DS physique-chimie 3 – Corrigé

D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret 23.10.2021

Problème 1 – Capture d’empreintes digitales par réflexion totale frus- trée

Figure 1 – Schéma optique

1 - Lumière émise par les diodes

200 300 400 500 600 700

f

THz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

I/ I

Figure2 – Spectre des LED. 1 THz = 10¹²Hz.

1. Le spectre de la lumière émise par les diodes laser ne comporte qu’une raie. On peut dire ces sources sont monochromatiques de fréquencef0.

2. Longueur dans le vide λ0 de la radiation émise par les diodes.

Par définition, λ0= c

f0 avec c = 3,00×10⁸m·s⁻¹ la célérité de la lumière dans le vide et f0 = 4,6×10¹⁴Hz (lecture graphique) la fréquence de la radiation émise. A.N. :λ₀= 652 nm qui correspond à la couleur rouge.

3. Le signal s(t) associé à la radiation émise par les diodes laser ne comporte qu’une raie spectrale donc il est harmonique de fréquencef0 : s(t) =smcos(2πf0t+ϕ) . Graphe : voir figure 3.

0 2 4 6 8 10

t

fs

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

s/ s

Figure3 – Le signal émise par les diodes. 1 fs = 1×10⁻¹⁵s

2 - Conception du système optique

1. Réfraction à l’interface de sortie du prisme : fig.4.

normale r

r i

i

Figure4 – Réfraction à l’interface de sortie du prisme

D’après la 4^èmeloi de Descartes : nsini= sinr.

2. Dans les conditions de Gauss, les rayons lumineux incidents sur un système optique dont paraxiaux c’est- à-dire proche de l’axe optique du système et peu inclinés par rapport à l’axe optique.

3. Cherchons le lienHA1 etHA(fig.??).

HA1=− HI

tanr et HA=− HI tani Donc : HA1 = HAtani

tanr. Or dans les conditions de Gauss : tani ≈ i et donc, comme nsini = sinr, tanr≈rd’où :

HA₁=HAi r D’autre part, sini≈iet sinr≈rd’où :

nsini= sinr⇒ni=r Ainsi :

HA₁= 1 nHA

4. Exprimonsf⁰ en fonction deD1 et deγ. D’après la formule de conjugaison de Descartes : 1 p⁰ −1

p = 1 f⁰. Exprimons pet p⁰. Par définition du grandissementp⁰=γp. D’autre part :

p=OA₁=OA⁰₁+A⁰₁A₁=p⁰−D₁=γp−D₁

⇔(γ−1)p=D1

⇔p= D1

γ−1

⇒p⁰= γD₁ γ−1

En remplaçant les expressions depetp⁰ dans la formule de Descartes, on trouve :

f⁰=− γD1

(1−γ)²

5. γ=p⁰/por l’objet est réel doncp <0 et son image par la lentille convergente est réelle donc p⁰ >0 ainsi γ <0 .

6. Déterminons l’inégalité vérifiée par f⁰ etD1. On remarque que :

f⁰ =−D₁ g(γ) avecγ <0. D’après le graphe fig.5 :

∀γ <0, g(γ)< g(−1) On en déduit que

∀γ <0, f⁰ < −D1

g(−1) Or g(−1) =−4 donc :

f⁰ <D₁ 4

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

u

10 8 6 4 2 0 2 4

g ( u )

Figure5 – Fonctiong:u7→(1−u)² u

7. Pour γ=−2 déterminons la focale et la position de la lentille.

f⁰=− D₁ g(−2)

avecD1=A1A⁰₁=A1A+AA⁰₁.

A₁A=A₁H+HA avec A₁H =−HA₁=−1

nHA avec HA=−L d’où

A₁A=

1

n−1

L

Ainsi :

D1=D+

1

n −1

L

et donc

f⁰ = 1 g(−2)

D+1 n−1

L

A.N. : graphiquementg(−2) =−4.5,f⁰ = 2,0 cm.

