Frontiere orientate di curvatura media assegnata in <span class="mathjax-formula">$L^P$</span>

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

U MBERTO M ASSARI

Frontiere orientate di curvatura media assegnata in L

^P

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 53 (1975), p. 37-52

<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1975__53__37_0>

© Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 1975, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova » (http://rendiconti.math.unipd.it/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

assegnata

UMBERTO MASSARI

(*)

In

[3]

^{si è}

provato che,

^{se un} insieme di

perimetro

localmente finito E ha frontiera di curvatura media

assegnata A(x)

^{in un}

aperto S2

^di

cioè se, per

ogni compatto

^{.K contenuto in}

Q,

^E minimizza il funzionale :

nella classe

degli

insiemi di

perimetro

localmente finito F che fuori di .K sono

uguali ad E,

allora la frontiera ridotta di E in Q: S~

è una varietà

(n - 1)-dimenxionale

di classe per ^un

opportuno oc: O oc 1, nell’ potesí

^{che la curvatura}

A(x)

sia limitata in Q.

Il metodo

seguito

per la dimostrazione di

questo

^risultato

può

essere

applicato

^{anche nel caso in cui la curvatura}

A(x)

^{sia in}

con p &#x3E; n,

ipotesi

che sembra

più

naturale per

questo tipo

^di

problema.

In

questa nota,

ho riscritto alcuni dei lemmi di

[3]

^{nel caso di curva-}

tura in Con l’aiuto di tali

lemmi,

in sostituzione di

quelli

^con-

tenuti nei

paragrafi

^{2 e 3 di}

[3],

^{y si}

proverà

^{che è una va-}

rietà

(n -1 )-dimensionale regolare

^e che la misura di Hausdorff s-di- mensionale dell’insieme

degli

^eventuali

punti singolari

^{è zero} per 8 ^E

R,

s&#x3E; n-8.

Ringrazio

Mario Miranda con il

quale

^ho discusso i risultati di

questo

lavoro.

(*)

Indirizzo dell’A.: Istituto Matematico, Università

degli Studi,

^via Savonarola

9,

^{44100 Ferrara.}

I. Cominciamo col provare che

valgono maggiorazioni analoghe

a

quelle

contenute nel

paragrafo

^{2 di}

[3].

Per la notazioni si rimanda

a

[3]

^e ai lavori di De

Giorgi [2]

^{e Miranda}

[5].

LEMMA 1.1. Sia E un insieme che minimizza il

funzionale 3A(F)

su di un

acperio

^{Q di}

Rn,

n&#x3E; 2 ^{e sia}

A(x)

^E

p ~ 1;

^{se XEQ e}

0 ~O

dist(x, aSZ),

^allora

valgono

^le relazioni :

DIMOSTRAZIONE. Indico con

Eo

^{un insieme}

uguale

ad E fuori di

2,(x)

^e che minimizza il funzionale dell’area su

Be(x).

Confrontando tale insieme con

E, ottengo:

e

Da

queste

relazioni si

ottengono

subito le

(1.1)

^e

(1.2),

^ricordando

che per 1’ insieme

Ee

^{vale la}

maggiorazione:

LEMMA 1. ~ . Sia E ^un insieme che minimizza il

funzionale JA(F)

su di un

aperto

^{Q di}

Rn,

n &#x3E; 2 ^{e sia}

A(x)

^{E p} &#x3E; n; ^{se x E} Q e se

0 (21 (22 dist

(x, ó,~),

^allora:

dove:

DIMOSTRAZIONE. Dalla relazione

(1.2),

^ho:

dalla

quale, ragionando

^come nella prova del Lemma ^2.2 di

[3],

^si

ottiene la

(1.6).

LEMMA 1.3. Sia E ^un insieme che minimizza il

funzionale 3A(F)

su di u~Z

aperto

^{,S~ di}

.Rn,

^{n ~ 2 e sia}

A(x)

^{E p} &#x3E; n; ^{se x E} 3E r1 2

e se 0 e

dist(x, 2.Q),

dove

e (n, p) è

^{data da}

(1.7).

