UPMC 1M002 Suites, int´ egrales, algebre lin´ eaire 2015-2016
Feuille 13 R´ eduction
Exercice 1. SoitA=
0 6 −1
6 0 6
−1 6 0
.
1)Trouver les valeurs propres deAet montrer queAest diagonalisable.
2)Trouver une base de vecteurs propres deA.
3)Montrer que les sous-espaces propres deA sont orthogonaux.
Exercice 2. SoitS une application lin´eaire deR2dans lui-mˆeme telle queS2=I.
1)Montrer queS est diagonalisable.
2)Supposons queS ne soit ni l’identit´e ni l’oppos´ee de l’identit´e et soit {~u, ~v}une base de vecteurs propres de S. Montrer queS est une isom´etrie (c’est-`a dire ||S(w)||~ =||w||) si et seulement si~ (~u|~v) = 0.
Exercice 3. 1) Trouver les valeurs propres de la matrice A=
0 1 1
−1 2
3 2 −1 3 2
2 −3 2
1 2
et en d´eduire que A est
diagonalisable.
2)Trouver une base de vecteurs propres deA.
3)CalculerP−1et d´eterminer le produitP−1AP. Exercice 4. 1)Montrer sans calcul que la matrice
A=
π 1 1 0 π 1 0 0 π
n’est pas diagonalisable.
2)Montrer sans calcul que la matrice
B=
1 1 1 0 2 1 0 0 3
est diagonalisable.
3)Soita, b∈Raveca6=b. Est-ce que les matrices
C=
a 1 1 0 b 1 0 0 b
et D=
a 1 1 0 a 1 0 0 b
sont diagonalisables ?
Exercice 5. 1)Montrer que la matrice
A=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
est diagonalisable.
1
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2)Trouver une matrice de passageP de la base canonique `a une base de vecteurs propres. de A
3)CalculerP−1.
Exercice 6. Montrer que la matrice
B =
1 1 0
−1 0 −1 0 −1 1
n’est pas diagonalisable.
Exercice 7. On consid`ere la matrice
A=
−4 −6 0
3 5 0
3 6 5
1)DiagonaliserA.
2)CalculerAn pour toutn∈N.
Exercice 8. Soita, bdeux nombres r´eels. On d´efinit la suite(un)n∈Npar les deux valeursu0=aetu1=bet la relation de r´ecurrence
un+2=un+1+ 2un Pour toutn∈N, on poseUn =
un
un+1
.
1) Montrer que la suite de vecteurs (Un)n∈N v´erifie une relation de r´ecurrence telle que U0 = a
b
et Un+1=AUn o`u Aest une matrice2×2 que l’on d´eterminera.
2)Montrer que la matriceA est diagonalisable et donner une matrice de passageP telle que A=P DP−1 o`u D est une matrice diagonale.
3)En d´eduire une expression explicite de un pour toutn∈N.
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