Position de la lentillep⁰ par rapport au capteur CCD. La formule de conjugaison donne : p⁰ = (1−γ)f⁰

A.N. :γ=−2 donne p⁰ = 6,0 cm.

8. A D₁ fixée, dans quel sens faut-il faire varierf⁰ pour avoir l’image la plus agrandie possible ? On sait quef⁰= −D1

g(γ) soitg(γ) =−D1

f⁰ . D’après le graphe fig.6, il existe deux solutions à cette équation à f⁰/D₁fixé.

-D₁/f ’

Image agrandie |γ|>1

Figure6 – Choix de la focale telle que|γ| soit le plus grand possible.

Celle qui nous intéresse vérifie |γ|>1. On constate que|γ| %quand g(γ)& donc quand −D₁

f⁰ &donc quand f⁰&. Il faut donc choisir, a priori, la focalef⁰ la plus petite possible.

β β

A A’

O

Figure 7 – Formation de l’image d’un sillon d’empreinte digitale

3 - Résolution de l’image

9. Les pointsM1 etM3sont résolus par le système optique si leurs images respectivesM₁⁰ et M₃⁰ se forment sur deux cellules distinctes du capteurs soit siM₁⁰M₃⁰ > lc or par définition du grandissementγ,M₁⁰M₃⁰ =

|γ|M1M3. Avecγ=−2 etM1M3=a, il vient :

lc<2a

A.N. : aveca= 100 µm, on peut proposerlc= 200 µm (prendre plus petit ne semble pas nécessaire).

10. Montrons queφ=γde

p, dans l’approximatione |p|. D’après la figure 7 :

tanβ= φ

2M₂⁰A⁰₁ = d

OM₂⁰ ⇒φ=dM₂⁰A⁰₁ OM₂⁰ avecM₂⁰A⁰₁=e⁰ et OM₂⁰ =p⁰−e⁰ :

φ=d e⁰

p⁰−e⁰ ≈de⁰ p⁰ =de⁰

γp

Déterminonse⁰. D’après la relation de conjugaison appliquée àAet A⁰ :

− 1

p−e+ 1

p⁰−e⁰ = 1 f⁰

avec 1 p−e =1

p 1

1−e/p ≈ 1 p(1 +e

p) =1 p+ e

p² et 1

p⁰−e⁰ = 1 p⁰

1

1−e⁰/p⁰ ≈ 1 p⁰(1 +e⁰

p⁰) = 1 p⁰ + e⁰

p⁰² d’où :

− 1

p−e+ 1 p⁰−e⁰ = 1

f⁰

⇒ −1 p− e

p² + 1 p⁰ + e⁰

p⁰² = 1 f⁰

⇒1 f⁰ − e

p² + e⁰ p⁰² = 1

f⁰

⇒ − e p²+ e⁰

p⁰² = 0

⇒e⁰= p⁰² p²e

⇒e⁰=γ²e

Alors :

φ= dγe p

11. Les creux des sillons apparaissent flous si :

φ > l_c=φ >2a Soit avecφ= dγe

p :

|dγe

p |>2a⇒d >|2ap γe|

Évaluons d en ordre de grandeur : a = 1×10⁻⁴m, p ∼ D/2 ∼ 5×10⁻²m, γ = −2, e ∼ 3×10⁻⁴m donne :

d&15 cm

Montrons pourd∼15 cm la lentille fonctionne hors conditions de Gauss.

θ

α d

Figure 8 – Angle maximal que font les rayons lumineux avec l’axe optique

D’après la figure 8, l’inclinaison maximale θ/2 des rayons issus deM₂avec l’axe optique est telle que : tanθ

2 = d

2|p| soit θ/2∼arctan d 2|p|

On peut supposer raisonnablement α/2 ∼ θ/2 ∼arctan d

2|p| ∼ arctan15

10 ∼ 56˚ 10˚ donc la lentille fonctionne hors conditions de Gauss.

4 - Réflexion totale

12. On considère une interface entre deux milieux d’indicen1etn2< n1. Il existe un rayon réfracté si l’angle de réfractionrest défini soitr < π

2 soit sinr <1. Or d’après la 4^èmeloi Descartes,n1sini=n2sinrdonc sini < n2

n₁. Il y a donc réflexion totale si sini > n2

n₁ .

