RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Concours National d’accès aux Écoles Nationales Supérieures
24-25 juin 2013
Date : 25 juin 2013 Épreuve : Physique Durée : 03 heures Coefficient : 04
PROBLÈME
1. Le corps humain peut survivre à un traumatisme dû à une accélération (arrêt brutal) si la norme de cette accélération est inférieure à 250m/s2 . Dans le cas d’un accident de la circulation impliquant une voiture roulant à une vitesse de 100km/h , sur quelle distance un coussin d’air (Airbag) devrait vous arrêter pour que vous puissiez survivre au choc ?
2. Si le coefficient de frottement cinétique entre les pneus d’une voiture et une chaussée sèche est 0.80 , quelle est la plus courte distance nécessaire pour arrêter un véhicule roulant à 28.7 km/h ? On donne l’accélération de la pesanteur g=9.80m/s2 .
3. Sur une chaussée mouillée, le coefficient de frottement cinétique baisse jusqu’à atteindre une valeur de 0.25 . A quelle vitesse devriez-vous conduire sur une chaussée mouillée à fin que vous puissiez arrêter votre véhicule en parcourant la même distance que celle calculée dans la question précédente ?
4. Les voitures modernes sont équipées de pare-chocs déformables permettant à celles-ci de rebondir en cas de chocs à faibles allures, causant ainsi moins de dégâts. Dans ce type de collisions, une voiture de masse 1750kg se déplaçant à une vitesse de 1.50m/s entre en collision avec une autre voiture de masse 1450kg , roulant dans le sens opposé à la vitesse de 1.10m/s . Les mesures indiquent que la voiture la plus lourde avait juste avant le choc une vitesse de 0.25m/s dans sa direction initiale. On ignore ici les frottements au sol pendant le choc.
Page 1 sur 4
a. Quelle a été la vitesse de la voiture légère juste après le choc ?
b. Calculer la variation en énergie cinétique totale du système composé des deux véhicules.
5. Un véhicule est modélisé par un bloc de centre de gravité G et de masse M=1000kg , reposant sur une roue de rayon R par l'intermédiaire de la suspension. Celle dernière peut être représentée par un ressort de raideur
k=1.0105N/m et d’une longueur à vide l0 , et un amortisseur de coefficient d'amortissement β (voir figure 1).
La position verticale du véhicule est repérée par yG dans un référentiel ayant comme origine le point de contact de la roue avec le sol. On note yr la distance entre le centre de la roue et l'origine.
Montrer que la position d'équilibre yG é q de G lorsque le véhicule est au repos, s'écrit comme:
yGé q=l0+yr−Mg k , où g est l’accélération de la pesanteur.
On cherche à établir l'équation différentielle du mouvement vertical amorti du véhicule. Pour cela, on suppose que l'amortissement est de type visqueux et que, suite à un choc soudain, le véhicule se met à osciller verticalement (on néglige les autres mouvements).
On étudie le mouvement par rapport à la position d'équilibre établie précédemment, en considérant y=yG−yG é q comme une coordonnée généralisée suffisante à l'étude du mouvement vertical.
6. Écrire l'expression de l'énergie cinétique du véhicule.
7. En choisissant le zéro de l'énergie potentielle en yG é q , écrire l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur.
8. Écrire l'expression de l'énergie potentielle élastique.
9. En déduire l’énergie potentielle totale du système.
10. Montrer que le Lagrangien du système s'écrit comme:
Page 2 sur 4
L(y ,´y)=1
2M´y2−1 2k y2
On rappelle que la fonction de dissipation D est, dans ce cas, proportionnelle au coefficient d'amortissement ainsi qu’au carré de la différence de vitesses des deux extrémités de l'amortisseur.
11. Écrire l'expression de la fonction de dissipation D . 12. En déduire l'équation d'Euler-Lagrange appropriée.
13. Montrer que l'équation différentielle du mouvement s'écrit sous la forme:
M ´y+ky+β´y=0
14. Quelle est l'unité de β ?
15. Donner la valeur numérique de β pour laquelle le système aura un mouvement critique?
16. Quel sens physique peut-on donner à cette valeur numérique de β ?
Le véhicule se déplace maintenant à une vitesse horizontale constante v sur une route ondulée (voir figure 2). L'ondulation est représentée par une fonction sinusoïdale de période spatiale L et d'amplitude A . La distance yr est calculée à partir d'un niveau moyen de la route et a comme expression:
yr=R+Acos(ωt)
17. Montrer que la vitesse angulaire ω est donnée par:
ω=2π v L
La situation est telle qu'on peut considérer que le véhicule est soumis à une force extérieure égale à:
Fe(t)=kAcos(ωt)
où k est bien la constante de raideur du ressort.
18. Réécrire l'équation d'Euler-Lagrange de ce système amorti forcé.
Page 3 sur 4
19. Montrer donc que l'équation différentielle du mouvement peut se mettre sous la forme :
M´y+ky+β´y=kAcos(ωt)−βωAsin(ωt)
On veut trouver la solution de cette équation différentielle dans le régime permanent en utilisant la notation complexe. Pour cela on associe Aejωt au terme Acos(ωt) et Ajω ejωt à sa dérivée −ωAsin(ωt) ; A étant un nombre réel.
20. Réécrire l'équation différentielle en notation complexe.
21. Pour la résolution de cette équation, on se propose une solution sinusoïdale.
Établir donc:
a. L'expression de l'amplitude de la réponse en fonction de A et de ω . b. L'expression du déphasage entre la réponse et l'excitation extérieure.
22. En déduire la solution réelle de l'équation différentielle du système.
Page 4 sur 4