DIMOSTRAZIONE. Se

(1.9)

si ottiene immediatamente da

(1.6)

scritta per ⁰ ~1 9, facendo tendere ~1 ^{a zero.} Altrimenti si sfrutta la densità di 0* E in 8E e

quindi

^{se 0 C ~}

(2,

^indicato con y ^un

punto

^{di 0* E tale che}

ottengo:

E

questa relazione,

^data l’arbitrarietà di _ê, mi assicura la validità di

(l. 9).

LEMMA 1.4. Sia E un insieme che minimizza il

funzionale 3A(F)

su di un

aperto

^{Q di}

.Rn,

n ~ 2 ^e n; sexeq e se

0 C ~O1 (22 dist

(x, 3Q),

^{allora :}

dove:

DIMOSTRAZIONE. Comincio coll’osservare che il

primo

^membro

di

(1.11)

^si

può maggiorare

^col

primo

membro della

(2.4)

^di

[3]. Questo

è

immediato, qualora

^si

tenga

^conto della relazione:

Basta provare

dunque,

^{che il} secondo membro della

(2.4)

^di

[3],

^si

maggiora

col secondo membro della

(1.11).

^{Usando la}

(2.20)

^di

[3]

e la

(1.1), ottengo:

Da

questa

^{e dalla}

(1.8)

^{si ha la}

maggiorazione

^richiesta.

Usando le

maggiorazioni precedenti,

si provano ^ora alcuni Lemmi fondamentali _per la

regolarità.

^Di essi darò solo

l’enunciato,

ⁱⁿ

quanto

le dimostrazioni sono simili a

quelle

^{contenute nel}

paragrafo

^{3 di}

[3].

LEMMA 1.5. Per

ogni

^{numero naturale} n,

n 2 ;

per

ogni

^numero

reale p, p &#x3E; ^{n e} per

ogni

^costante

positiva A,

^{esistono un numero}

posi-

=

ó (n,

^p,

A)

^{ed una}

f unzione

^reale

~, (E )

^-

definita

ⁱⁿ

(O, 5)

ed

in f initesima

^nello

zero, tali

^{che : se} E minimizza il

funzionale

su di un

aperto Q

^di

Rn,

^se

Bl

^c

_{Q, IIA Il}

^{e se}

allora, posto :

risulta:

OSSERVAZIONE. In

questo

^{caso risulta:}

dove

e

LEMJBIA 1.6. Sia una successione di insiemi di n &#x3E; 2 ^{con le}

proprietà seguenti:

a) Eh

minimizza il

f unzionale

^{su di un}

aperto Qh

^conte-

nente la

s f era B1

^e per

ogni h E N,

p &#x3E; n ;

b) valgono

le due relazioni :

con Eh successione di numeri reali

positivi

^{tali che:}

Allora,

per

ogni

^{numero a : 0 C oc}

1,

^{esiste un insieme}

N«

^contenuto

in

( 0, 1 )

di misura lineare

nulla,

^{tale che se t E}

( 0, 1 )

^-

Na

^è

possibile

trovare una successione di insiemi

Lh veri f ieanti

^le

proprietà :

per

ogni

^{h E}

N,

^la

f unzione

^{della x :}

è continua su

2L,

^r1

B

t e vale la relazione:

2. Per

brevità,

^{dato un} insieme di

perimetro

localmente finito E

e un borel-limitato B di indico con:

Vale il

seguente

^lemma:

LEMMA 2.1

(De Giorgi).

^Per

ogni

^intero

n~ 2,

per

ogni

^numero

reale p &#x3E; n, per

ogni

^costante

positivac

^{A e} per

ogni

^{a : 0 a}

1,

^esiste

una costante a ⁼

a(n,

p,

A, a) positiva

tale che : se E minimizza il

jun-

zionale

3A(F)

^{su di un}

aperto

^{il di Rn e se per x E il e 0} é dist

(x, 2D),

valgono

le relazioni :

Allora:

DIMOSTRAZIONE.

Ragiono

per assurdo ^e suppongo che esistano

un numero A &#x3E; 0 e un numero « : 0

« 1 ,

per i

quali

^non esista la costante a ⁼

a(n,

p,

A, a).

