Résumé des définitions principales
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum
à la disposition des étudiants lors de l’examen écrit le 7 juin 2019
Syntaxe
Le langage L de la logique propositionnelle
Définition 1 (Alphabet). L’alphabet du langage L de la logique propositionnelle classique se compose des symboles suivants :
A1 des phrases atomiques «p0», «p1», «p2» … (une infinité dénombrable);
A2 les connecteurs «¬. . .» («il n’est pas le cas que»), «. . . ∧ · · ·» («et»), «. . . ∨ · · ·» («ou»),
«. . . → · · ·» («si-alors») et «. . . ↔ · · ·» («ssi»);
A3 des symboles auxiliaires : parenthèses.
Définition 2(Formules). Une formule propositionnelleest définie de manière récursive : B1 Toute phrase atomique «pi» (pour n’importe quel i∈N) est une formule propositionnelle.
B2 Si ϕest une formule propositionnelle, alors⌜(¬ϕ)⌝ est une formule propositionnelle.
B3 Si ϕ et ψ sont des formules propositionnelles, alors ⌜(ϕ∧ψ)⌝, ⌜(ϕ∨ψ)⌝, ⌜(ϕ → ψ)⌝ et
⌜(ϕ↔ψ)⌝ sont des formules propositionnelles.
B4 Rien d’autre n’est une formule propositionnelle.
Définition 3 (Théories). Une théorie est un ensemble (fini ou infini) de formules proposition- nelles.
Le langage L+ de la logique des prédicats
Définition 4. L’alphabetdu langage L+ de la logique des prédicats consiste en:
1. des signes logiques :
(a) les connecteurs «¬. . .» («ne-pas»), «. . .∧· · ·» («et»), «. . .∨· · ·»( «ou»), «. . .→ · · ·» («si-alors) et «. . .↔ · · ·» («ssi»);
(b) les quantificateurs «∀x(. . . x· · ·)» («pour toutx») et «∃x(. . . x· · ·)»( «il y a au moins un x»);
(c) le signe d’identité : «. . .≖· · ·» («est identique à»);
(d) des variables pour des individus : «xi» pour touti∈N;
2. des signes non-logiques :
(a) des signes pour les relations : «Ri» pour tout i∈I;
(b) des signes pour les fonctions : «fi» pour touti∈J;
(c) des constantes pour des individus : «ci» pour tout i∈K;
3. des signes auxiliaires : parenthèses.
Définition 5(Termes). Lestermes d’une langue ⟨L+,K, λ, µ⟩sont définis par : 1. Toute variable «xi» (i∈N) est un terme.
2. Toute constante «ci» (i∈N) est un terme.
3. Si «t1», «t2», … , «tµ(j)» sont des termes(j∈J), alors «fj(t1, t2, . . . , tµ(j))» est un terme.
4. Rien d’autre n’est un terme.
Définition 6(Formules atomiques). ϕest uneformule atomiquede la langue ⟨L+,K, λ, µ⟩ssi:
1. ϕ est de la forme «t1≖t2» pour deux termes «t1» et «t2»; ou
2. ϕ est de la forme «Ri(t1, t2, . . . , tλ(i))» pour des termes «t1», «t2», … , «tλ(i)» et i∈I.
Définition 7(Formules). ϕest uneformule de la langue⟨L+,K, λ, µ⟩ssi:
1. ϕ est une formule atomique; ou
2. ϕ est de la forme⌜(¬ψ)⌝ pour une formuleψ; ou
3. ϕ est⌜(ψ∧χ)⌝,⌜(ψ∨χ)⌝,⌜(ψ→χ)⌝ ou⌜(ψ↔χ)⌝, pour des formulesψ etχ; ou 4. ϕ est de la forme⌜∀xi(ψ)⌝ ou⌜∃xi(ψ)⌝ pour une formuleψ et une variable «xi»,i∈N. Définition 8 (Occurrence libre). Si ϕ est une formule et «xi» une variable, nous disons que
«xi» a une occurrence libre dansϕsi et seulement si une des conditions suivantes est remplie : 1. ϕ est une formule atomique et contient «xi»;
2. ϕ a la forme⌜¬ψ⌝ et «xi» a une occurrence libre dansψ;
3. ϕ a la forme⌜ψ∧χ⌝, ⌜ψ∨χ⌝,⌜ψ→χ⌝ ou⌜ψ↔χ⌝ et «xi» a une occurrence libre soit dansψ, soit dansχ;
4. ϕ a la forme⌜∀xj(ψ)⌝ ou⌜∃xj(ψ)⌝,i̸=j et «xi» a une occurrence libre dans ψ.
