Stabilité du couplage rideau

(1)

Nicolas JUILLET

Université de Strasbourg

Palaiseau, octobre 2014

Nicolas JUILLET Stabilité du couplage rideau

(2)

1

Le théorème de Strassen

2

Le couplage rideau

3

Application aux PCOCs

4

Stabilité du couplage rideau

(3)

Stabilité du couplage rideau Le théorème de Strassen

L’ordre convexe

Définition: l’ordre convexe On écrit

µ C ν

et dit que µ est plus petit que ν dans l’ordre convexe si et seulement si il existe un plan π de type martingale tel que

proj ^x _# π = µ and proj ^y _# π = ν.

D’après un théorème (non constructif) de Strassen, cela équivaut à supposer Z

ϕdµ ≤ Z

ϕ dν

pour toute fonction convexe ϕ : R → R ^.

(4)

Proposition - Définition

On écrit µ _E ν et on dit que µ est plus petit que ν dans l’ordre étendu si F _µ ^ν := {θ : µ C θ et θ ≤ ν}

est non vide.

L’ensemble partialement ordonné ( F _µ ^ν , C ) a un minimum. On appelle cette mesure l’ombre de µ projetée sur ν et on la note S ^ν (µ) .

µ

ν γ 1

γ 2

S ^ν−ν

¹

(γ ₂ )

γ 1

µ

γ 2

ν

S ^ν (γ 1 ) = ν 1 S ^ν−ν

¹

(γ 2 )

(5)

Stabilité du couplage rideau Le couplage rideau

Fonction potentielle d’une mesure

Définition

La fonction potentielle u µ de µ est définie par u _µ : x 7→

Z

| y − x |dµ( y ).

La dérivée de u µ / 2 est F µ : x 7→ µ(] − ∞, x ]) et la dérivée seconde est µ . La fonction u _µ est assymptotique à x 7→ k .| x − m | en −∞ et +∞ avec k la masse et m le barycentre de µ

On a µ _C ν si et seulement si u _µ ( x ) ≤ u _ν ( x ) pour tout x.

(6)

Théorème modèle du problème classique de transport de masse

Soit µ et ν éléments de P 2 et π un plan de transport de µ à ν . Les affirmations suivantes sont équivalentes:

Le plan π est optimal pour le problème de transport associé au coût c ( x , y ) = ( y − x ) ² ,

Le plan π est concentré sur un ensemble monotone Γ , Le plan π est le couplage par quantiles.

Nous avons démontré un théorème analogue à celui-là pour la variante martingale.

(7)

Théoreme pour le problème de transport martingale

Theorem

Soit µ et ν éléments de P 3 pris dans l’ordre convexe et π un plan de transport martingale de µ à ν . Les affirmations suivantes sont équivalentes:

Le plan π est optimal pour le problème de transport martingale associé au coût c ( x , y ) = ( y − x ) ³ ,

Le plan de transport π est concentré sur un ensemble “martingale-monotone” Γ (cf. la figure),

Le plan π est the couplage rideau gauche (c-à-d. transporte µ _]−∞, _x _] sur son ombre)

x x ⁰

y ⁻ y ⁰ y ⁺

Figure: Cette configuration de trois points ( x , y ), ( x

⁰

, y

⁻

) et ( x

⁰

, y

⁺

) est interdite sur les ensembles martingale-monotones Γ .

(8)

Ce lemme est adapté aux problèmes de transport martingale pour les fonctions c continues.

Lemme variationnel

Soit π un plan optimal. Il existe Γ ⊆ R × R tel que pour toute mesure finiment supportée α qui satisfait α(Γ) = 1, le minimum de l’application

α ⁰ 7→ ^R c ( x , y )dα ⁰ ( x , y ) restreinte à

Comptiteur(α) =





 α ⁰ : α ⁰

a les mêmes marginales que α

∀ x ∈ R , Z

y dα x = Z

y dα ⁰ _x







est obtenu en .