Allora sarà _pos- sibile fissare una

successione e,

^con

e, in

corrispondenza

ad essa, ^una successione di insiemi

Eh ,

^di

aperti

di sfere

B~h(x,~)

^{e una} successione di funzioni

Ah(x)

^{tali che}

Eh

minimizza il funzionale su ₁ c

Qh

^e

mentre:

Considero ora in Rn una traslazione che

porti

x,

nell’origine

^{e una rota-}

zione che

porti

^{il vettore}

f DqJEh

nella rirezione dell’asse oen. Indico

con T~ la

composta

^di

queste

^due

applicazioni.

Considero alfine una

omotetia di

rapporto eh

^{e indico con}

F

il trasformato di F mediante le tre

operazioni,

^cioè:

Allora

valgono

le relazioni:

dove B è un borel-limitato di

.~~, .

Da

queste

relazioni si vede subito che l’insieme

~h

minimizza il funzionale

sull’aperto Qh,

^dove:

Da

(2.5)

^e

(2.7)

ricordando

(2.8)

^e

(2.9), ottengo:

Ora dalla

(2.11 ),

^tenendo

presente

^che

Bl

^c

Q¡¿

per

ogni h

^e

N,

^{si ha che:}

e

quindi

^dalla

(1.2)

^{e dalle}

ipotesi (2.5)

^e

(2.6),

possono scrivere:

e allora :

Ne deriva che la successione

Eh

verifica le

ipotesi

^{del Lemma}

1.6; qui

ne

applichiamo

^{i risultati dove} y : O

y 1,

^{è una costante}

che sarà scelta in modo

opportuno

ⁱⁿ

seguito,

^{e con}

t E ( o, 1 ) - N~

tale che sia ancora: Alla successione

.Lh

cos ottenuta mediante il Lemma

1.6,

9 si

può applicare

^il Teorema 4.4 di

[5]

^e

quindi ottengo,

ricordando anche la

(1.24):

Quindi

^dalla

(2.13)

^e dal fatto che deve essere :

e

questa

relazione è falsa se io

scelgo y

^{tale che:}

(per esempio y = (4np

+

p - n)/(4p(n

⁺

1)~~.

Questa

contraddizione mi assicura la validità del Lemma.

OSSERVAZIONE. Il Lemma di De

Giorgi

^si

può applicare ripetu- tamente ;

^{cioè se tutte le}

ipotesi

^sono

verificate,

^da

si ricava:

Ora osservo che e che:

e

quindi

^{il Lemma si}

può applicare

ancora,

ottengo:

e ancora e:

Dopo h passi,

si ottiene la relazione:

LEMMA 2.2. Sia ^{E un} insieme che minimizza il

f unzionate 3,(F)

su di un

aperto

^{Q di}

Rn,

n &#x3E; 2.

Se per

p &#x3E; n, dist

(x,

^{0 a 1 e A} &#x3E;

0, valgono

le relazioni:

e

allora x E ó’~ E r1 Q _e, se pongo :

si ha la

maggiorazione,

per ^{0 t} ~O .

DIMOSTRAZIONE.

Osservo, prima

^di

tutto,

che posso supporre:

dove

c(n, p)

è data dalla

(1.7),

^{Infatti se cos non}

fosse, scelgo

^{h E N}

tale che verifichi

(2.25).

^{Per il Lemma}

2.1,

^risulta:

Quindi

e1 verifica ^tutte le

ipotesi

^{fatte su} ~O e, ⁱⁿ

più,

per ^esso vale

(2.25).

Per provare ^il

Lemma,

devo verificare che esista il lim

vt(x)

⁼

v(x)

i_o+

e

I == 1.

Comincio col dimostrare che la successione

veah(x)

^{è una}

successione di

Cauchy. Infatti,

ricordando la

(4.23)

^di

[3],

^{si ha:}

Ora da

(1.9)

^e

(2.25) :

e

quindi,

ricordando

(2.26)

^e

(2.20):

Indicato con

v(x)

^{= lim da}

(2.28)

si ottiene per ^{7 - 00:}

h- -

Si verifica facilmente che

~v(x) ~ = 1,

^infatti:

e da

(2.20), (1.9), (2.2~) :

Allora:

e dalla

(4.23)

^di

[3]:

quindi,

ricordando

(2.29):

E infine da

(2.32):

e

questo

conclude la dimostrazione del Lemma.

