les machines à courant alternatif, et plus particulièrement vers les machines asynchrones. Celles-ci ont, en effet, de nombreux avantages: coût de fabrication réduit, construction relativement simple, support des surcharges, vitesse de rotation plus élevée et n’exigent pas d’entretien permanent. L’inconvénient de cette catégorie de machines réside dans la complexité de leur fonctionnement, car elles se comportent comme des systèmes multi-variables, non linéaires et fortement couplés, d’où la difficulté de leur commande [2].

Grâce à l’évolution technologique de l’électronique de puissance et de la micro informatique, le domaine d’entraînement électrique à vitesse variable a connu ces dernières années un essor considérable qui a pallié les problèmes inhérents aux commandes des machines alternatives.

Il existe une nouvelle solution utilisant la machine alternative fonctionnant dans un mode un peu particulier, il s’agit de la machine asynchrone à double alimentation "MADA". En effet, un intérêt particulier et significatif est consacré à cette machine du fait des nombreux avantages qu’elle présente, à savoir : l’accessibilité au stator et au rotor, une grande plage de variation de la vitesse, une réduction de taille des convertisseurs. Certaines études font d’elle une sérieuse concurrente à plusieurs machines électriques, particulièrement la machine asynchrone à cage classique [2]. Pourtant à première vue, la balance semble pencher tout de suite du côté de la machine à cage d’écureuil, en effet, la machine asynchrone à rotor bobiné est plus volumineuse (plus de cuivre), utilise des balais et nécessite plus de convertisseurs pour un fonctionnement moteur.

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Plusieurs méthodes sont utilisées pour le contrôle de la vitesse des machines électriques, et ce contrôle peut être réalisé de différentes manières et suivant différentes stratégies. La première commande qui a été introduite dans l'industrie était la commande scalaire très répandue pour sa simplicité et son coût réduit, elle a occupé une grande partie des applications industrielles à vitesses variables. Seulement, les demandes aux applications plus performantes ont ouvert les voies aux chercheurs pour réaliser des commandes appropriées qui répondent aux exigences industrielles. La commande vectorielle constitue actuellement un domaine de recherche particulièrement intéressant, sa plage s'étend des petites puissances jusqu'aux entraînements de grandes puissances. Elle est l'évolution du contrôle scalaire tout en maintenant ses performances en régimes transitoires. La grande différence entre ces deux stratégies de commande réside dans le fait que pour un contrôle vectoriel, les paramètres de la machine doivent être connus assez précisément, la dynamique du contrôle devient de plus en plus efficace avec une bonne connaissance paramétrique. Mais cette évolution de réglage et l'augmentation des performances en dynamique se payent chères. Et c’est le fait qui a conduit d'autres chercheurs à trouver des commandes aussi performantes et moins coûteuses. Ces efforts ont été récompensés par l'introduction de la commande directe du couple (DTC), conçue essentiellement pour concurrencer sa précédente, elle a fait ses preuves mais elle n'était pas sans inconvénients. Grâce aux évolutions actuelles, beaucoup de travaux de recherches visent à développer les performances de ces deux grandes méthodes.

L’objectif de ce travail est la réalisation de la stratégie d’une commande directe du couple d’un moteur asynchrone à double alimentation. Pour ce faire, on a opté pour le plan de travail constitué de quatre chapitres organisés comme suit :

Le premier chapitre sera consacré à l’étude de l’état de l’art de la machine asynchrone à double alimentation s’intéressant à son principe de fonctionnement, à sa classification, aux différentes stratégies de sa commande, ses avantages et ses inconvénients ainsi que ces domaines d’utilisation.

Ensuite, le deuxième chapitre présentera une modélisation de la MADA. L’objectif est alors de déterminer un modèle de connaissance ainsi qu’un modèle d’action qui permettra de réaliser la synthèse de la commande. Nous présenterons le modèle mathématique de la machine asynchrone à double alimentation (MADA) permettant l’étude de son comportement dynamique. Le modèle adapté est basé sur la transformation de Park.

Dans le troisième chapitre on s’étalera sur le principe de la commande directe du couple appliqué à la machine asynchrone à double alimentation.

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Enfin, le quatrième chapitre portera sur la simulation de la commande directe du couple de la machine asynchrone à double alimentation sous l’environnement Matlab/Simulink.

4 I. Introduction

Durant ces vingt dernières années, un intérêt particulier et significatif est consacré à l’étude de la machine asynchrone à double alimentation du fait des nombreux avantages qu’elles présentent à savoir : l’accessibilité au stator et au rotor, une grande plage de variation de la vitesse, une réduction la taille des convertisseurs.

La machine asynchrone à double alimentation (MADA) a fait l’objet de vastes recherches dans les laboratoires d’électrotechnique depuis que les progrès tangibles ont été réalisés dans divers domaines tels que : les matériaux d’électrotechnique, l’informatique et l’électronique de puissance.

