Convergence faible avec indices aléatoires

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B

R ^OGER F ^ISCHLER

Convergence faible avec indices aléatoires

Annales de l’I. H. P., section B, tome 12, n

^o

4 (1976), p. 391-399

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Convergence ^faible

^avec

indices aléatoires

Roger ^FISCHLER

Université Carleton (Ottawa), Université de Clermont

Vol. XII, ^n° 4, 1976, p. 391-399. Calcul des Probabilités et Statistique.

à S. F.

qui

^est

parti

^{et à S. F.}

qui

^{est venue}

« I o _{pas mie} sons roso sons

espino/ni

nouse sons crubil ».

SOMMAIRE. - Certains théorèmes au

sujet

des suites de v. a. stables et

mélangeantes

^{avec valeurs dans un} espace

métrique

démontrés antérieure-

ment par l’auteur permettent d’obtenir un théorème très

général

^au

sujet

de la convergence faible avec indices aléatoires. A son tour ce théorème permet ^{de retrouver très}

facilement,

^{et en}

plus

^{de mettre dans un contexte}

naturel,

presque ^tous les résultats obtenus

jusqu’à présent

^au

sujet

^{de la}

convergence ^avec indices aléatoires soit sur la droite soit dans C ou D.

En

plus

^{de nouveaux}

exemples,

^nous discutons le rapport ^{avec d’autres} articles.

SUMMARY. - The author has

previously proved

^{several theorems}

concerning

stable and

mixing

sequences of ^{r. v.} with values in a metric space. These are now used to obtain a

general

^result about weak conver-

gence with random indices. This theorem in turn allows one to obtain very

easily

^{most of} the results in the literature both on the line or in C and

D,

^{and to} furthermore put

everything

^{in a natural}

setting.

^{In addition}

to new

examples,

^{there is a} discussion on the relation of this work to other results in the literature.

I . INTRODUCTION

Pour les énoncés des

théorèmes,

^et les définitions au

sujet

^{de la conver-}

gence ^avec indices

aléatoires,

^on

pourrait

^consulter

[8].

^Nous utiliserons le livre

[3]

^de

Billingsley

^{en ce}

qui

^{concerne la} convergence faible. En

plus,

nous aurons besoin des notations et définitions suivantes :

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B - Vol. XII, ^n° 4 - 1976.

391

392 R. FISCHLER

Soit

[Q, ~, P]

^un

triple

^de

probabilité.

^{D sera}

l’espace

^{de toutes les}

fonctions sur

[0, 1] qui

^sont continues à droite et

qui

^ont des limites à

gauche,

^{avec la}

topologie

de Skohorod. Les éléments de D seront dénotés par X ^ou

X( . ).

^D’autre part, ^{W est la mesure de Wiener.}

Les différentes

hypothèses

^{seront dénotées par :}

D 1 :

^Une

suite {

^{de v. a. réelles est} dite stable avec la

densité 03B1a

^{si pour}

tout A E

A,

^lim a,

A]

⁼ pour ^{tout a}

qui

^{est un}

point

de continuité de

l’intégrale.

D2 :

^{Si dans}

Dl :

⁼

F(a)

^{est dite}

mélangeante.

D3 :

^Une

suite {Yn}

^{de v. a. à} valeurs dans un espace

métrique M,

^est dite stable avec la mesure aléatoire associée

B),

si pour ^tout A E

~,

lim E

B, A] =

pour ^tout B

qui

^{est un ensemble}

de continuité de

l’intégrale.

D4 :

^{Si dans}

D3 : B)

⁼

U(B)

pour ^{tout est} dite

mélangeante.

La

suite {vn}

^{des v. a. à valeurs dans Z+ est telle}

^qu’il

^{existe une}

v. a. v, strictement

positive

pour

laquelle {vn/n}

^{tend en}

probabilité

vers v.

