N
OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESP. D ELESTRÉE L AQUIÈRES
F ÉNÉON
B ERGIS
S. DE S ILGUY
Solution de la question 422
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 17 (1858), p. 118-123
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SOLUTION DE LA QUESTION 422
(voir p. 3î);
PAR M. P. DELESTRÉE, Élève du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot),
MM. LAQUIÈRES, FÉNÉON, Élèves du lycée Saint-Louis,
M. BERGIS, Elève de l'institution Mayer.
ET M. S. DE SILGUY, Élève des Carmes (classe de M. Gerono )
Discuter et construire le lieu représenté par l'équation yx7 -\- bx -f- c = o.
Nous aurons quatre cas à considérer suivant que b > o, c^> o,
6<o, t<o,
6 > O , 6'<U, b < o, c > o ;
mais il suffira de faire la discussion en détail pour le pre- mier cas, parce que les autres ne diffèrent du premier qu'en ce que la position relative des branches de courbe par rapport aux axes ^e trouve changée.
Résolvant par rapport à y*
bx -4-f
( " 9 )
Pour toutes les valeurs positives de x, y reste constam- ment négative ; de plus pour x = o ,
puis ƒ décroît ensuite à mesure que x augmente, et quand on a x = oo ,
y =0.
On obtient ainsi la branche CAB. Si nous donnons main- tenant à x des valeurs négatives à partir de o, y est
\ __— -^"^ ; \
G 1
X 0
\
g—
c
d'abord infiniment grand négatif, puis il décroit en va- leur absolue jusqu'à devenir nulle quand x =—y', au- delà , elle prend des valeurs positives , croît d'abord, puis décroît ensuite jusqu'à o quand x est infinie après avoir passé par une valeur maximum. Nous obtiendrons ce maximum en cherchant les points où la tangeute est hori- zontale. Prenant la dérivée,
bx- o.c
Un seul point a donc sa tangente horizontale et vv point
a pour coordonnées
Il est à remarquer que l'abscisse OE est précisément le double de OD. Pour obtenir les points d'inflexion de la courbe, j'égale à zéro la dérivée seconde ,
.. 2 bx -h 3 c
De là on déduit pour le point d'inflexion les coor- données
Pour déterminer plus complètement la courbe , propo- sons-nous de chercher les tangentes aux points remar- quables.
Kn I)
y = <>>
c
Le coetlicient angulaire de la tangente est - u u poinl d'inflexion, ce coetlicient a pour valeur ——•
r 27 c2
On peut encore remarquer que les valeurs
c c
? b b
substituées dans 1 équation donnent pour y la nicmr
( )
quantité, ce qui prouve que la branche DG se rapproche plus vite de Taxe des y que la branche ABC.
En résolvant par rapport à j , on voit que l'hyper- bole xy = est diamétrale par rapport à la courbe donnée.
La discussion pour les trois autres cas serait identique.
(*) L'hyperbole diamétrale et la courbe proposée ont toutes deux pour asymptotes les axes coordonnés. Cette proposition est évidente pour xy = 5 nous pouvonsb
la démontrer pour la courbe en appliquant la méthode générale des asymptotes \ j'obtiens ainsi pour le coeffi- cient angulaire
i- y
l i m — — c: = o X
cl pour l'ordonnée à l'origine
donc les asymptotes pour la courbe proposée sont bien encore les axes.
Note du Rédacteur, i°. Les Européens habitent l'hé- misphère boréal et écrivent de gauche à droite. Delà l'u- sage de prendre les H- x , direction de l'axe OX de gauche à droite, et les — x, direction de OX' de droite à gauche ; les H-y, direction de OY vers le nord, et les — y, direc- tion de OY' vers le sud*, les -\- z vers le zénith, direction de l'axe OZ , et les — z, direction de OZ' vers le nadir.
Toutefois en mécanique on prend OZ vers le nadir, parce que c'est la direction de la pesanteur. De même pour étudier les mouvements des lignes trigonométriques, nous
*) <'e qui suit est de lYle\e
faisons volontiers parcourir la circonférence par un point de gauche à droite : la direction opposée choque nos ha- bitudes européennes. Les Orientaux , écrivant de droite à gauche, ont d'autres habitudes. Léonard de Vinci écri- vait l'italien de droite à gauche: caprice d'artiste.
On connaît l'importante différence entre les directions dextrorsum et sinistrorsum dans l'électricité dynamique et dans les phénomènes de polarisation.
2°. Soit
yxr ~j- bz-h c z= o
l'équation d'une surface du troisième degré; donnons à ƒ la valeur constante a. On obtient
ft prenons cette suite de valeurs de z ,
c — az:2 cb* — abc1 -+- a7 c7
: b~~ ^ 9 '
II est évident que zn+i est une fonction de a, b , c dont la formation est une question très-difficile de calcul in- verse des différences, non encore résolue. M. Gerono a le premier découvert cette belle et utile propriété de ce*
fonctions (t. XVI, p. 4?>6). Lorsque a, b , b9 -+• i\ac sont positifs et que Ton a
alors jr' étant la plus petite racine de l'équation ax1 -+- bx — c = o,
la série zt, z3, z8, etc., décroît vers .r' et la série x9, , Ï6, etc., croît vers x' et z = x'.
Le plan qui a pour équation
coupe la surface suivant une ligne dont la projection sur le plan xz est la parabole
ax* -\-bz — c = o.
L intersection de cette parabole par la bissectrice x = z donne les deux racines de l'équation
— c rr O.
Soit a:' la plus petite racine, les valeurs des sM seront al- ternativement au-dessus et au-dessous du plan z = x ' .
Pour la vraie signification des racines infinies, il faut lire la Note de M.Gerono (t. III, p. 32 5 i844) ) c'est ce qu'on a dit de plus satisfaisant, de plus rationnel et de plus complet sur cette matière.