L'objectif de ce chapitre est de mener une étude théorique sur la machine asynchrone à double alimentation s’intéressant à son principe de fonctionnement, aux différentes stratégies de sa commande, ses inconvénients et ses avantages ainsi que ses domaines d’utilisation.

II. Présentation de la MADA

La première apparition de la machine asynchrone à double alimentation "Doubly-fed Induction machine (DFIM) ", date de l’année 1899 [3], il ne s’agit pas d’une nouvelle structure mais d’un nouveau mode d’alimentation.

La machine asynchrone à double alimentation présente un stator analogue à celui des machines triphasées classiques (asynchrone à cage ou synchrone) constitué le plus souvent de tôles magnétiques empilées munies d'encoches dans lesquelles viennent s'insérer les enroulements (Figure. I.1) [4].

L'originalité de cette machine provient du fait que le rotor diffère radicalement car il n’est pas composé d’aimants ou d’une cage d’écureuil mais d’enroulements triphasés disposés de la même manière que les enroulements statoriques (rotor bobiné) (Figure. I.2) [5]. Le rotor bobiné comprend un bobinage triphasé, semblable à celui du stator raccordé en étoile et dont l’extrémité libre de chaque enroulement est reliée à une bague et permet une connexion externe des bobinages au rotor.

Cette connexion qui est une liaison d’alimentation externe (balais qui porte les charbons) permet de réaliser un contrôle des grandeurs rotoriques [6].

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Fig I.1. Stator bobinée. Fig I.2. Rotor bobinée.

Pour être classée comme machine à double alimentation, il faut qu’il y ait des sources actives sur le stator et le rotor à la fois. Dans les systèmes modernes, une de ces sources est dérivée électroniquement et peut être commandée pour fournir l'opération vitesse variable du système, soit comme un moteur, soit comme un générateur. Le convertisseur de puissance est typiquement relié à l'enroulement du rotor. L'autre source (réseau) qui a typiquement une fréquence et une tension nominalement fixées, est habituellement raccordée au stator (Figure. I.3) [6].

Figure I.3. Schéma d’alimentation typique de la MADA [6].

III. Principe de fonctionnement de la MADA

Elle est excitée simultanément au stator et au rotor respectivement, avec deux fréquences imposées par deux sources. Ce qui fait qu’une certaine synchronisation entre les deux champs est exigée afin de garantir une certaine stabilité à la machine. Ce qui donne une situation similaire à la machine synchrone avec son problème de l’angle de charge indiquant le décalage entre la roue

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polaire et le champ tournant statorique [7]. Des lors une étude de stabilité doit être observée pour pouvoir administrer à la machine les deux sources extérieures.

Le caractère synchrone de ce type de machine demeure dans la mesure où la vitesse du rotor ne sera ni synchronisée avec la vitesse du champ du stator ni avec celui du rotor, mais elle sera donnée par leur combinaison linéaire, telle que :

𝜔𝜔= 𝑃𝑃Ω= 𝜔𝜔_𝑠𝑠∓ 𝜔𝜔_𝑟𝑟 (1.1)

(+) pour fonctionnement hypo synchrone et (–) pour fonctionnement hyper synchrone. De part l’imposition des fréquences, dans les deux modes de fonctionnement, la vitesse en régime permanent est constante quelque soit la charge (caractère synchrone).

IV. Classification de la MADA

En littérature et dans le domaine des machines asynchrone à double alimentation, on trouvera la classification suivante :

IV.1. Machine à double alimentation simple

La machine à double alimentation simple (MADAS), est une machine asynchrone, à rotor bobiné, munie d’un système balais-bague (Single Doubly Fed Induction Machine). La figure (I.4) illustre le schéma de principe de cette dernière, tel que le stator est alimenté directement par le réseau et le rotor est alimenté au moyen d'un convertisseur alternatif-alternatif de telle sorte que le glissement de la machine peut être contrôlé. Il faut noter que le convertisseur indiqué dans la figure peut être composé d’un redresseur et d’un onduleur (conversion indirecte) ou bien peut être un cyclo-convertisseur (conversion directe) [8], [9], [10].

Fig. I.4. Schéma de principe de la machine à double alimentation simple [11].

7 IV.2. Machine à double alimentation en cascade

Cette machine est constituée de deux MADA dont les rotors sont couplés électriquement et mécaniquement (Cascaded Doubly Fed Induction Machine). La figure (I.5) présente le schéma de principe de deux machines asynchrones à rotor bobiné permettant d'obtenir un système à double alimentation. Les enroulements statoriques sont reliés à deux sources de tensions triphasées [11].

Fig. I.5. Schéma de principe de la machine à double alimentation en cascade [11].