Définition 9 (Phrases). Une phrase est une formule qui ne contient aucune occurrence libre d’une variable.
Définition 10(Portée). Siϕest une formule qui contient une quantification d’une variable «x»
(ou bien «∀x» ou bien «∃x»), nous appelons «portée de la variable «x» dansϕ» la plus petite formule bien-formée qui suit la quantification de «x».
Théorie de la preuve
Définition 11(Calcul). Uncalcul est un ensemble de formules propositionnelles déterminé par un ensemble de formules propositionnelles qui sont appelées«axiomes»et des règles d’inférence.
Un élément de cet ensemble est appelé «théorème». Ce qu’est un théorème est déterminé par la définition récursive suivante :
1. Tout axiome est un théorème.
2. Une formule propositionnelle obtenue par l’application d’une règle d’inférence à des théorèmes est un théorème.
3. Rien d’autre n’est un théorème.
Définition 12(Preuves dans HC). Une preuve, dans un calculHC et à partir d’une théorieTh, est une suite finie de phrases⟨ϕ1, . . . ϕn⟩tel que, pour touti entre1 etn( 1< i≤n), on a que HC∪Th∪ {ϕ1, . . . , ϕi−1} ⊢ϕi.
Définition 13 (Déductibilité dansHC). SiHC est un calcul, Th une théorie et ϕune formule propositionnelle, nous définissons «HC∪Th⊢n ϕ» (quel que soit le nombre naturel n∈N) par induction mathématique sur les nombres naturels :
1. Siϕest un axiome deHC, alors HC∪Th⊢nϕpour tout n∈N. 2. Siϕest un membre deTh, alorsHC∪Th⊢n ϕpour toutn∈N.
3. Si nous avons HC∪Th ⊢mi ψi (avec mi < n) pour toutes les prémisses ψi d’une règle d’inférence de HC, alors HC∪Th⊢nϕpour la conclusionϕde cette règle d’inférence.
Sémantique
Tables de vérité pour la logique propositionnelle ϕ ⌜¬ϕ⌝
V F
F V
ϕ ψ ⌜ϕ∧ψ⌝
V V V
V F F
F V F
F F F
ϕ ψ ⌜ϕ∨ψ⌝
V V V
V F V
F V V
F F F
ϕ ψ ⌜ϕ→ψ⌝
V V V
V F F
F V V
F F V
ϕ ψ ⌜ϕ↔ψ⌝
V V V
V F F
F V F
F F V
La sémantique de la logique propositionnelle
Définition 14 (Valuations propositionnelles atomiques). Une valuation propositionnelle atom- ique V∗ est une fonction qui assigne à toute phrase atomique «pi», i∈N, l’une des valeurs de vérité vouf. En formules, V∗:{ «pi»|i∈N} → {v,f}.
