ANALYSE : Fonctions cyclométriques Exercices simples Enoncés

ANALYSE : Fonctions cyclométriques

Exercices simples Enoncés

Donner la valeur

arccos 1 arctg 0 arcsin 1,5 arcsin (-0,5) arccos (-3) arctg (-1)

3 0 arccos

2 ) arcsin( 2

arctg

Simplifier ou donner la valeur

)) 4 / 3 ( (

)) 4 / 5 ( arccos(cos

)) 6 / ( arccos(sin

)) 5 . 0 (arcsin(

) 1 (

)) 4 / ( (

)) 6 / 5 ( arccos(cos

2 )) ( 2 cos(arccos

)) 1 ( sin(arcsin

)) 3 / 4 ( arcsin(sin

)) 3 / ( arcsin(sin















tg arctg tg

arctg tg

tg arctg

Solutions

3 /

2 /

4 /

4 / '

6 / ' 0 0

6 /

















existepas n

existepas n

4 /

4 / 3

3 / 5 . 0 arccos

3 ) 3 6 / ( 1

4 /

6 / 5

2 2 1

3 / 3 /

























tg

Dérivées Enoncés

Dériver

arcsin 3x² ; 4 arccos (2x – 1) ; 2 arctg²3x ; x² arcsin x ;

x arctg

x 3 2

arcsin (x² - 1) + arcos (x² - 4) ; 2arctg x²1 Solutions

x arctg

x x x

arctg x

x x x x

x arctg x

x x

x x x

3

²

² 9 1 3 6 2

;

² 1 arcsin ²

2

²; 9 1 3 3 4

;

² 4 4

² 4

; 8 9 1

6

4

 



 















15 8 2

² 2 2

4

4   





 x x

x x

x

x ;

1

² ) 2

² (

2 1

² 2

2 2

² 2 1







  x x

x x

x x

Equations Enoncés

Résoudre en imposant les conditions d’existence

2 arcsin 4x < π/2 arccos (3 – 5x) > π/3

4

1 

 x  arctg

0 )

1 2 (

3arctg x  

Solutions

C.E. : 









 4

,1 4

x 1 











 8

, 2 4 S 1

C.E. : 

















5 ,4 2 ... 1

5 ,4 5

2 S

x

C.E. : xR₀ S 





pas de C.E. sol :

2 1 3

  x

Graphiques Enoncés

Schématiser les graphiques des fonctions suivantes :

f1(x) = arcsin (x -2) ; f2(x) = arcos x – (/4) ; f3(x) = - arctg x Solutions

f1(x)

f2(x)

f3(x)

Voici un exercice particulier sur arctg

(cours 6h) Rechercher la fonction réciproque de f(x)



 



: [ , 2 [

3 } {

2 6) 3 ²(

) 1 (

période I

k R

D

x tg x

f

f f



















Recherchons la fonction réciproque en considérant Drf = [ , 3 3 ]2 

F(x) étant symétrique sur [ , 3 3 ]2 

, elle admettra 2 réciproques,

l’une sur [

, 6 3 ] 2 

 

et l’autre sur [ , 3 ]6 

6) ( ) 2 ( 3

6)

²(

) 2 ( 3

2 6) 3 ²(

1



























x tg y

x tg y

x tg y

Envisageons le signe « + » que l’on obtient en considérant f(x) sur [ ,3 ]6 

) 6 ) 2 ( 3 ( )

(

) 6 ) 2 ( 3 (















 y arctg x

g

x y

arctg

Voici un exercice qui demande un peu de réflexion !

(cours à 6h) Soit

² 1 arcsin 2 )

( x

x x

f  

Construire le graphique de f(x) à partir de celui de g(x) = arctg x Suggestion : calculer la dérivée de f(x)

A savoir :

Si deux fonctions ont la même dérivée dans un intervalle ouvert alors elles y sont égales à une constante additive près.

Si deux fonctions continues dans [a,b] sont égales dans ]a,b[ alors elles sont égales dans [a,b]