E60026. La ruche
Une ruche est constitu´ee de 19 cellules hexagonales ´egales (voir figure).
Les cellules sont num´erot´ees de 1 `a 19. Montrer qu’il y a, parmi les 42 fronti`eres entre cellules, au moins une o`u la diff´erence entre num´eros est strictement inf´erieure `a 6.
Solution
Je suppose qu’il existe une fa¸con de num´eroter les 19 cellules de la ruche de mani`ere que deux cellules contigu¨es quelconques aient des num´eros diff´erant de 6 au moins. Je vais montrer que cela conduit `a une contradic- tion.
Je regroupe les cellules autres que la no7 en 3 classes : 1 `a 6, 8 `a 13, 14
`
a 19. Deux cellules d’une mˆeme classe ne peuvent ˆetre voisines. La cellule no7 a au plus une voisine (la no1) dans la classe 1 `a 6, et au plus une (la no13) dans la classe 8 `a 13. Si la no7 n’est pas sur le bord, elle aura 4 voisines au moins dans la classe 14 `a 19, et certaines de ces voisines seront voisines entre elles. Ce cas est donc `a exclure, et je peux supposer la cellule no7 sur le bord de la ruche.
Soit A la classe `a laquelle appartient la cellule centrale, B et C les deux autres. Autour de la cellule centrale, la premi`ere couronne est remplie de B et C en alternance. Les 3 cellules B et 3 cellules C qui restent occupent les angles de la seconde couronne (qui est hexagonale), et le seul sch´ema possible est (`a une isom´etrie pr`es) celui de la figure ci-dessous. La cellule no7 a deux voisines de la classe B et deux voisines de la classe C. Au moins une de ces classes n’est pas la classe 14 `a 19. On aboutit ainsi `a une contradiction qui prouve l’impossibilit´e.
1