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

µ

ν γ 1

γ 2

S ^ν (γ ₁ ) = ν 1

S ^ν−ν

¹

(γ ₂ )

γ 1

µ

γ 2

ν S ^ν (γ 1 ) = ν 1 S ^ν−ν

¹

(γ ₂ )

Figure: Ombre de µ projetée sur ν et associativité des ombres.

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Figure: Plan de transport monotone entre deux mesures gaussiennes.

(26)

(27)

Figure: Plan de transport monotone entre deux mesures gaussiennes.

(28)

x x ⁰

T ₂ ( x ⁰ )

T ₁ ( x ⁰ ) T ₁ ( x ) = T ₂ ( x )

(29)

Stabilité du couplage rideau Application aux PCOCs

(30)

(31)

Questions

Existence, Uniqueness of a limit process?

Choice of a toplology.

Are limit processes Markovian?

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

x ₂

x ₁ = x ₂

x ₁

(37)

Stabilité du couplage rideau Stabilité du couplage rideau

Soit W la distance de Kantorovich (où distance de Wasserstein L ¹ ).

Theorem

Si S ^ν (µ) et S ^ν

⁰

(µ ⁰ ) existent et satisfont µ( R ) = µ ⁰ ( R ) et ν( R ) = ν ⁰ ( R ) , alors W ( S ^ν (µ), S ^ν

⁰

(µ ⁰ )) ≤ W (µ,µ ⁰ ) + 2W (ν, ν ⁰ ).

(38)

La partie concernant µ,µ ⁰ s’appuie sur ce lemme:

Lemme

Si µ = ∑ ^m δ x

i

et µ ⁰ = ∑ ^m δ _x

⁰

i

Stabilité du couplage rideau

Stabilité du couplage rideau

Nicolas JUILLET

Palaiseau, octobre 2014

Le théorème de Strassen

Le couplage rideau

Application aux PCOCs

Stabilité du couplage rideau

L’ordre convexe

Définition: l’ordre convexe On écrit

µ C ν

et dit que µ est plus petit que ν dans l’ordre convexe si et seulement si il existe un plan π de type martingale tel que

proj x # π = µ and proj y # π = ν.

D’après un théorème (non constructif) de Strassen, cela équivaut à supposer Z

ϕdµ ≤ Z

ϕ dν

pour toute fonction convexe ϕ : R → R .

Proposition - Définition

On écrit µ E ν et on dit que µ est plus petit que ν dans l’ordre étendu si F µ ν := {θ : µ C θ et θ ≤ ν}

est non vide.

L’ensemble partialement ordonné ( F µ ν , C ) a un minimum. On appelle cette mesure l’ombre de µ projetée sur ν et on la note S ν (µ) .

µ

ν γ 1

γ 2

S ν−ν

(γ 2 )

γ 1

µ

γ 2

ν

S ν (γ 1 ) = ν 1 S ν−ν

(γ 2 )

Fonction potentielle d’une mesure

Définition

La fonction potentielle u µ de µ est définie par u µ : x 7→

Z

| y − x |dµ( y ).

La dérivée de u µ / 2 est F µ : x 7→ µ(] − ∞, x ]) et la dérivée seconde est µ . La fonction u µ est assymptotique à x 7→ k .| x − m | en −∞ et +∞ avec k la masse et m le barycentre de µ

On a µ C ν si et seulement si u µ ( x ) ≤ u ν ( x ) pour tout x.

Théorème modèle du problème classique de transport de masse

Soit µ et ν éléments de P 2 et π un plan de transport de µ à ν . Les affirmations suivantes sont équivalentes:

Le plan π est optimal pour le problème de transport associé au coût c ( x , y ) = ( y − x ) 2 ,

Le plan π est concentré sur un ensemble monotone Γ , Le plan π est le couplage par quantiles.

Nous avons démontré un théorème analogue à celui-là pour la variante martingale.