13. Lors de l’éclairage du doigt par les diodes laser, les rayons lumineux franchissent l’interface air/verre en incidence normale puis arrive sur l’interface verre/air (il existe une fine couche d’air entre le prisme et le doigt) sous une incidence de 45˚(fig.9).

Or la condition de réflexion totale s’y écrit :

i >arcsin

1

n

= 41,8˚ avec n= 1,5

donc elle est vérifiée. Les lois de Descartes prévoit qu’aucune lumière n’est transmise au doigt. Il faut donc adopter un autre modèle pour comprendre comme l’éclairage du doigt est possible et comprendre pourquoi et comment est frustré cette réflexion totale.

i r

n₁=n = 1,5 45°

air I n₂=1

Figure9 – Réflexion totale de la lumière à la face inclinée du prisme.

Problème 2 – Le microscope

1 - Modélisation du microscope

1.1 - L’objectif 1. Grandissementγ1.

γ₁=A1B1

AB La figure 13 montre que (trigonométrie élémentaire) :

γ1= O1A1

O₁A =O1A1

p₁ avec d’après le relation de conjugaison :

− 1

O1A+ 1 O1A1

= 1 f₁⁰

O₁A₁= f₁⁰p₁ f₁⁰+p1

Ce qui donne :

γ1= f₁⁰ f₁⁰+p₁ 2. AB objet réel doncp₁=O₁A <0.

— Image réelle siO1A1>0. Or d’après la relation de conjugaison : 1

O1A1

=− 1 O1A+ 1

f₁⁰ donc

O1A1>0⇔p1<−f₁⁰

— Image agrandie sivertγ1|>1 soit comme γ1<0,γ1|<−1. Orγ1= f₁⁰

f₁⁰ +p1 d’où : f₁⁰

f₁⁰+p₁ <−1 et commep₁+f₁⁰ <0 :

⇔f₁⁰ >−f₁⁰ −p₁⇔p₁>−2f₁⁰

Finalement l’image de l’objetAB par l’objectif est réelle et agrandie à condition que −2f₁⁰ < p1<−f₁⁰ . 3. Voir figure 13.

1.2 - L’oculaire

4. Sans accommoder, l’œil sain voit net les objet à l’infini. Comme A₂B₂ est un objet vis-à-vis de l’œil, il faut que l’image finale par le microscope se forme à l’infini. Pour cela, il faut que l’image intermédiaire A1B1se forme dans le plan focal objet de l’oculaire donc queA1=F2.

5. ImageA₂B₂ deABpar le microscope : fig.13.

6. Diamètre apparentα₂de l’image par le microscope. D’après la figure 13 et en choisissant le sens trigono- métrique comme sens direct :

tanα2=−A1B1

f₂⁰ avec tanα2≈α2 etA1B1=γ1a:

α₂=−γ1a f₂⁰

2 - Caractéristiques d’un microscope

2.1 - Grossissement commercial et puissance du microscope 7. Exprimons le grossissement commercial de l’oculaire Gc2= α2

αref du microscope en fonction def₂⁰ etdPP. Comme le système optique considéré est l’oculaire, c’est A1B1 qu’il faut considérer comme objet pour évaluer α2 etαref.

D’une part : α2=−A1B1

f₂⁰

D’autre part, d’après la figure 11 :αref=−A1B1

d_PP .

A₁

B₁

α_ref

O d_pp

Figure 10 – Objet observé au punctum proximum (oculaire).

D’où :

Gc2= dPP

f₂⁰

Pour augmenter le diamètre apparent, il faut quef₂⁰ < dPP. 8. Exprimons le grossissement commercial de l’oculaire Gc = α2

αref du microscope en fonction de f₂⁰ et γ1. Comme le système optique considéré est le microscope, c’est ABqu’il faut considérer comme objet pour évaluerα2 etαref.