Définition 15(Valuations propositionnelles). Étant donné une valuation propositionnelle atom- iqueV∗, nous définissons unevaluation propositionnelleV (qui est une fonction associant à toute formule propositionnelle une et une seule valeur de vérité; en symboles, V :Form(L)→ {v,f}) par des clauses récursives :
I1 Si ϕest une phrase atomique «p»,V(ϕ) :=V∗(«p» ) I2 V(¬ϕ) :=
{ v siV(ϕ) =f f siV(ϕ) =v I3 V(ϕ∧ψ) :=
{ v siV(ϕ) =v et V(ψ) =v f siV(ϕ) =f ou V(ψ) =f I4 V(ϕ∨ψ) :=
{ v siV(ϕ) =v ou V(ψ) =v f siV(ϕ) =f et V(ψ) =f I5 V(ϕ→ψ) :=
{ v siV(ϕ) =f ou V(ψ) =v f siV(ϕ) =v et V(ψ) =f I6 V(ϕ↔ψ) :=
{ v siV(ϕ) =V(ψ) f siV(ϕ)̸=V(ψ)
Définition 16. Soientϕetψ des formules de la logique propositionnelle:
ϕest satisfaisable :⇐⇒ ∃V (V(ϕ) =v) ϕ est une tautologie :⇐⇒ ∀V (V(ϕ) =v) ϕest une contradiction :⇐⇒ ∀V (V(ϕ) =f)
ψ est une conséquence logique deϕ :⇐⇒ ∀V (V(ϕ) =v⇒V(ψ) =v)
La sémantique de la logique des prédicats
Définition 17 (Structures). Soit ⟨L+,K, λ, µ⟩ une langue de la logique des prédicats. Une structureA pourL+ consiste en :
1. un ensemble non-vide|A|, appelé l’«univers de discours»ou le«domaine de quantification»
deA;
2. une interprétation de tous les signes de relations : une fonction qui attribue à tout i∈I une relationRAi sur|A|avecλ(i)places argumentales, c’est-à-dire un sous-ensembleRAi ⊂
|A|λ(i).
3. uneinterprétationde tous les signes de fonctions : une fonction qui attribue à toutj∈June fonctionfjAsur|A|avecµ(j)places argumentales, c’est-à-dire une fonctionfjA:|A|µ(j)→
|A|.
4. uneinterprétationde toutes les constantes, qui attribue à toutk∈Kun élément fixecAk de
|A|.
Définition 18 (Assignations de valeurs). SoitL+ une langue de la logique des prédicats et A une structure pour L+. Une assignation de valeurs pour L+ est une fonction h qui assigne à toute variable xi (i∈N) exactement un élément de l’univers de discours : h:Vbl(L+)→ |A|.
Définition 19(Désignation de termes). SoitL+ une langue de la logique des prédicats,A une structure pour L+ et h:Vbl(L+)→ |A| une assignation de valeurs. La désignation h(t) d’un terme «t» deL+ sous cette assignation de valeurs est définie comme suit :
1. si «t» est une variable, h(t)esth(t);
2. si «t» est une constante «ck»,h(t)estcAk;
3. si «t» est un terme de la forme «fj(t1, . . . tµ(j))» pour des termes «t1», …«tµ(j)», alors h(t)est fjA(h(t1), . . . , h(tµ(j))).
Définition 20 (Vérité sous un assignation de valeurs). Soit L+ une langue de la logique des prédicats,Aune structure pourL+eth:Vbl(L+)→ |A|une assignation de valeurs. Nous disons qu’une formuleϕdeL+ estvraie sous l’assignation de valeurshou que l’assignation de valeurs hsatisfaitla formule ϕ(abrégé : «A |=hϕ») si et seulement si une des conditions suivantes est remplie :
S1 Si ϕa la même forme que «t1≖t2», alorsh(t1) =h(t2).
S2 Si ϕa la même forme que «Ri(t1, . . . , tλ(i))», alorsRAi (h(t1), . . . , h(tλ(i))).
S3 Si ϕest de la forme⌜¬ψ⌝, alors A ̸|=hψ.
S4 Si ϕest de la forme⌜ψ∧χ⌝, alors A |=hψ etA |=hχ.
S5 Si ϕest de la forme⌜ψ∨χ⌝, alors soitA |=hψ, soit A |=hχ.
S6 Si ϕest de la forme⌜ψ→χ⌝, alors soitA ̸|=hψ, soitA |=hχ.
S7 Si ϕest de la forme⌜ψ↔χ⌝, alorsA |=hψsi et seulement si A |=hχ.
