Limites de fonctions
Pour reprendre contact no1 à 6 p 159
I. Limite finie ou infinie à l’infini
Activité no1 p 160
(A) Limite infinie en+∞ou en−∞
Définition 1
Dire qu’une fonction f a pour limite+∞en+∞signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[ (avecAnombre réel) contient toutes les valeurs def(x) pourxassez grand.
On note : lim
x→+∞f(x)= +∞.
Exemples :Fonctions de référence de limite+∞en+∞
x7→x,x7→x2,x7→xn(avecn∈N∗),x7→p
xont pour limite+∞en+∞.
Définition 2
Dire qu’une fonction f a pour limite−∞en+∞signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]− ∞;A[ (avecAnombre réel) contient toutes les valeurs de f(x) pourxassez grand.
On note : lim
x→+∞f(x)= −∞.
Exemples :Fonctions de référence de limite−∞en+∞
x7→ −x,x7→ −x2,x7→ −xn(avecn∈N∗),x7→ −p
xont pour limite−∞en+∞.
Remarque
On définit de façon analogue les limites en−∞. Par exemple, lim
x→−∞x2= +∞ lim
x→−∞x3= −∞
(B) Limite finie en+∞ou en−∞
Définition 3
Exemples :Fonctions de référence de limite0en+∞
x7→ 1
x,x7→ 1
x2,x7→ 1
xn (avecn∈N∗),x7→ 1
px ont pour limite 0 en+∞.
Remarque
On définit de façon analogue une limite finie en−∞.
Interprétation graphique Lorsque lim
x→+∞f(x)=`, on dit que, dans un repère, la droitedd’équationy=`estasymptote horizontale en+∞à la courbe représentativeC de f.
Cela signifie qu’en notantM(x;f(x)) un point deCetP(x,`) un point ded, la distanceM Ptend vers 0 quandxtend vers+∞.
On définit de même une asymptote horizontale en−∞lorsque lim
x→−∞f(x)=`.
Remarque
Pour étudier la position relative de la courbeCpar rapport à la droited, on étudie le signe de la différencef(x)−`.
Exercices no5 à 9 p 181 - 182
II. Limite infinie en un point
(A) Limite infinie en un nombre réela
Définition 4
Dire qu’une fonction f a pour limite+∞enasignifie que pour tout intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[ (avecAnombre réel) contient toutes les valeursf(x) pourxassez proche dea.
On note lim
x→af(x)= +∞.
Remarque
On définit de façon analogue une limite−∞ena.
Exemple 1
f est la fonction définie sur ]− ∞; 0[∪]0;+∞[ parf(x)= 1 x2.
En traçant le graphique sur la calculatrice, on peut conjecturer quef semble avoir pour limite+∞en 0.
Pour le démontrer, on choisit un nombre réelA>0.
1
x2>Aéquivaut àx2<1
A, c’est-à-dire− 1
pA<x< 1
pAavecx6=0.
Donc ]A;+∞[ contient tous lesf(x) pourxassez proche de 0. Donc lim
x→0
1 x2= +∞.
Exemple 2
gest la fonction définie sur ]− ∞; 0[∪]0;+∞[ parg(x)=1 x.
En traçant le graphique sur la calculatrice, on peut conjecturer queg(x) semble prendre de grandes valeurs positives lorsquexest positif proche de 0 et semble prendre des valeurs négatives de grandes caleurs absolues lorsquexest négatif proche de 0.
lSur ]0;+∞[, on prend un nombre réelA>0.1
x>Aéquivaut à 0<x<1
A.On dit quega pour limite+∞à droite en 0et on note lim x→0
x>0 1 x= +∞
lSur ]− ∞; 0[, on prend un nombre réelB<0.1
x<Béquivaut à1
B<x<0.On dit quega pour limite−∞à gauche en 0et on note lim x→0
x<0 1 x= −∞
(B) Interprétation graphique
Définition 5
Lorsqu’une fonction a pour limite+∞ou−∞en un nombre réela(éventuellement à droite ou à gauche), on dit que, dans un repère, la droite d’équationx=aestasymptote verticaleà la courbe représentativeC de f.