D’une part : α2=−A1B1

f₂⁰ =−γ1a f₂⁰

D’autre part, d’après la figure 11 :αref= AB d_PP. D’où :

G_c =−γ₁dPP

f₂⁰ ⇔ G_c=−γ₁G_c2

9. Puissance commercialeP du microscope :P =α₂/AB. Avec α₂=−Gαref et α_ref =−AB

dPP, il vient : P =− G

dPP

A B

α_ref d_pp O

Figure11 – Objet observé au punctum proximum (microscope).

10. Le microscope est-il assez puissant pour observer en détails une bactérie ?

Caractéristiques

— Type : Microscope biologique

— Tube : Binoculaire orientable sur 360˚avec réglage dioptrique

— Domaine d’emploi : Biologie, Botanique, Education, Enseignement, Entomologie

— Éclairage : LED

— Niveau : Avancé, Pro

— Garantie : 5 ans

— Condenseur d’Abbe avec diaphragme à iris

— Incl. surplatine intégrée

— Écartement inter-pupillaire réglable Spécifications

— Oculaires : WF 10x

— Diamètre de l’oculaire : 23.2 mm

— Objectifs : 4x, 10x, 40x, 100x (à immersion)

— Alimentation : 220/240V

Doc.1 – Le microscope utilisé

Pour être observables, les détails de la bactérie doivent avoir un diamètre apparent supérieur à la résolution angulaireε de l’œil. En supposant ces détails environ 10 fois plus petit que la bactérie elle-même, il faut que le diamètre apparent α₂ de l’image de la bactérie par le microscope soit au moins 10 fois plus grand queεsoit :

α2≥10ε

En notant e=AB la taille d’une bactérie, il faut que

P ≥ 10ε e A.N. :ε∼3×10⁻⁴rad ete∼1 µm donneP &3000.

Or d’après le document 1, le grandissement de l’objectif peut valoir jusqu’àγ1= 100 et le grossissement de l’oculaire vaut Gc2 = 10 donc Gc = −γ1Gc2 = −1000 donc une puissance, avec dPP = 0,25 m, P−= Gc

dPP = 4000>3000 donc le microscope proposé convient à l’observation de bactéries en détails.

2.2 - Profondeur de champ

11. La profondeur de champ l’intervalle entre les points extrêmes de l’axe optique dont un instrument d’optique peut former simultanément une image nette. L’existence d’une profondeur de champ résulte du caractère granulaire du détecteur (rétine pour l’œil). Voir fig.12.

A_∞ A’

C C’

rétine L=f’ = 18 mm O

a

y

Figure12 – Profondeur de champ de l’œil sain n’accommodant pas

12. Calculons la coordonnée xC du point C le plus proche à être vu net sans accommoder. Son image C⁰ (coordonnée xC⁰) est telle la tâche se formant sur la rétine à la taille y d’une cellule. Le théorème de Thalès donne immédiatement :

a

x_C⁰ = f⁰ x_C⁰−f⁰

⇔y= a

xC⁰(xC⁰−f⁰)

⇔y

a= 1− f⁰ xC⁰

⇔ f⁰

xC⁰ = 1−y a

⇔ 1 xC⁰ = 1

f⁰ − y af⁰

Exprimons xC⁰ en fonction dexC :

1 xC⁰

− 1 xC = 1

f⁰

⇔ 1 xC⁰ = 1

f⁰ + 1 xC

Ainsi :

1 f⁰ + 1

x_C = 1 f⁰ − y

af⁰ 1

xC =− y af⁰

A.N. :aest la taille de la pupille :a∼2 mm,yest la taille d’une cellule rétinienne :y∼1 µm,f⁰ = 18 mm donnentxC=−36 m ! ! ! C’est beaucoup mais possible si l’œil n’accommode pas du tout.

13. La nécessité d’utiliser une vis micrométrique pour régler la distance objectif-objet montre que la profondeur

∆ de champ du microscope est très faible.

A B

F₁

F₁’ O₁

L₁

O₂

L₂ F₂

F₂’ A₁

B₁ B₂^∞

A₂^∞

α₂ α₂

Figure13 – Principe du microscope