S8 Si ϕest de la forme⌜∀xi(ψ)⌝, alors A |=h(xia)ψpour tous les a∈|A|. S9 Si ϕest de la forme⌜∃xi(ψ)⌝, alors A |=h(xia)ψpour au moins un a∈|A|.
Définition 21 (Assignations variées). Soit L+ une langue de la logique des prédicats, A une structure pour L+, h:Vbl(L+) → |A| une assignation de valeurs et «xi» une variable de L+. Nous définissons l’assignation variée à la place «xi» – appelée «h(xi
a
)» – comme suit :
h (xi
a )
(xj) :=
{ h(xj) i̸=j
a i=j
Définition 22 (Vérité dans une structure). SoitL+ une langue de la logique des prédicats et A une structure pourL+. Nous disons qu’une formule ϕdeL+ est vraie dans la structureAsi et seulement si ϕest vraie sous toutes les assignations de valeurs pourL+ dans |A|:
A |=ϕ :⇐⇒ pour touth:Vbl(L+)→ |A| : A |=hϕ
Si ϕest vrai dans une structureA, nous appelons Aun «modèle» deϕ.
Définition 23 (Validité). Soit L+ une langue de la logique des prédicats. Nous disons qu’une formule ϕ de L+ est valide ou qu’elle est une vérité logique (de la logique des prédicats) si et seulement si ϕest vraie dans toutes les structures pour L+ :
|=ϕ :⇐⇒ pour toutA : A |=ϕ
Définition 24 (Conséquence logique). Soit L+ une langue de la logique des prédicats. Une formuleϕest uneconséquence logiqued’un ensemble de formulesΣsi et seulement siϕest vraie dans toutes les structures où toutes les formules deΣsont vraies :
Σ|=ϕ :⇐⇒ pour toutA: siA |=ψpour toutes les formules ψ∈Σ, alors A |=ϕ
Calculs axiomatiques
Un calcul axiomatique pour la logique propositionnelle
Définition 25 (HC). Le calcul HCa comme axiomes toutes les formules deL qui ont la forme d’un des schémas suivants :
H1 ⌜ϕ→ϕ⌝ réflexivité
H2 ⌜(ϕ→ψ)→((ψ→χ)→(ϕ→χ))⌝ transitivité
H3 ⌜((ϕ∧ψ)→χ)→(ϕ→(ψ→χ))⌝ conditionaliser l’antécédent H4 ⌜(ϕ→(ψ→χ))→((ϕ∧ψ)→χ)⌝ augmenter l’antécédent
H5 ⌜ϕ→(ϕ∨ψ)⌝ introduire «∨» à droite
H6 ⌜ψ→(ϕ∨ψ)⌝ introduire «∨» à gauche
H7 ⌜(ϕ→χ)→((ψ→χ)→((ϕ∨ψ)→χ)))⌝ alternative
H8 ⌜(ϕ∧ψ)→ϕ⌝ éliminer «∧» à droite
H9 ⌜(ϕ∧ψ)→ψ⌝ éliminer «∧» à gauche
H10 ⌜(ϕ→ψ)→((ϕ→χ)→(ϕ→(ψ∧χ)))⌝ composition
H11 ⌜(ϕ→ψ)→(¬ψ→ ¬ϕ)⌝ conversion
H12 ⌜ϕ→(¬ϕ→ψ)⌝ ex falso quodlibet
H13 ⌜(ϕ→(ϕ∧ ¬ϕ))→ ¬ϕ⌝ reductio ad absurdum
H14 ⌜((ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ))→(ϕ↔ψ)⌝ introduire «↔» H15 ⌜(ϕ↔ψ)→((ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ))⌝ éliminer «↔»
H16 ⌜ϕ∨ ¬ϕ⌝ tautologie
La seule règle d’inférence deHC est modus ponensMP:
ϕ,⌜ϕ→ψ⌝
ψ .