IV.3. Machine à double alimentation cascade à un repère

La machine à double alimentation cascade à un repère est constituée de deux machines asynchrones à cage connectées mécaniquement (Single Frame Cascaded Doubly Fed Induction Machine). La figure (I.6) présente le schéma de principe, tel que le stator de l'une des deux machines est connecté directement au réseau alors que l'autre est connecté à celui-ci par l'intermédiaire d'un convertisseur alternatif-alternatif [11].

Fig. I.6. Schéma de principe de la machine à double alimentation en cascade à un repère [11].

8 IV.4. Machine à double alimentation sans collecteur

Cette machine est constituée par deux enroulements prolongés dans un seul stator. L'un des deux enroulements est alimenté directement par le réseau et l'autre par un convertisseur AC/AC, figure (I.7). Ce type de machine est composé de deux enroulements statoriques ayant des nombres de paires de pôles différents, ainsi que d’un enroulement rotorique dont le nombre de paires de pôles est égale à la somme des paires de pôles au niveau des enroulements statoriques.

Fig. I.7. Schéma de principe de la machine à double alimentation sans collecteur [11].

Parmi les types les plus connus de machine à double alimentation sans collecteur, on trouve la machine à double alimentation à réluctance variable (Doubly Fed Reluctance Machine) qui est constituée d’un stator identique à celui de la machine à double alimentation sans collecteur et d’un rotor basé sur le principe de la réluctance (entrefer variable). Cette dernière est caractérisée par un flux d'entrefer pulsatoire [11].

IV.5. Machine à double alimentation sans balais

L’idée de la machine à double alimentation sans balais BDFIM (Brushless Doubly Fed Induction Machine) a été pour la première fois mise en évidence par Steinmetz à la fin du 19éme siècle [11]. Le schéma de montage d’un tel système est montré dans la figure (I.8) où deux machines à rotor bobiné ont été calées sur le même axe. Les enroulements statoriques des deux machines sont reliés au réseau, alors que les enroulements rotoriques sont interconnectés entre eux et par conséquent les bagues sont de facto éliminées. La puissance de glissement de la première machine est donc employée pour exciter la deuxième machine.

Ce concept élégant a longtemps été dans les perspectives des concepteurs comme solution efficace pour les applications des grandes puissances [11].

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Fig. I.8. Schéma de principe de la machine à double alimentation sans balais [11].

D'après cette classification illustrée, on constate que la machine à double alimentation simple (MADAS) représente une construction établie par rapport aux autres types de machines.

Economiquement, il est difficile de prévoir quel type de machine à double alimentation sera finalement réussi. Cependant, la machine à double alimentation à réluctance variable (MDARV), qui est analogue à la machine à double alimentation simple par sa commande et son modèle reste la plus attractive pour beaucoup de chercheurs [8].

V. Notions hypo et hyper-synchrone de la MADA Le glissement est défini par :

g =^Ωs_Ω^−Ω

s = ^ωs_ω^−ω

s =^ω_ω^r

s =^f_f^r

s (1.2) On en déduit que :

Ω= (1−g)Ω_s (1.3)

Si la source connectée au rotor crée une force magnétomotrice 𝐹𝐹_𝑟𝑟 qui tourne dans le sens contraire du sens de rotation de la force magnétomotrice 𝐹𝐹𝑠𝑠, le glissement devient négative et le rotor tournera plus vite que le champ tournant crée par le stator Ω>Ω_𝑠𝑠, la machine est dite en fonctionnent hyper-synchrone.

Dans le cas ou la source connectée au rotor crée une force magnétomotrice 𝐹𝐹_𝑟𝑟 qui tourne dans le même sens que le sens de rotation de la force magnétomotrice 𝐹𝐹𝑠𝑠 , le glissement est positive et le rotor tournera moins vite que le champ tournant crée par le stator Ω<Ω_𝑠𝑠, la machine est dite en fonctionnent hypo-synchrone [12].

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Dans la machine asynchrone à cage classique, un signe négatif du glissement traduit un fonctionnement générateur de la machine, ce qui peut porter confusion par rapport à la compréhension du principe de fonctionnement de la MADA. Dans la machine asynchrone doublement alimentée, le signe de glissement traduit un fonctionnement en hypo ou hyper- synchronisme et non pas le mode de fonctionnement de la machine (Moteur ou générateur).

De plus, avec la MADA il est même possible de fonctionner en synchronisme (𝜔𝜔 =𝜔𝜔_𝑠𝑠) tout en atteignant une valeur de couple élevée.

VI. Différentes stratégies d’alimentation de la MADA pour une application moteur

La structure de la machine asynchrone à double alimentation présente l’avantage de permettre de commander les variables de la machine, telle que, la puissance, la vitesse, le couple. Cette commande est réalisée par plusieurs méthodes et structures ; selon le mode de fonctionnement, la variable à commander et le domaine d’application.