D6 : (Condition

^de

Doeblin-Anscombe). Soient {Yn}

^{une suite de v. a. et}

{Bn}

^{des nombres} réels. Pour 0 c 1, ^écrivons

Mn

⁼

max Yl-Yn|

^.

cn

On suppose que ^>

0,

^{3C et} no, tels _{que :} > 8 si

n > no.

D6, : (Condition

^de

Richter-Mogyorodi-Guiasu).

^Dans

D6

^on

remplace Y~

par

Y~/B~

^{et on considère}

^P[Mn

^>

^~].

II.

THÉORÈME

PRINCIPAL

Dans

[14]

^{on trouve} les théorèmes suivants

(voir [l6]

pour des

applica-

tions d’une sorte

différente).

THÉORÈME A. une suite de v. a. stables

(u)

^{à valeurs dans}

l’espace métrique

^M.

Soit g :

^{M --~} M’, ^{où M’ est un autre} espace

métrique,

une transformation

qui

^{est pour}

P-presque

^{tout cc~} continue presque par- tout par rapport ^à

). Alors {

^{est aussi}

^stable,

^{et admet la mesure}

aléatoire associée v définie par

B)

⁼

u(co,

THÉORÈME B. une suite de v. a. stables

(u)

^{à valeurs dans}

l’espace métrique séparable

^M.

Soit {

^{une suite de v. a. à} valeurs dans M

qui

^{tendent en}

probabilité

vers une v. a. Z. Définissons une mesure aléatoire

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

r : Q ^x

(M

^x

M) -~

R par

r(co, D)

^{= x :}

(x, Z(co))

^E

D). Supposons

que g : M ^x M -~ M est une transformation

qui

^est pour

P-presque

^{tout w}

continue presque partout par rapport ^à

).

^{Alors la}

suite { g(Yn,

est aussi stable et admet la mesure aléatoire associée v définie _par

B) =

^{x :}

g(x, B).

REMARQUE

^{C. - La} démonstration du théorème B dans

[14]

^{reste valable}

si g

^est une transformation : M’ ^x M" ~ M" où tous ces espaces ^sont des espaces

métriques

^et

séparables.

Soit

Do

l’ensemble des éléments _ç de D

qui

^{sont non} décroissants ^et tels _{que 0}

qJ(t)

^{1. Dans} la remarque

C,

^nous

prendrons

M’ = M" = D et M" ⁼

Do.

^La

transformation g

^{sera la}

composition.

^{Pour et v bornée}

par

1,

définissons

Zn

par

Zn(t)

⁼

(vn/n)t

^et Z par

Z(t)

^{= vt. Si ces termes ne}

sont pas

bornés,

^{il faudra} tronquer ^ou normaliser d’abord comme dans

[3].

Pour éviter ces détails sans

intérêt,

^nous supposerons que

Zn

^{et Z}

appartien-

nent à

Do.

Nous pouvons donc énoncer le

THÉORÈME 1. ^-

Si ~ Y" ~

^{est stable}

^(u)

^{et si}

^D~

^est

satisfaite,

^{alors la}

suite (

^{définie par}

^Wn(t)

^{= est stable}

^(v)

^où

Ce théorème nous permettra ^{de retrouver} très facilement des résultats

au

sujet

^{de la} convergence ^avec indices aléatoires sur la

droite,

^ainsi que les résultats de la section 17 de

[3]

^{où la} convergence ^a lieu dans D.

III. LE CAS DES SOMMES

Dans cette

section,

^nous considérons une

suite ~ X~ ~

^{de v. a., leurs som-}

mes

partielles {

^et les éléments

aléatoires {

^{de D définis par :}

Pour démontrer _que les

hypothèses

des résultats _que nous allons obtenir

sont satisfaites dans des cas

intéressants,

^ainsi que pour ^en tirer

profit immédiatement,

^nous considérons d’abord deux cas converge faiblement vers W.

indépendante

^et

équirépartie

^{avec variance a2}

([3],

p.

137).