Dai due Lemmi

precedenti,

seguono i risultati di

regolarità

^annun-

ciati. In

particolare

^{vale il:}

TEOREMA 2.1. Sia E un insieme che minimizza il

funzionale 3,(F)

su di un

aperto

^{Q di} 1~:&#x3E;2. Se per ^{x E} óE r1

Q,

⁰ ~O dist

(x,

0 ot

1,

p &#x3E; n, A &#x3E;

0, valgono

le relazioni :

allora esiste un numero

positivo ó

^{tale che:}

e inoltre 2E r1

Bó(x)

^{è una}

ipersuperficie regolare

di classe ^con Y =

DIMOSTRAZIONE. Indico ^con ó’ _

oc)

^{dove k è un intero} po- sitivo che sarà determinato in

seguito.

^{Se ora} y ^E 3E r1

Bó,(x)

^{ho che:}

Quindi,

per il Lemma 2.1 e la monotonia della funzione T

rispetto

^alla

inclusione

insiemistica, ottengo:

qualora

^{si abbia:}

Ora da

(2.39)

^e

(2.40)

si ha che il

punto

y verifica le

ipotesi

^del

Lemma 2.2 con

pa k+l

^e

quindi

^{y E a* .E r1 Se ne deduce}

che 3E r1

Bô,(x)

^{= 2* E r1}

B,5, (x).

Siano ora y, ^{z E}

B(j/(x)

^e

h,

^{m E}

N,

^{si ha :}

Ragionando

^come nella dimostrazione del Lemma

2.2,

^{usando la}

(2.40)

in

luogo

^della

(2.36),

si ottiene per

~~ ~ 1~ -~-- 1:

Per

maggiorare

^{il termine -}

VQXh+-(Z) 1

, suppongo che: ^C

c cioè che :

e uso la

(4.23)

^di

[3]. Supposta

^{valida la}

(2.2 5),

per +

1, ottengo:

Ora rrz sia fissato in modo

che,

per

ogni h, valga:

cioè m &#x3E;

(lg ^(1- ~X) )flg

^a

^(e quindi dipende

^{solo da}

~X). Allora, posto:

ottengo che,

^se

y, ZEB6(x)

^e

y ~ z,

^esiste

h~ 1~ -~- 1,

^{tale che:}

e

quindi

^da

(2.41), (2.42), (2.43), (2.45)

^e

(2.48),

^{si ha:}

Per il Teorema 5.8 di

[4],

^si

può

concludere allora che 8E r1

B6(x)

^é

una

ipersuperficie

di classe

Se E minimizza il funzionale su di un

aperto

^{~2 di}

.Rn,

^{n ~ 2}

con p &#x3E; n, ^{allora tutti i}

punti

^{di verificano}

le

ipotesi

^del Teorema 2.1. Ne deriva che 8*E r1 Q è una varietà

(n -1 )-

dimensionale di classe

C1’p-»4p.

3.

È

noto che esistono insiemi che minimizzano un funzionale del

tipo

^{su tutto e che}

presentano

sulla frontiera dei

punti singoli (vedi [1]). ^Questo però

^non

può

verificarsi se la dimensione n è

piccola.

^{Cioè vale il:}

TEOREMA 3.1. Sia E un insieme che rninimizza il

funzionale

su di un

aperto

^{Q di}

Rn,

^{n ~ 2 e sia} p &#x3E; n. ^Se

n c 7,

aE r1 S2 è una

ipersuperficie di

^classe con y ⁼

( p - n)/4p.

DrMOSTBAZiONE.

Suppongo

^{che esista un}

punto singolare

^{x in}

A meno di operare ^una

traslazione,

posso supporre ^{x = 0.}

Allora se pongo : ^{d =} dist

( 0,

^{e A =} per il Teorema ^{2 .1}

se OCocC1 ^e

deve essere:

Se ora è una successione di numeri

positivi,

verificanti

(3.1),

^{tale che:}

lim 2, - 0, posto

si ottiene una successione di insiemi che minimizzano il funzionale su

Qh

⁼

{x

^E

^R’~,

^{QhX E}

S~~

dove

Ah(X) - 9hA(QhX).

