N
OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESG ERONO
Questions d’examen (École polytechnique)
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 18 (1859), p. 343-345
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( 343 )
QUESTIONS D'EXAMEN (ECOLE POLYTECHNIQUE).
Condition pour que deux génératrices rectilignes de
X1 Y* Z7
Vhjperboloïde — 4- — } = i5e coupent sous un angle droit. Lieu géométrique du point d'intersection.
En désignant par a et 6 deux angles quelconques, les équations des génératrices rectilignes de Thyperboloïde sont, pour l'un des deux systèmes,
et pour l'autre,
- = - cos a 4- sm.a,x z a c
X z •
— = - sm a — cos.a :
b c
x z fi' • p
— =• - cos o 4 - sin 5, a c
%. = sin 6 4 - cos 6.
Les coordonnées d'un point commun à deux généra- trices de systèmes différents sont déterminées par
, c o s - ( a z cos a 4- cos 6 2
c sin a 4 - sm S . i x sm — ( a 4 - b J
2
, . ,,». sin—(a — 6) y / c o s a 4 - c o s b \ . 2
V = ( :—-z ) sin a — cosa = ) b \ s m a 4 - s m S / . i , ..
N ' sin- a-fS
2 I
/ / /o\ c o s - ( a — 6 ) jr / cos a 4 - cos b \ . 2 v
— =r — :—- C0Sa 4 - Sin a :=
a \sina4-sm6/ . i
N ' sin-(a4-ê)
f 344 )
Le carré de la distance de ce point au centre de la surface a pour expression
I sin3 — ( a -4- ^ )
2
Quand sin - (a -f- S) = o, les deux génératrices sont pa-
2
rallèles. La condition pour qu'elles soient perpendicu- laires est, d'après une formule connue ,
a7 b* . . o
— cos a cos 6 sin a sin 6 4- i = oy c* c'
ou
( 2 ) «' cos a cos6 — 6* sin a sin 6 4- c2 = o.
De celte dernière relation on peut conclure que la dis- tance du centre de Vhyperboloïde au point d'intersection de deux génératrices rectangulaires est invariable.
Car, en observant qu'on a, quels que soient a et 6, cosa cosê = cosJ-f a — 6) — sin2 - (a 4- 6),
2 2
— s i n a s i n € = s i n2 - ( a — 6 ) — s i n3 - ( a - h 6 ) , 2V 7 2V '
i = c o su- ( a + 6 ) + s i n2- ( a 4 - 6 ) , 2x ' 2v '
la relation (2) devient
2 ^a ^ S i n 2 ^a
4 - bl sin2 - ( a — 6 ) — s i n2- ( a - h 6 )
4- c2 r o 5 ' - ' a 4 - 6 j 4 sin3 - ( « - f 6 ) U - o
( 3 4 5 ) et donne successivement :
Û3COS'-( a — 6) + ó'sin'-i (a — 6) -+- c7cos1 - (a -f- 6)
2 ' 2 2
= ( aJ 4- 6' — c' ) s i n2 - ( a -f- 6 ) ; fl5cos5-(a—6) -+- à'sin'-fa--&}-*- c2cos'-(a-f-ê)
= s i n2- ( a + ê)
II en résulte, en ayant égard à l'équation (i),
D'après cela, on voit que le lieu géométrique des points d'intersection des génératrices rectangulaires est celui des points communs à l'hyperboloïde et à la sphère
Pour que le rayon de cette sphère ait une valeur réelle différente de zéro, il faut d'abord que c2 soit moindre que à1 4- b*. Quant à l'existence de points communs à la sphère et à l'hyperboloïde, elle exige que le rayon de la sphère soit au moins égal à la moitié du plus petit des deux axes de l'ellipse de gorge représentée par l'équation
~ 4- p = i, puisque la plus courte distance du centre de l'hyperboloïde à un point de la surface, est précisé- ment égale à la moitié de cet axe. Par conséquent, en supposant Z><^a, la condition de l'intersection de la sphère et de l'hyperboloideest a8H-&*—c2^>è2, ou c<^a.
S'il y avait égalité entre a et c, la sphère serait tangente à l'hyperboloïde aux deux extrémités de l'axe ib, et ces deux points seraient les seuls où deux génératrices recli- lignes de la surface se couperaient sous un angle droit.
G.