VI.1. Commande de la MADA par un seul convertisseur

C’est la stratégie la plus simple et la plus utilisée dans les applications industrielles, cette structure est illustrée par la figure suivante [13] :

Fig. I.9. MADA commandée par un seul convertisseur alimentant le rotor [13].

Dans cette structure de commande, la MADA est alimentée à son stator par le réseau, tandis que le rotor est alimenté à travers un système de conversion qui comporte un redresseur, un filtre et un onduleur. Cette structure est appelée aussi la cascade hypo-synchrone. Elle permet de contrôler la puissance active et réactive statorique à la fois en régime permanent et transitoire [11]. La machine dans ce cas peut fonctionner en moteur ou générateur, mais

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l’application la plus courante est l’utilisation dans les systèmes de production d’énergie électrique notamment les systèmes éoliens et hydrauliques.

VI.2. Commande de la MADA par deux onduleurs.

Cette structure de commande consiste en une MADA alimentée par deux onduleurs, l’un au stator et l’autre au rotor. Elle peut prendre deux formes équivalentes [3] :

 Deux onduleurs alimentés par leurs propres redresseurs. Dans ce cas, c'est le réseau qui est la source du couplage électrique existant entre les deux côtés.

 Deux onduleurs alimentés en parallèle par un redresseur commun, ce dernier est donc une source d'alimentation commune aux deux côtés.

La première forme de cette stratégie de commande est illustrée par la figure suivante [13] :

Fig. I.10. MADA commandée par deux onduleurs alimentés à travers deux redresseurs [13].

Cette structure est évidemment la structure la plus générale du système. Les deux redresseurs ont une source d'alimentation commune qui est le réseau triphasée.

La deuxième structure est semblable à la précédente, sauf que les onduleurs sont alimentés par un seul redresseur. Cette structure est représentée par la figure suivante [13]:

12

Fig. I.11. Commande de la MADA par deux onduleurs alimentés à travers un redresseur commun [13].

Ces deux dernières structures de commande sont utilisées généralement dans le fonctionnement en moteur, pour les applications de traction électrique.

VII. Domaines d’application de la MADA

Actuellement la machine asynchrone à double alimentation occupe une large place dans les applications industrielles, grâce à ces nombreux avantages. En effet, la MADA est très utilisée en mode générateur dans les applications d’énergie renouvelable notamment dans les systèmes éoliens. De plus, le fonctionnement en générateur présente la MADA comme une alternative sérieuse aux machines synchrones classiques dans de nombreux systèmes de production d'énergie décentralisée telles que [16] :

 Les générateurs des réseaux de bord des navires ou des avions.

 Les centrales hydrauliques à débit et vitesse variable.

 Les groupes électrogènes pour lesquels la réduction de vitesse pendant les périodes de faible consommation permet de réduire sensiblement la consommation de carburant.

La MADA peut être utilisée aussi dans d’autres applications importantes nécessitant un fort couple de démarrage, telles que :

 La métallurgie avec les enrouleuses et les dérouleuses de bobines.

 La traction, avec notamment des applications de type transport urbain ou propulsion maritime.

 Et enfin l’application de levage, les ascenseurs, les monte-charges etc..

13

On note que les applications de la MADA en moteur sont relativement très limitées, parmi celles-ci on trouve principalement, la traction électrique et les systèmes de pompage.

VIII. Avantages et inconvénients de la MADA

Comme les autres machines, la MADA présente quelques avantages et inconvénients qui sont liés à plusieurs facteurs, sa structure, sa stratégie de commande et ses applications.

VIII.1. Avantages de la MADA

Comme avantages de la MADA, on peut citer :

 L’accessibilité au stator et au rotor offre l’opportunité d’avoir plusieurs degrés de liberté pour bien contrôler le transfert des puissances et le facteur de puissance avec toutes les possibilités de récupération ou l’injection d’énergie dans les enroulements de la machine[15].

 La capacité de pouvoir augmenter la plage de variation de la vitesse autour de la vitesse de synchronisme. De plus, l’application de la commande vectorielle associée à une technique de commande moderne permet d’obtenir un couple nominal sur une grande plage de vitesse[4].

 Dans la MADA, le circuit rotorique peut être piloté par un convertisseur de fréquence de puissance relativement faible par rapport au stator. Ce convertisseur rotorique de haute commutation est utilisé pour réaliser de hautes performances dynamiques en termes de temps de réponse, de minimisation des harmoniques et d’amélioration de rendement [15].

 L'utilisation d'une MADA permet de réduire la taille des convertisseurs d'environ 70 % en faisant varier la vitesse par action sur la fréquence d'alimentation des enroulements rotoriques. Ce dispositif est par conséquent économique et, contrairement à la machine asynchrone à cage, il n'est pas consommateur de puissance réactive et peut même être fournisseur[6].