Un calcul axiomatique pour la logique des prédicats
Définition 26(HC+). Les axiomes du calcul HC+ consistent en toutes les formules de L+ des types suivantes :
TP toutes les tautologies propositionnelles;
ID les formules ayant la forme de l’un des axiomes d’identité suivants (pour des variables «x»,
«y», «z», «w», «x1», «x2», …, «xλ(i)», «y1», «y2», …, «yλ(i)», «z1», «z2», …, «zµ(j)», «w1»,
«w2», …, «wµ(j)» et tous les i∈I,j∈J) : ID1 ⌜x≖x⌝ (réflexivité)
ID2 ⌜y≖z→(y≖w→z≖w)⌝ (confluence)
ID3 ⌜(x1≖y1∧. . .∧xλ(i)≖yλ(i))→(Ri(x1, . . . , xλ(i))→Ri(y1, . . . , yλ(i)))⌝ (indiscern- abilité)
ID4 ⌜(z1≖w1∧. . .∧zµ(j)≖wµ(j))→fj(z1, . . . , zλ(i))≖fj(w1, . . . , wµ(j))⌝ (fonctionnal- ité)
QU les formulesϕqui ont la forme des phrases suivantes, oùψest une formule et «t» un terme libre pour «x» dans ψ, et ϕ est une formule qui ne contient pas d’occurrence libre de la variable «x»:
Qu1 ⌜∀x(ψ)→ψ(x/t)⌝(instanciation)
Qu2 ⌜∀x(ϕ→ψ)→(ϕ→ ∀x(ψ))⌝ (simplification) HC+ a deux règles d’inférences :
MP la première règle d’inférences de HC+ est la règle du modus ponensMP:
ϕ,⌜ϕ→ψ⌝ ψ
∀ la deuxième règle d’inférences deHC+ est appelée «généralisation» ou «∀»:
⌜ϕ→ψ⌝
⌜ϕ→ ∀x(ψ)⌝ si «x» n’a pas d’occurrence libre dansϕ
La méthode des arbres
Les règles de construction d’arbres:
⌜¬¬ϕ⌝
⌜ϕ∧ψ⌝ ϕ
ϕ ψ
⌜¬(ϕ∧ψ)⌝
⌜¬ϕ⌝ ⌜¬ψ⌝
⌜ϕ∨ψ⌝
ϕ ψ
⌜¬(ϕ∨ψ)⌝
⌜¬ϕ⌝
⌜¬ψ⌝
⌜ϕ→ψ⌝
⌜¬ϕ⌝ ψ
⌜¬(ϕ→ψ)⌝
⌜¬ϕψ⌝
⌜ϕ↔ψ⌝
ϕ
ψ ⌜¬ϕ⌝
⌜¬ψ⌝
⌜¬(ϕ↔ψ)⌝
⌜¬ϕψ⌝ ⌜¬ϕ⌝ ψ
⌜∀x(ϕ(x))⌝
⌜ϕ(a1)⌝
⌜ϕ(a2)⌝
⌜ϕ(a3)⌝ ...
⌜¬∃x(ϕ(x))⌝
⌜¬ϕ(a1)⌝
⌜¬ϕ(a2)⌝
⌜¬ϕ(a3)⌝ ... pour toutes les constantes «ai»
apparaissant sur cette branche
⌜∃x(ϕ(x))⌝
⌜ϕ(a1)⌝ ⌜ϕ(a2)⌝ . . . ⌜ϕ(b)⌝
pour toutes les constantes «ai»de la branche et une nouvelle constante «b»
⌜¬∀x(ϕ(x))⌝
⌜¬ϕ(a1)⌝ ⌜¬ϕ(a2)⌝ . . . ⌜¬ϕ(b)⌝
La méthode de la déduction naturelle
La règle des suppositions
n ϕ ⊢∗ ϕ supposition
Modus ponens (modus ponendo ponens)
m ⊢⌜ϕ→ψ⌝
... ...
n ⊢ϕ
... ...
o ⊢ψ de (m) et (n) par (MP)
Modus tollens (modus tollendo tollens)
m ⊢⌜ϕ→ψ⌝
... ...
n ⊢⌜¬ψ⌝
... ...
o ⊢⌜¬ϕ⌝ de (m) et (n) par (MT)
Preuve conditionnelle
m ϕ ⊢∗ ϕ supposition
... ...