E2 : {Xj}

^est

03C6-mélangeante (section

^{20 de}

[3],

^{aussi dite *-mélan-} geante

[27],

^p.

314),

^{où est une certaine} transformation de tels _processus

Vol. XII, ^n° 4 - 1976.

394 ^R. FISCHLER

(section

^{21 de}

[3]).

^{La variance (J2 est donnée} par

l’expression (20.46)

ou

(21.11)

^de

[3].

^{Ce cas} inclut les v. a.

m-dépendantes,

fonctions de la forme et certains _processus de Markov.

En

plus

^{de la} convergence

faible,

nous avons :

LEMME 2. - Dans les cas

El

^et

E2, {

^est

mélangeante

avec m. a. a. W.

Démonstration. La condition

D4

^{est démontrée} pour les cas

El

^et

E2

aux pages 174 ^et 195 de

[3],

mais seulement pour certains A.

Cependant,

les mêmes démonstrations sont valables _pour les ensembles de la forme

{

^{et ceci suffit selon un résultat de}

Renyi ([27],

^Th.

58.1).

Donc le

prochain résultat,

ainsi que les trois

qui suivent,

^sont valables pour les cas

El

^et

E2.

THÉORÈME 3. ^- Si

{

^{définie par}

(1)

^est

mélangeante (W),

^{et si}

DS

^a

lieu, alors {n}

^{définie par = est stable}

^(v)

^où

Remarquons

que ^nous commençons ^{avec une} suite

mélangeante,

^mais

nous terminons avec une suite stable

(voir

^{aussi ex. 5 de}

[26] ).

Le corollaire suivant est

particulièrement

intéressant.

COROLLAIRE 4.

- Si (

^{définie par}

(1)

^est

mélangeante (W)

^{et si}

D 5

a

lieu,

^{alors est stable et}

est la loi

N(0, 1).

~ °

Démonstration. ^- Dans le théorème

A,

prenons M’ = R ^et définis- sons g : D ~ R par

g(x)

⁼

x( 1 ).

Le cas

El

^a été considéré dans

[34] [39] [25].

Le cas

X~

⁼

f (2’t)

^n’était pas seulement l’un des

premiers

^du

point

^de

vue

historique [38],

^{mais était} aussi l’un des cas les

plus

difficiles

(voir

^la

discussion de la section 7, ^ex.

(a)

^de

[8] ).

Au lieu de

l’expression (2),

^on s’intéressera d’habitude à

l’expression

où

~ï

^est

^remplacé

^par

.~~.

Nous obtiendrons le résultat désiré en donnant d’abord la version mélan- geante du théorème 17.2 de

[3].

A remarquer que le terme t ne

paraît

pas dans le

dénominateur,

à cause de difficultés du

point

^{de vue de la conver-}

gence faible. L’introduction de t n’est d’ailleurs _pas nécessaire.

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

THÉORÈME 5. définie _par

(1)

^est

mélangeante (W)

^{et si}

D5

^a

lieu, alors (

^{définie par}

Wn(t)

^{= est aussi}

mélangeante (W).

Démonstration. Nous

appliquons

^{le théorème B et la} remarque C à et

Zn - (n/vn)2

^{avec g comme}

multiplication

de fonctions. En utilisant le théorème

3,

^{nous obtenons est stable}

(v’)

^où

Or, (voir [3],

^Th.

19.1),

pour ^{tout cv}

fixé,

^{cette dernière}

expression

^est

égale

^à

W(B). Donc {n}

^est

mélangeante (W).

Maintenant,

^en

procédant

^{comme dans le} Corollaire

4,

^{nous obtenons la} version

mélangeante

^du

déjà

^«

classique »

théorème limite à nombre aléatoire de termes. La

propriété mélangeante

^{des sommes} aléatoires a été démontrée _pour la

première

^{fois dans le cas}

E~

^{1 par Richter}

[29].

COROLLAIRE 6.