Théoreme pour le problème de transport martingale

Theorem

Soit µ et ν éléments de P 3 pris dans l’ordre convexe et π un plan de transport martingale de µ à ν . Les affirmations suivantes sont équivalentes:

Le plan π est optimal pour le problème de transport martingale associé au coût c ( x , y ) = ( y − x ) 3 ,

Le plan de transport π est concentré sur un ensemble “martingale-monotone” Γ (cf. la figure),

Le plan π est the couplage rideau gauche (c-à-d. transporte µ ]−∞, x ] sur son ombre)

x x 0

y − y 0 y +

Figure: Cette configuration de trois points ( x , y ), ( x

, y

) et ( x

, y

) est interdite sur les ensembles martingale-monotones Γ .

Ce lemme est adapté aux problèmes de transport martingale pour les fonctions c continues.

Lemme variationnel

Soit π un plan optimal. Il existe Γ ⊆ R × R tel que pour toute mesure finiment supportée α qui satisfait α(Γ) = 1, le minimum de l’application

α 0 7→ R c ( x , y )dα 0 ( x , y ) restreinte à

Comptiteur(α) =





 α 0 : α 0

a les mêmes marginales que α

∀ x ∈ R , Z

y dα x = Z

y dα 0 x







est obtenu en .

µ

ν γ 1

γ 2

S ν (γ 1 ) = ν 1

S ν−ν

(γ 2 )

γ 1

proj ^x _# π = µ and proj ^y _# π = ν.

pour toute fonction convexe ϕ : R → R ^.

On écrit µ _E ν et on dit que µ est plus petit que ν dans l’ordre étendu si F _µ ^ν := {θ : µ C θ et θ ≤ ν}

L’ensemble partialement ordonné ( F _µ ^ν , C ) a un minimum. On appelle cette mesure l’ombre de µ projetée sur ν et on la note S ^ν (µ) .

S ^ν−ν

(γ ₂ )

S ^ν (γ 1 ) = ν 1 S ^ν−ν

La fonction potentielle u µ de µ est définie par u _µ : x 7→

La dérivée de u µ / 2 est F µ : x 7→ µ(] − ∞, x ]) et la dérivée seconde est µ . La fonction u _µ est assymptotique à x 7→ k .| x − m | en −∞ et +∞ avec k la masse et m le barycentre de µ

On a µ _C ν si et seulement si u _µ ( x ) ≤ u _ν ( x ) pour tout x.

Le plan π est optimal pour le problème de transport associé au coût c ( x , y ) = ( y − x ) ² ,

Le plan π est optimal pour le problème de transport martingale associé au coût c ( x , y ) = ( y − x ) ³ ,

Le plan π est the couplage rideau gauche (c-à-d. transporte µ _]−∞, _x _] sur son ombre)

x x ⁰

y ⁻ y ⁰ y ⁺

α ⁰ 7→ ^R c ( x , y )dα ⁰ ( x , y ) restreinte à

 α ⁰ : α ⁰

y dα ⁰ _x

S ^ν (γ ₁ ) = ν 1

S ^ν−ν

(γ ₂ )

ν S ^ν (γ 1 ) = ν 1 S ^ν−ν

(γ ₂ )

x x ⁰

T ₂ ( x ⁰ )

T ₁ ( x ⁰ ) T ₁ ( x ) = T ₂ ( x )

x ₂

x ₁ = x ₂

x ₁

Soit W la distance de Kantorovich (où distance de Wasserstein L ¹ ).

Si S ^ν (µ) et S ^ν

(µ ⁰ ) existent et satisfont µ( R ) = µ ⁰ ( R ) et ν( R ) = ν ⁰ ( R ) , alors W ( S ^ν (µ), S ^ν

(µ ⁰ )) ≤ W (µ,µ ⁰ ) + 2W (ν, ν ⁰ ).

La partie concernant µ,µ ⁰ s’appuie sur ce lemme:

Si µ = ∑ ^m δ x

et µ ⁰ = ∑ ^m δ _x

avec pour tout i, x _i ≤ x _i ⁰ alors S ^ν (µ) ≤ sto S ^ν (µ ⁰ ).

Ainsi dans ce cas W ( S ^ν (µ), S ^ν (µ ⁰ )) = W (µ, µ ⁰ ) .