N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
T H . G OT
Démonstration d’un théorème de Kummer sur un type de déterminants
Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 11 (1911), p. 274-277
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DÉM0NSTR4TI0N D'UN THEOREME DE KUMMEK SIK M TVPE HE DETERMINANTS;
PAR M. T H . GOT,
\ncien Ingénieur de la Marine, Professeur au Lycée cTAgen.
Dans le Tome 13o (1909) du Journal de Cveile, M. Saalschütz donne une série de formules relatives à certains déterminants qu'il appelle Zirkalarite et qu'on pourrait appeler, je crois, circulaires. La dernière for- mule qu'il indique se trouve déjà dansKummer (au signe près, qu'il ne précise pas)} c'est pour l'expression du nombre des classes d'idéaux, que ce dernier l'emploie, dans son Mémoire du Journal de Liouville, t. XVI Gomme M. Saalsehiitz ne donne pas la démonstra- tion do la formule, et que la démonstration de Kummer est incomplète, je crois utile d'en donner une nouvelle, d'autant plus que cette formule paraît susceptible d'autres applications.
Soit D le déterminant circulaire d'ordre n — 1 :
La Si
D =
formule l'on a
à
ai rt2
a > «a a, a,
«/i-i an
démontrer . . .
est
an-2 an-i
au-\ an
an ax
«/l-4 «/i-3
la suivante :
( I ) 6/1-h a*-h.. ,-f- an = o,
(3 75 ) on a
formule où w(o>) désigne le polynôme :
et où toj, co2, • •., u>n_{ sont les racines de l'équation :
Xn' ' * - h X"-* -+- . . . - h X -h l = O.
Soit en effet o> une racine quelconque de cette équa- tion; on a, comme iùn est égal à i,
a)2 u(u)) = at to2 .H- anto,
En considérant ^(10) comme donnée, on a ainsi, entre u>, w2, . . . , w71"1, n relations linéaires, dont par suite le déterminant est nul :
( 3 )
«1 — an
a ,i-i u « 2
ai — atl
u a$
a2 a i - u
. . . an
. . . an-\
. . . « n - ,
. . . ai — u
Cette équation du nieme degré en u admet pour ses n racines
) , M ( C OS) , . . . , a ( ww- i ) , u ( i ) ;
cette racine w(i) est nulle à cause de la relation (1).
Le terme tout connu est donc nul et le coefficient du terme en u du déterminant développé est égal à Ce coefficient est la somme changée de signe des
mineurs relatifs aux éléments de la diagonale principale, du déterminant (3), dans lequel on a fait u = o. Soient M4, M2, . . . , Mn ces mineurs.
Tous ces mineurs sont égaux ; en effet, le déterminant ne change pas de valeur si Ton recule les/? premières colonnes de n— Ï — p rangs, puis les p premières lignes de n — i —p rangs, ce qui entraîne un nombre pair de permutations de lignes ou de colonnes; le (/? -f- i)leme terme de la diagonale principale devient alors le premier et Ton constate que le nouveau déter- minant est identique au premier. Tont revient donc à démontrer que l'un de ces mineurs, M{ par exemple, est égal à (— i)
( n - f - 2 ) ( / i —1)
M , =
D : ai a2
a n a,
En ajoutant toutes les lignes à la seconde et tenant compte de (i) on remplace les éléments de cette ligne p a r — a2» —#3> •••? —<*n e l l'on voit alors q u e — M | est formé des mêmes lignes que D, à leur ordre près.
Pour ramener à leur place les n — 2 dernières lignes de M4, il faut effectuer n — 4 + n — 5 - + - . . . - M
i i• i » j • (n -\- \)(n — 3 )
permutations de lignes, c est-a-dire -•
On a donc
(n —i) (n - 3 )
D'ailleurs(/* — 4 ) ( / i — 3 )
D.
( / l -t- ' 2 ) ( / l — I)
et — sont de même parité; on a donc bien
(n-4-2 (n — 1)
i) 2 «D.
C. Q. F . D .
Remarque. — Cette formule donne la norme du / — \ nombre u(to) dans le corps circulaire c^e n J1 sous une forme commode.
D'ailleurs, tout entier de ce corps peut se mettre aisément sous la forme M(CO) dans laquelle la somme des coefficients #h a2, . . . , an est nulle; ils ne sont alors pas entiers, mais cette transformation peut cependant être avantageuse.
