J134 – Une promenade morpionnesque [** à **** à la main]
Problème proposé par Christian Boyer
On dispose d’un papier quadrillé fait de carrés unité et supposé illimité en taille sur lequel on dessine le motif initial avec cinq petites croix :
On commence une promenade en ajoutant une petite croix de sorte qu’elle donne un
alignement de trois croix adjacentes avec deux croix déjà inscrites.On trace alors le segment de longueur 2 ou 2√2 qui passe par ces trois croix et la durée de la promenade est égale à 1.La droite qui porte le segment peut être horizontale, verticale ou diagonale. Chaque fois que l’on ajoute une croix et que l’on trace le segment correspondant, la durée de la promenade est incrémentée d’une unité.
Deux segments peuvent se croiser ou se toucher par l’une de leurs extrémités à condition qu’ils ne soient pas sur la même droite.
A titre d’exemple, une promenade dont la durée est de 8 est illustrée ci-après :
La promenade s'arrête quand on ne peut plus ajouter une nouvelle croix.
Q₁ Démontrer qu’il est possible d’effectuer une promenade dont la durée est un entier quelconque,2014 par exemple. [**]
Q₂ Démontrer qu’il est possible d’effectuer une promenade d’une durée finie avec laquelle il est impossible d’ajouter une nouvelle croix [****]. Trouver la plus petite durée possible [*****].
Solution de l’auteur
Voir le site Morpion Solitaire à l’adresse http://www.morpionsolitaire.com/
Dans la rubrique « Le jeu » cliquer sur le lien « Variantes » puis dans le paragraphe « Jeux pour un seul joueur » sur le lien 3D/3Tfini
La plus petite durée possible que j’ai trouvée à ce jour est de 23 coups.