 En fonctionnement générateur, l'alimentation du circuit rotorique à fréquence variable permet de délivrer une fréquence fixe au stator même en cas de variation de vitesse. Ce fonctionnement présente la MADA comme une alternative sérieuse aux machines synchrones classiques dans de nombreux systèmes de production d'énergie décentralisée [4].

 Son utilisation est préférée pour ses propriétés de réglage de vitesse par action sur des résistances placées dans le circuit rotorique, et encore sa possibilité de démarrer sans demander un courant important du réseau.

14

 Un fonctionnement en régime dégradé, si l’un des deux onduleurs tombe en panne, plus souple que la machine à simple alimentation [13].

VIII.2. Inconvénients de la MADA

Tout d’abord, la MADA est une machine asynchrone ; alors le premier inconvénient est que sa structure est non linéaire, ce qui implique la complexité de sa commande. En plus de ça, on peut citer les inconvénients suivants :

 Le marché traditionnel est conquis par la MAS à cage, très étudiée et très connue, la nouveauté peut effrayer [11].

 Elle est plus volumineuse qu'une MAS à cage de puissance équivalente. L'aspect multi-convertisseurs, augmente le nombre de convertisseurs et par conséquent le prix [11].

 Nous utilisons un nombre des convertisseurs (deux redresseurs et deux onduleurs ou un redresseur et deux onduleurs) plus importants que la machine à cage (un redresseur et un onduleur) [13].

 Un autre inconvénient apparaît lors de l’étude de cette machine, ce dernier est la stabilité notamment en boucle ouverte. En effet, dans le cas de la machine asynchrone conventionnelle celle-ci est garantie par la relation fondamentale de l’autopilotage réalisant l’asservissement de la vitesse par la fréquence du stator. Par conséquent, les deux forces magnétomotrices du stator et du rotor deviennent synchronisées. Mais dans le cas de la machine asynchrone à double alimentation, la rotation des forces magnétomotrices devient fonction des fréquences imposées par les deux sources d’alimentation externes. De ce fait, une certaine synchronisation entre elles est exigée afin de garantir une stabilité à la machine [13].

IX. Conclusion

Dans ce premier chapitre un état de l’art de MADA a été présenté, en premier lieu on a présenté une description de la MADA et de son principe de fonctionnement. Puis on s’est intéressé aux différentes stratégies de son alimentation ainsi qu’aux avantages et inconvénients de son utilisation et aux différents domaines de son application.

Nous nous concentrons le long de ce travail sur le fonctionnement de la MADA en mode moteur à vitesse variable alimentée par deux onduleurs de tension, au stator et au rotor.

15 I. Introduction

Dans le domaine d’utilisation des vitesses variables, il existe une solution nouvelle utilisant une machine à courant alternatif fonctionnant dans un mode un peu particulier, il s’agit de la machine asynchrone à double alimentation « MADA » qui est très populaire puisqu’elle bénéficie de certains avantages par rapport à tous les autres types à vitesse variable, son utilisation dans la chaine de conversion électromécanique en tant que générateur ou moteur a connu une croissance spectaculaire au cours des dernières années alors les chercheurs ne se lassent d'améliorer ses performances et sa commande, autant que permettent les progrès en matière des composants électroniques et matériaux industriels.

Dans le présent chapitre, nous présenterons la modélisation de la MADA (type courant). Nous débuterons par la mise en équation de la MADA en exprimant les équations électriques, magnétiques et mécaniques qui régissent son fonctionnement dans le référentiel triphasé que l’on notera (a, b, c).

Nous réduirons l’ordre du système et éliminerons la dépendance qui existe entre les coefficients d’inductances et la position du rotor par la transformation de Park. Cette transformation nous permettra de donner un nouveau modèle de la MADA dans le référentiel biphasé de Park noté usuellement (d, q). En suite, nous aborderons une série de simulations réalisées à l’aide du logiciel MATLAB/SIMULINK.

II. Hypothèses simplificatrices

On considère que la machine asynchrone triphasée est constituée d’un stator et d’un rotor cylindrique et coaxiaux dont les enroulements sont symétriques, triphasés et répartis d’une façon sinusoïdale dans les encoches. Les trois enroulements statoriques et rotoriques, sont supposés identiques.

La machine asynchrone à double alimentation est un système complexe. Afin de réduire la complexité du modèle de la machine et d’obtenir une formulation simple, on considérera quelques hypothèses simplificatrices, à savoir [17]

 Entrefer constant.

 L’effet des encoches est négligé.

 Le circuit magnétique est non saturé et à perméabilité constante.

 Les pertes magnétiques négligeables.

