Deux calculs de ζ (2)
On s'intéresse à la fonction zêta de Riemann, une fonction dénie par la relation suivante :
∀α∈]1 ; +∞[, ζ(α) =
+∞
X
k=1
1
kα = lim
n→+∞
n
X
k=1
1 kα
Le problème fera établir, à l'aide de deux manières très diérentes, le résultatζ(2) = π2 6 .
Résultats préliminaires
Les questions de cette partie sont indépendantes.
1. Soitx∈]0 ; π/2[, montrer quesin(x)≤x≤tan(x).On rappelle que,∀x∈R\nπ
2 +kπ, k∈Z
o,tan(x) = sin(x) cos(x). 2. (Technique de l'arc-moitié). Soitθ∈R, donner la forme exponentielle de eiθ−1eteiθ+1.
3. Soitfune fonction dénie sur[1 ; +∞[et croissante sur cet intervalle. On cherche à estimer :Sn=Pn
k=1f(k). Pour tout k ∈ N∗, on a f(k) ≤
Z k+1 k
f(t) dt ≤ f(k+ 1). Encadrer Sn en fonction de f. On appelle cette méthode la méthode des rectangles.
4. Soit f une fonction continue sur I, en remarquant que ∀t ∈ I, −|f(t)| ≤ f(t) ≤ |f(t)|, montrer que
Z
I
f(t) dt
≤ Z
I
|f(t)|dt.
5. (Intégration par parties). Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI deR, à dérivées continues.
Montrer, en remarquant que (uv)0 =u0v+uv0, que Z
I
u(t)v0(t) dt= [u(t)v(t)]I− Z
I
u0(t)v(t) dt
6. (Lemme de Riemann-Lebesgue). Soit f une application dénie sur [a;b], à valeurs réelles, dérivable et à dérivée continue. Pour λ∈R+∗, démontrer :
Z b a
f(t) sin(λt) dt
≤ 1 λ
|f(a)|+|f(b)|+ Z b
a
|f0(t)|dt
Puis en déduire que :
Z b
a
f(t) sin(λt) dt−−−−→
λ→+∞ 0.
Existence de ζ(α)
Il s'agit ici de montrer que cette suite, qu'on appelle série, est convergente : Sn=
n
X
k=1
1 kα. 1. Pourα dans]1 ; +∞[, montrer que :
∀n∈N∗, Sn≤ α α−1
2. Montrer que la suite(Sn)n≥1 est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle 1
α−1 ; α α−1
. Dès lors, on peut armer que ζ(α) =
+∞
X
k=1
1
kα existe.
Un premier calcul
1. (a) Pourn∈N∗, calculer :
Z π 0
tcos(nt) dt et Z π
0
t2cos(nt) dt On pourra intégrer par parties.
(b) Trouver (a, b)∈R2, tels que :
∀n∈N∗, Z π
0
(at2+bt) cos(nt) dt= 1 n2
1/2
2. Soitn∈N∗, t∈Ret :
Cn(t) =
n
X
k=1
cos(kt) Montrer, pour ndansN∗ ett dansRnon multiple de2π :
Cn(t) =−1 2+
sin
2n+ 1 2 t
2 sin t
2
3. En déduire que :
∀n∈N∗,
n
X
k=1
1 k2 = π2
6 + Z π
0
ϕ(t) sin
2n+ 1 2 t
dt où ϕest une fonction dénie et continue sur [0 ; π]que l'on précisera.
4. Montrer que la fonctionϕest dérivable sur [0 ; π]et que sa dérivéeϕ0 est également continue sur [0 ; π].
5. Conclure.
Un deuxième calcul
On pose :
∀t∈R\πZ, cotan(t) = cos(t) sin(t) 1. (a) Vérier que la fonction cotan estπ-périodique et impaire.
(b) Calculer la dérivée de la fonction cotan.
(c) Tracer le graphe de la restriction de cotan à ]0 ; π[. (d) Démontrer, pourt∈]0 ; π/2], les inégalités :
cotan(t)≤ 1 t
1
t2 −1≤cotan2(t)≤ 1 t2 2. Soitn∈N∗,
(a) Pourz∈C, établir la formule :
(z+i)n−(z−i)n= 2ni
n−1
Y
k=1
z−cotan kπ
n
(b) Soitm∈N∗. Pourz∈C, montrer :
(z+i)2m+1−(z−i)2m+1= (4m+ 2)i
m
Y
k=1
z2−cotan2
kπ 2m+ 1
3. (a) Soitm∈N∗. En utilisant la formule du binôme, calculer le coecient de z2m−2 dans le développement de (z+i)2m+1−(z−i)2m+1.
(b) Soitm∈N∗. Déduire des questions précédentes la formule :
m
X
k=1
cotan2
kπ 2m+ 1
= m(2m−1) 3 (c) En déduire la valeur deζ(2). On pourra s'aider de la question 1.(d).
D'après Nicolas Tosel, Entre la Terminale et les CPGE scientiques et Quentin De Muynck
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