Le graphique ci-dessous illustre le cas où lim
x→af(x)= +∞.
Exercices no11 à 14 p 182
III. Limite et opérations
(A) Somme, produit, quotient de fonctions
Les fonctionsf etgont le même ensemble de définition,adésigne un nombre réel ou+∞ou−∞.`et`0désignent deux nombres réels.
Somme
Produit
Si f a pour limite ena ` `>0 `>0 `<0 `<0 +∞ −∞ +∞ 0
Sig a pour limite ena `0 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ou−∞
Alorsf ×g a pour limite ena `×`0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ FI
Inverse
Sig a pour limite ena `6=0 0 avecg >0 0 avecg<0 +∞ −∞
Alors 1
g a pour limite ena 1
` +∞ −∞ 0 0
Quotient
Sifa pour limite ena ` ` ` +∞ +∞ −∞ −∞ ±∞ `>0 ou+∞ `<0 ou−∞ `>0 ou+∞ `<0 ou−∞ 0
Siga pour limite ena `06=0 +∞ −∞ `0>0 `0<0 `0>0 `0<0 ±∞ 0+ 0+ 0− 0− 0
Alorsf
ga pour limite ena `
`0 0 0 +∞ −∞ −∞ +∞ FI +∞ −∞ −∞ +∞ FI
(B) Formes indéterminées Propriété 1 (admise)
lUne fonction polynôme a même limite en−∞et en+∞que son terme de plus haut degré.
lUne fonction rationnelle a même limite en−∞et en+∞que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et son dénominateur.
Exemples
x→+∞lim x2−3x+4= lim
x→+∞x2= +∞
x→+∞lim
2x2+x−3 3x+4 = lim
x→+∞
2x2 3x = lim
x→+∞
2 3x= +∞
Exercices no15 - 17 - 18 - 19 - 20 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 30 - 31 - 32 - 33 - 36 - 37 p 182 à 184
(C) Composée de deux fonctions
Propriété 2 (admise)
a,betcdésignent des nombres réels ou+∞ou−∞.f etgsont deux fonctions.
Si lim
x→af(x)=bet si lim
x→bg(x)=calors lim
x→ag[f(x)]=c Exemple
On considère la fonctionh(x)=p
−2x+4. On définit alorsf(x)= −2x+4 etg(X)=p X.
x→−∞lim f(x)= +∞et lim
x→+∞g(x)= +∞. Donc lim
x→−∞h(x)= +∞.
Exercices no38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 p 184 - 185
IV. Limite et comparaison
(A) Théorème de comparaison : limite finie Propriété 3
Si f etg sont deux fonctions telles que : (1) Pourxassez grand, f(x)≥g(x) (2) lim
x→+∞g(x)= +∞
Alors lim
x→+∞f(x)= +∞.
Démonstration
4D’après (2), tout intervalle ]A;+∞[ (avecAnombre réel) contient tous lesg(x) pourxsupérieur à un nombre réelM.
Ainsi pourx>M,g(x)>A.
4D’après (1), pour toutx>M0,f(x)≥g(x).
4Donc, pour toutxsupérieur à la fois àMetM0,f(x)≥g(x)>A.
Donc, tout intervalle ]A;+∞[ contient tous lesf(x) pourxassez grand et lim
x→+∞f(x)= +∞.
Propriété 4
Sifetgsont deux fonctions telles que : (1) Pourxassez grand,f(x)≤g(x) (2) lim
x→+∞g(x)= −∞
Alors lim
x→+∞f(x)= −∞. Démonstration Analogue à la précédente
Exemple
f est la fonction définie surRparf(x)= −2x+sinx.
Pour tout nombre réelx, sinx≤1 doncf(x)≤ −2x+1.
Or lim
x→+∞−2x+1= −∞donc lim
x→+∞−2x+sinx= −∞. Remarque
Ces propriétés s’étendent aux limites en−∞et en un point.
(B) Théorème des gendarmes : limite réelle
Théorème des gendarmes (admis)
Sif,g,hsont des fonctions telles quef(x)≤g(x)≤h(x) et si lim
x→+∞f(x)= lim
x→+∞h(x)=` Alors lim
x→+∞g(x)=`.