 L’hystérésis, les courants de Foucault et l’effet de peau sont négligeables.

Parmi les conséquences importantes de ces hypothèses, on peut citer :

 additivité des flux.

16

 la constance des inductances propres.

 la loi de variation sinusoïdale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et rotoriques en fonction de l’angle électrique de leurs axes magnétiques.

A partir de ces hypothèses, on peut schématiser la machine asynchrone à double alimentation par la figure (II.1) :

Fig. II.1. Représentation schématique de la MADA.

III. Mise en équations de la machine asynchrone à double alimentation

Les tensions, les flux et les courants statoriques et rotoriques triphasés de la machine asynchrone à double alimentation sont décrits par les équations vectorielles suivantes :

III.1. Equations électriques

Les équations électriques caractérisant la machine asynchrone à double alimentation sont : [Vs] = [Rs][Is] +^d[∅_dt^s] (2.1) [Vr] = [Rr][Ir] +^d[∅_dt^r] (2.2) Avec :

[Vs] = [Vas, Vbs, Vcs]^T, [Vr] = [Var, Vbr, Vcr]^T : Représente respectivement les tensions statoriques et rotorique.

[I_s] = [I_as, I_bs, I_cs]^T, [I_r] = [I_ar, I_br, I_cr]^T : Représente respectivement les courants statoriques et rotoriques.

17

[∅_s] = [∅as,∅bs,∅cs] , [∅_r] = [∅ar,∅br,∅cr] /: Représente respectivement les flux statoriques et rotoriques.

[Rs] =�R_s 0 0

0 Rs 0

0 0 R_s�, [Rr] =�R_r 0 0

0 Rr 0

0 0 R_r�, Rs et Rr : Résistance des enroulements statoriques et rotorique.

III.2. Equations magnétiques

Les flux créent par les enroulements statoriques et rotorique ont pour expression : [∅_s] = [L_s][I_s] + [M_sr][I_r] (2.3)

[∅_r] = [Lr][Ir] + [Msr]^T[Is] (2.4) Tel que:

[LS] =� Ls Msr Msr

M_sr L_s M_sr Msr Msr Ls

� [Lr] =� Lr Mrs Mrs

M_rs L_r M_rs Mrs Mrs Lr

�

[Msr] = [Mrs]^T =

⎣⎢

⎢⎢

⎡ cos(θ) cos(θ+^2π₃) cos(θ−^2π₃) cos cos(θ−^2π₃) cos(θ) cos(θ+^2π₃) cos(θ+^2π₃) cos(θ−^2π₃) cos(θ) ⎦⎥⎥⎥⎤

Avec :

Ls, Lr : Inductance propre d’une phase statorique et rotorique respectivement.

Msr, Mrs : Inductance mutuelle entre phases statoriques et rotoriques.

Les équations (2.3) et (2.4) peuvent s’écrire aussi sous la forme:

�∅_as = L_sI_as + M_srI_bs + M_srI_cs + M_srI_ar + M_srI_br + M_srI_cr

∅bs = MsrIas + LsIbs + MsrIcs + MsrIar + MsrIbr + MsrIcr

∅cs = MsrIas + MsrIbs + LsIcs + MsrIar + MsrIbr + MsrIcr

(2.5)

�∅_ar = L_rI_ar + M_rsI_br + M_rsI_cr + M_rsI_as + M_rsI_bs + M_rsI_cs

∅_br = M_rsI_ar + L_rI_br + M_rsI_cr + M_rsI_as + M_rsI_bs + M_rsI_cs

∅_ar = M_rsI_ar+ M_rsI_br + L_sI_cr + M_rsI_as + M_rsI_bs + M_rsI_cs (2.6) En introduisant (2 .3), (2.4) dans (2 .1) et (2.2), on aura :

18

[V_s] = [R_s][I_s] + [L_s] _dt + [M_sr] _dt (2.7) [Vr] = [Rr][Ir] + [Lr]^d[I_dt^r]+ [M_sr]^{T d[I}_dt^s] (2.8) Cette mise en équation aboutit à deux équations différentielles à coefficients variables. L’étude analytique du comportement du système est relativement laborieuse. On utilise alors des transformations mathématiques qui permettent de décrire le comportement de la machine à l’aide d’équations différentielles à coefficients constants. Parmi ces transformations, on distingue celle de Concordia et de Park qu’on utilisera dans la suite de notre travail.

III.3.Transformation triphasée – diphasée III.3.1.Transformation de Concordia

La transformation de Concordia permet le passage d'un système triphasé fixe (abc) vers un système biphasé fixe équivalent (αβ) (figure II.2). Cette transformation se fait à travers la matrice de Concordia C32.