n ϕ ⊢∗ ψ
... ...
o ⊢⌜ϕ→ψ⌝ de (m) et (n) par (PC)
L’introduction et l’élimination de la double négation
m ⊢⌜¬¬ϕ⌝
... ...
n ⊢ϕ de (m) par (DN)
m ⊢ϕ
... ...
n ⊢⌜¬¬ϕ⌝ de (m) par (DN)
Reductio ad absurdum
m ϕ ⊢∗ ϕ supposition
... ...
n ϕ ⊢∗ ψ
... ...
o ϕ ⊢∗ ⌜¬ψ⌝
... ...
p ⊢⌜¬ϕ⌝ de (m), (n) et (o) par (RAA)
Introduction de la conjonction
m ⊢ϕ
... ...
n ⊢ψ
... ...
o ⊢⌜ϕ∧ψ⌝ de (m) et (n) par (∧I)
Élimination de la conjonction
m ⊢⌜ϕ∧ψ⌝
... ...
n ⊢ϕ de (m) par (∧E)
m ⊢⌜ϕ∧ψ⌝
... ...
n ⊢ψ de (m) par (∧E)
Introduction de l’équivalence matérielle
m ⊢⌜ϕ→ψ⌝
... ...
n ⊢⌜ψ→ϕ⌝
... ...
o ⊢⌜ϕ↔ψ⌝ de (m) et (n) par (↔I)
Élimination de l’équivalence matérielle
m ⊢⌜ϕ↔ψ⌝
... ...
n ⊢⌜ϕ→ψ⌝ de (m) par (↔E)
m ⊢⌜ϕ↔ψ⌝
... ...
n ⊢⌜ψ→ϕ⌝ de (m) par (↔E)
Introduction de la disjonction
m ⊢ϕ
... ...
n ⊢⌜ϕ∨ψ⌝ de (m) par (∨I)
m ⊢ψ
... ...
n ⊢⌜ϕ∨ψ⌝ de (m) par (∨I)
Élimination de la disjonction
m ⊢⌜ϕ∨ψ⌝
... ...
n ϕ ⊢∗ ϕ supposition
... ...
o ϕ ⊢∗ χ
... ...
p ψ ⊢∗ ψ supposition
... ...
q ψ ⊢∗ χ
... ...
r ⊢χ de (m), (n), (o), (p) et (q) par (∨E)
Élimination du quantificateur universel
Condition: «t» doit être libre pour «x» dansϕ, càd ne doit pas figurer dans une formule ⌜ϕ(x/t)⌝ dans la portée d’un quantificateur qui lie «x».
m ⊢⌜∀x(ϕ)⌝
... ...
n ⊢⌜ϕ(x/t)⌝ de (m) avec (SU)
Introduction du quantificateur existentiel
Condition: «t» doit être libre pour «x» dansϕ, càd ne doit pas figurer dans une formule ⌜ϕ(x/t)⌝ dans la portée d’un quantificateur qui lie «x».
m ⊢⌜ϕ(x/t)⌝
... ...
n ⊢⌜∃x(ϕ)⌝ de (m) avec (GE)
Introduction du quantificateur universel
Condition: «a» n’a pas d’occurrence dans une prémisse ou supposition dont dépend la preuve deϕ.
m ⊢⌜ϕ(a)⌝
... ...
n ⊢⌜∀x(ϕ(a/x))⌝ de (m) avec (GU)
Élimination du quantificateur existentiel
Condition: «a» n’a pas d’occurrence dansψ, ni d’une prémisse ou supposition (autre que⌜ϕ(a)⌝) dont dépend la preuve deψà partir de⌜ϕ(a)⌝.
m ⊢⌜∃x(ϕ(a/x))⌝
... ...
n ⌜ϕ(a)⌝ ⊢∗ ⌜ϕ(a)⌝ supposition
... ...
o ⌜ϕ(a)⌝ ⊢∗ ψ
... ...
p ⊢ψ de (m), (n) et (o) avec (SE)
