Résultats préliminaires

Deux calculs de ζ (2)

On s'intéresse à la fonction zêta de Riemann, une fonction dénie par la relation suivante :

∀α∈]1 ; +∞[, ζ(α) =

+∞

X

k=1

1

k^α = lim

n→+∞

n

X

k=1

1 k^α

Le problème fera établir, à l'aide de deux manières très diérentes, le résultatζ(2) = π² 6 .

Résultats préliminaires

Les questions de cette partie sont indépendantes.

1. Soitx∈]0 ; π/2[, montrer quesin(x)≤x≤tan(x).On rappelle que,∀x∈R\nπ

2 +kπ, k∈Z

o,tan(x) = sin(x) cos(x). 2. (Technique de l'arc-moitié). Soitθ∈R, donner la forme exponentielle de e^iθ−1ete^iθ+1.

3. Soitfune fonction dénie sur[1 ; +∞[et croissante sur cet intervalle. On cherche à estimer :S_n=Pn

k=1f(k). Pour tout k ∈ N^∗, on a f(k) ≤

Z k+1 k

f(t) dt ≤ f(k+ 1). Encadrer Sn en fonction de f. On appelle cette méthode la méthode des rectangles.

4. Soit f une fonction continue sur I, en remarquant que ∀t ∈ I, −|f(t)| ≤ f(t) ≤ |f(t)|, montrer que

Z

I

f(t) dt

≤ Z

I

|f(t)|dt.

5. (Intégration par parties). Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI deR, à dérivées continues.

Montrer, en remarquant que (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰, que Z

I

u(t)v⁰(t) dt= [u(t)v(t)]_I− Z

I

u⁰(t)v(t) dt

6. (Lemme de Riemann-Lebesgue). Soit f une application dénie sur [a;b], à valeurs réelles, dérivable et à dérivée continue. Pour λ∈R^+∗, démontrer :

Z b a

f(t) sin(λt) dt

≤ 1 λ

|f(a)|+|f(b)|+ Z b

a

|f⁰(t)|dt

Puis en déduire que :

Z _b

a

f(t) sin(λt) dt−−−−→

λ→+∞ 0.

Existence de ζ(α)

Il s'agit ici de montrer que cette suite, qu'on appelle série, est convergente : S_n=

n

X

k=1

1 k^α. 1. Pourα dans]1 ; +∞[, montrer que :

∀n∈N^∗, Sn≤ α α−1

2. Montrer que la suite(S_n)n≥1 est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle 1

α−1 ; α α−1

. Dès lors, on peut armer que ζ(α) =

+∞

X

k=1

1

k^α existe.

Un premier calcul

1. (a) Pourn∈N^∗, calculer :

Z π 0

tcos(nt) dt et Z π

0

t²cos(nt) dt On pourra intégrer par parties.

(b) Trouver (a, b)∈R², tels que :

∀n∈N^∗, Z π

0

(at²+bt) cos(nt) dt= 1 n²

1/2

2. Soitn∈N^∗, t∈Ret :

Cn(t) =

n

X

k=1

cos(kt) Montrer, pour ndansN^∗ ett dansRnon multiple de2π :

C_n(t) =−1 2+

sin

2n+ 1 2 t

2 sin t

2

3. En déduire que :

∀n∈N^∗,

n

X

k=1

1 k² = π²

6 + Z π

0

ϕ(t) sin

2n+ 1 2 t

dt où ϕest une fonction dénie et continue sur [0 ; π]que l'on précisera.

4. Montrer que la fonctionϕest dérivable sur [0 ; π]et que sa dérivéeϕ⁰ est également continue sur [0 ; π].

5. Conclure.

Un deuxième calcul

On pose :

∀t∈R\πZ, cotan(t) = cos(t) sin(t) 1. (a) Vérier que la fonction cotan estπ-périodique et impaire.

(b) Calculer la dérivée de la fonction cotan.

(c) Tracer le graphe de la restriction de cotan à ]0 ; π[. (d) Démontrer, pourt∈]0 ; π/2], les inégalités :

cotan(t)≤ 1 t

1

t² −1≤cotan²(t)≤ 1 t² 2. Soitn∈N^∗,

(a) Pourz∈C, établir la formule :

(z+i)ⁿ−(z−i)ⁿ= 2ni

n−1

Y

k=1

z−cotan kπ

n

(b) Soitm∈N^∗. Pourz∈C, montrer :

(z+i)^2m+1−(z−i)^2m+1= (4m+ 2)i

m

Y

k=1

z²−cotan²

kπ 2m+ 1

3. (a) Soitm∈N^∗. En utilisant la formule du binôme, calculer le coecient de z^2m−2 dans le développement de (z+i)^2m+1−(z−i)^2m+1.

(b) Soitm∈N^∗. Déduire des questions précédentes la formule :

m

X

k=1

cotan²

kπ 2m+ 1

= m(2m−1) 3 (c) En déduire la valeur deζ(2). On pourra s'aider de la question 1.(d).

D'après Nicolas Tosel, Entre la Terminale et les CPGE scientiques et Quentin De Muynck

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