^Tenendo

presente che,

per t &#x3E;

0,

^se

d/2, valgono

le relazioni:

e

ragionando

^{come nella} dimostrazione del Teorema 5.1 di

[3],

^{si ha}

che,

^dalla successione

Eh, può

^{estrarsi una} sottosuccessione che con-

verge in ^cono M di frontiera orientata di misura minima in Dalla

(3.2),

si ottiene che 0 e 8M- 8*M. L’esistenza di tale

cono per

n 7,

^{contrasta con un} risultato di

Simons [6].

Nel caso di dimensione n

qualunque,

comincio col provare il ^se-

guente

^{Lemma :}

LEMMA 3.1. Sia

E,~

^una successione di insiemi minimizzacnti il zionale su di ^un

aperto

^{Q di}

Rn,

n&#x3E; 2 ^e sia ^E P &#x3E; n;

suppongo che:

e

che,

^per

ogni compatto

^{K c il esista una costante}

y(K),

^{tale che:}

Allora,

per

ogni compatto

^{K di Q:}

DIMOSTRAZIONE. Sia V ^un

aperto

contenente

(2E - 2* E)

^r1

K,

se esiste

hv tale,

per

ogni h &#x3E; hv,

V contiene al- lora

(3.8)

^è

provata.

^{Se un} tale indice non

esistesse,

^si

potrebbe

^tro-

vare una sottosuccessione di

E~

^{e una} successione di

punti xh

con

Posto d = dist

(K,3Q), dixt(x, K) d /2)

^e

A===y(Kd/2),

da

(3. 9 ),

^{se 0 oc 1 e 0 s}

min{d/2, ^a(n,

^p,

^A, a)2~~~p-n~~,

^{si ha :}

D’altra

parte,

^da

(3.~),

si ottiene

che,

^per

quasi

^tutti

gli

^{r: 0 r}

d/2:

Infine,

^{se 0 s r}

min(dj2 ,

^{e se h è} sufficientemente

grande,

si ha: c

Br(x)

^e

quindi,

^da

(3.10)

^e

(3.11 ),

per

quasi

tutti tali r :

Data l’arbitrarietà di s : si conclude

che,

^per

quasi

^tutti

gli

r : 0 r min

{dj2, a2-,/(,, - 1)} :

Quindi

^{x E}

( aE - 2* E)

ⁿ

(.K - Tr)

^e

questo

^{contrasta con}

l’ipotesi

^che

(aE- a*E) n _K c

^V.

Ragionando

^{come in}

[3],

^{siamo ora in}

grado

^di provare il:

TEOREMA 3.2. Sia E un insieme che minimizza il

fnzionale 3A(F)

su di un

aperto

^{Q di}

Rn,

n &#x3E; 8 ^{e sia}

A(x)

^E p &#x3E; ^n. Allora esiste

un

aperto

^{W c Q tale che 2E n W è una varietà}

(n - 1)-dimensionale

di classe

C1,y,

y =

(p - n)/4p,

^{ò* E n lV e}

HS(S~ - W) =

⁰ per

ogni s E R,

s &#x3E; n - 8.

BIBLIOGRAFIA

[1] E. BOMBIERI - E. DE GIORGI - E. GIUSTI, ^{Minimal cones} and Bernstein

problem,

^{Inv. Math.} (1969).

[2]

^{E. DE} GIORGI, Frontiere orientate di misura minima, Sem. Mat. Sc. Norm.

Sup.

^Pisa (1960-61).

[3] ^U. MASSARI, Esistenza e

regolarità

^delle

ipersuperfici

^{di curvatura media} assegnata ^{in Rn}

(in

^{corso di} stampa ^{in Archive}

R.M.A.).

[4] ^M. MIRANDA, Distribuzioni aventi derivate misure ed insiemi di

perimetro

localmente

finito,

^{Ann. Sc. Norm.}

Sup.

^Pisa (1964).

[5] ^M. MIRANDA, Sul minimo

dell’integrale

^del

gradiente

^{di una}

funzione,

^Ann.

Sc. Norm.

Sup.

^Pisa (1965).

[6] ^J. SIMONS, Minimal varieties in Riemannian

manifold,

Ann. of Math.

(1968).

Manoscritto pervenuto ⁱⁿ redazione il 3

maggio

^1974.