C₃₂^t = �2 3

⎣⎢

⎢⎢

⎡1 −1

2 −1

2 0 √3

2 −√3

2 ⎦⎥⎥⎥⎤

Le passage du système triphasé vers le système biphasé fixe se fait comme suit : X_abc = C₃₂. Xαβ.

Fig. II.2. Représentation schématique d’une transformation triphasée – diphasée.

19 III.3.2. Transformation de PARK

La transformation de Park est constituée d’une transformation biphasée suivie d’une rotation.

Elle permet de passer d’un repère (αβ) vers un repère mobile (dq).

Cette transformation s’effectue à travers une matrice dite matrice de Park 𝑃𝑃(𝜃𝜃_𝑒𝑒).

P(θ_e) =�cos(θ_e) −sin(θ_e) sin(θ_e) cos(θ_e) �

Le passage du système biphasé fixe au système biphasé mobile, ce fait en multipliant par 𝑃𝑃(𝜃𝜃𝑒𝑒) : 𝑋𝑋𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑃𝑃(𝜃𝜃_𝑒𝑒).𝑋𝑋𝛼𝛼𝛼𝛼

Fig. II.3. Représentation schématique d’une transformation de Park.

III.3.3. Modèle de la MADA dans le repère de Concordia III.3.3.1. Équations des flux

L’application de cette transformation au système d’équation (2.3) et (2.4) consiste à effectuer le changement de variable suivant.

�Vsαβ� = [C₃₂]⁻¹. [V_sabc]

�Isαβ� = [C32]⁻¹. [Isabc] �Vrαβ�= [C₃₂]⁻¹. [V_rabc]

�Irαβ� = [C₃₂]⁻¹. [I_rabc]

20 Nous aurons alors :

[C32]⁻¹. [∅_sabc] = [C32]⁻¹[Ls]. [Isabc] + [C32]⁻¹. [M_sr]. [Irabc] (2.9) En définissant

[ ]

[I₃] = [C32]. [C32]⁻¹ (2 .10) En introduisant cette identité dans la formule (2.9), on a :

�∅sαβ�= [C32]⁻¹[Ls]. [C32]. [C32]⁻¹[Isabc] + [C32]⁻¹[Msr]. [C32]. [C32]⁻¹. [Irabc] (2.11) A partir de cette équation on peut définir les matrices suivantes :

[Ls] = [C32]⁻¹[Lss][C32] = �l_s −M_s 0 0 l_s −M_s� Et

[Msr] = [C32]⁻¹[Msr][C32] = 3

2 M^sr�cos⁡(θ_e) −sin⁡(θ_e) sin⁡(θ_e) cos⁡(θ_e) � Le système d’équation (2.11) deviendra :

�∅sαβ� = [Ls].�Isαβ�+ [Msr].�𝐼𝐼𝑟𝑟𝛼𝛼𝛼𝛼� (2 .12) En effectuons le même principe pour les enroulements rotoriques on a :

�∅rαβ�= [L_r].�Irαβ�+ [M_sr]^t.�Isαβ�

(2 .13) Avec :

[Lr] =�l_r −M_r 0

0 l_r−M_r� , [Msr]^t = ³₂ Msr�cos⁡(θ_e) sin⁡(θ_e)

−sin⁡(θ_e) cos⁡(θ_e)� III.3.3.2. Equation des tensions

De la même manière que dans la partie précédente, on applique la transformation de Concordia au système d’équation (2.1) et (2.2) :

[C₃₂]⁻¹[V_{s abc}] = [C₃₂]⁻¹[R_s]. [C₃₂]. [C₃₂]⁻¹[I_sabc] +_dt^d {[C₃₂]⁻¹. [∅_sabc]} (2 .14) [C₃₂]⁻¹[V_{r abc}] = [C₃₂]⁻¹[R_r]. [C₃₂]. [C₃₂]⁻¹[I_rabc] +_dt^d {[C₃₂]⁻¹. [∅_rabc]} (2 .15)

21

En représentant les variables rotoriques et statoriques dans une même matrice on a :

⎣⎢

⎢⎡Vsα

V_sβ

Vrα

Vrβ⎦⎥⎥⎤

= � R_s

00 0

R0s

00 00 Rr

0 00 R0_r

�

⎣⎢

⎢⎡Isα

Isβ

Irα

Irβ⎦⎥⎥⎤ + _dt^d

⎣⎢

⎢⎡∅sα

∅sβ

∅rα

∅rβ⎦⎥⎥⎤

(2 .16)

III.3.4. Model de la MADA dans le repère de Park

La projection des grandeurs électriques et magnétique de la MADA, dans un repère (d, q) tournant à une vitesse ω quelconque par rapport au stator et (𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝑟𝑟) par rapport au rotor est exposée ci-dessous.

III.3.4.1.Equations des flux

En remplaçant les grandeurs X_αβ par P(ϑ).Xdq et en pré-multipliant les deux cotés du système d’équation (2.12) et (2.13) par P(−ϑ), on obtient alors le modèle de Park.

�[P(ϑ)].�∅_{s αβ}� = [L_s]. [P(ϑ)].�I_sαβ�+ [M_sr]. [P(ϑ−ϑ_e)].�I_rαβ�

[P(ϑ−ϑ_e)].�∅_rαβ� = [L_r]. [P(ϑ−ϑ_e)].�I_rαβ�+ [M_sr]^t[P(ϑ)].�I_sαβ� (2.17)

� �∅sdq� = [Ls].�Isdq�+ [Msr]. [P(−ϑe)]. [Irdq]

�∅_rdq�= [L_r].�I_rdq�+ [M_sr]^t. [P(ϑ_e)].�I_sdq� (2.18)

III.3.4.2.Équations des tensions

Concernant les équations aux tensions, on applique la même procédure que pour les équations de flux, on aura :

�[P(ϑ)]�Vsαβ�= [Rs][P(ϑ)]�Isαβ�+_dt^d �[P(ϑ)]�∅sαβ��

[P(ϑ−ϑ_e)]�V_rαβ�= [R_r][P(ϑ−ϑ_e)]�I_rαβ�+_dt^d �[P(ϑ−ϑ_e)]�∅_rαβ�� (2.19)

En multipliant ces deux équations respectivement par P (𝜃𝜃) et P(𝜃𝜃 − 𝜃𝜃𝑒𝑒), on a :

��Vsdq� = [Rs]�I_sdq�+ [P(−ϑ)]_dt^d �[P(ϑ)]�∅sdq��

�V_rdq� = [R_r]�I_rdq�+ [P(−ϑ+ϑ_e)]_dt^d �[P(−ϑ+ϑ_e)]�∅_rdq�� (2.20)

Afin de simplifier le système d’équation (2.20), on utilise la propriété suivante :

22 [P(−θ)]. d

dt�[P(ϑ)]�X_dq��= [P(−ϑ)]. [P(ϑ)]. d

dt��∅_sdq��+ [P(−ϑ)]�X_dq�. d

dt{[P(ϑ)]}

= _dt^d ��∅sdq��+�Xdq�.^dϑ_dt . P(₂^π) (2.21) Alors, on aura :

��V_sdq�= [R_s]�I_sdq�+_dt^d ��∅_sdq��+�∅_sdq�.^dϑ_dt. P�^π₂�

�V_rdq�= [R_r]�I_rdq�+_dt^d ��∅_rdq��+�∅_rdq�.^d(−ϑ+ϑ_dt ^e). P(^π₂) (2.22) Le modèle de la machine asynchrone à double alimentation dans le plan de Park est :

⎣⎢

⎢⎡V_sd V_sq V_rd Vrq⎦⎥⎥⎤

=� R_s

00 0

R0_s 00

00 R_r 0

00 R0_r

�

⎣⎢

⎢⎡I_sd I_sq I_rd Irq⎦⎥⎥⎤

+ _{𝑑𝑑𝑑𝑑}^𝑑𝑑

⎣⎢

⎢⎡∅sd

∅_sq

∅rd

∅_rq⎦⎥⎥⎤ + �

−ω 00 0

ω0 00

00 (ω−ω_s)

0

00 (−ω0+ω_s)

�

⎣⎢

⎢⎡∅sd

∅_sq

∅rd

∅_rq⎦⎥⎥⎤

(2.23)

On choisit ϑ=ϑ_sle modèle en flux de la MADA ce simplifier, en effet, les sous matrice inductance sont diagonales et elles ne dépendent plus de l’angle électrique entre le stator et le rotor :

� φ_sd φ_sq φ_rd φ_rq

� =

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎡ L_s 0 ³₂M_sr 0

0 Ls 0 ³₂Msr

3

2M_sr 0 L_r 0

0 ³₂Msr 0 Lr ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢

⎢⎡I_sd I_sq Ird

I_rq⎦⎥⎥⎤

(2.24)

En intégrons l’équation (2.24) dans (2.23) on a :

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎡Vsd

Vsq

V_rd V_rq⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎡Rs −Lsω_s 0 −³₂ω_sMsr 0 0 R_s + L_sω_s 0 ³₂ω_sM_sr

−³₂ω_rMsr 0 Rr −Lrω_r 0 0 ³₂ω_rM_sr 0 R_r + L_rω_r⎦⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎡Isd

Isq

I_rd I_rq⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

+

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎡ Ls 0 ³₂Msr 0 0 L_s 0 ³₂M_sr

3

2Msr 0 Lr 0

0 ³₂M_sr 0 L_r ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢

⎢⎡I_sd I_sq I_rd I_rq⎦⎥⎥⎤

(2.25)