- Si (

^{définie par}

⁽¹⁾

^est

mélangeante (W)

^{et si}

D~

^a

lieu,

^{alors est}

mélangeante (D).

Nous remarquons que dans

[25] (cas El),

^le Corollaire 4 est démontré à

partir

^du Corollaire 6.

Or,

^nous

voyons

^ici que du

point

^{de vue de la}

convergence

faible,

l’ordre inverse suivi ici est

plus

naturel. D’ailleurs il est intéressant de _{remarquer que les}

premiers

^{articles au}

sujet

^{des sommes}

aléatoires

([34] [39] ;

^{voir aussi les sections}

2,

^{6 et 7 de}

[8])

traitaient le cas

du Corollaire 4

plutôt

que celui du Corollaire 6.

IV. AUTRES APPLICATIONS

Les Théorèmes 3 et 5 et les Corollaires 4 et 6 sont tout de suite

appli-

cables dans les cas

Ei

^et

E2.

^{Pour les autres}

applications

du Théorème _{1 que}

nous allons

présenter,

^il faudra modifier les

hypothèses

^et démonstrations de ces résultats. Nous ne donnerons

qu’un

aperçu des détails.

E3 : { indépendante

^avec

espérance

^{0 et variance}

THÉORÈME 7. ^- Soit

Yn

l’élément aléatoire de D

qui prend

^{la valeur}

dans l’intervalle

Zn

^{est définie par}

Zn(t) =

et

Wn

^{est définie par la}

composition

^de

Yn

^et

Zn.

^Si

(i)

^{la condition de Linde-}

berg

^est satisfaite

(ii)

^sont de variation

régulière ([11],

^p.

268)

avec

Bn

⁼

nxL(n)

^{où lim}

L(an)/L(a)

^{= 1 si lim}

an/n

^{= a}

positif, (iii) D~

^a

lieu, alors {Wn}

^{est stable}

^(v)

^où

Vol. XII, ^n° 4 - 1976.

396 R. FISCHLER

Démonstration. Par

[3],

page

143, exemple 7, ~

^{tend vers W. La}

même méthode utilisée _pour

E~

^{1 démontrer est}

mélangeante.

Aussi

Zn(t) =

^Le

premier

^{terme tend vers en}

proba-

bilité _par

D~.

^{Le deuxième terme tend vers 1 en}

probabilité.

^{Pour voir}

ceci,

il suffit de considérer une sous-suite

de {

^{telle que lim = v p. s.}

et ensuite

d’appliquer (ii)

^{pour cc~} fixé. Le résultat découle du Théorème 1.

Comme

corollaire,

^{nous obtenons} le résultat suivant démontré d’abord par

Mogyorodi

^dans

[25].

COROLLAIRE 8. ^-

{

^est

^stable,

^et

E4 : Tn

^{= max}

(Xi,

^...,

Xn) ; { X~ ~ indépendante

^et

équirépartie.

Ce cas a été considéré _par Richter

[31].

^{Il découle du Théorème 1 en}

utilisant des résultats au

sujet

^de la convergence faible du processus associé

avec

Tn ;

^voir

[21], [28].

Les

exemples (c)

^et

( f )

^{de la section 7 de}

[8]

découlent aussi des résultats

sur la convergence faible.

Donc,

^{de tous les}

problèmes

^{non résolus de la}

section 7 de

[8],

^{il ne reste} que

l’exemple (b)

^{de la section 7}

(les statistiques-U).

Il reste aussi le cas des sommes

trigonométriques qui

^{était un des} pre- miers

exemples

^{d’une suite de v. a.}

mélangeantes (voir [33]

^{et section 2}

de

[8]).

^Même le chef-d’0153uvre de McLeish

([22],

voir p.

79) qui comprend,

comme cas

spéciaux,

presque ^tous les résultats de la

littérature,

^{ne contient}

aucun résultat sur la convergence faible _pour ce cas. Aucune des autres

méthodes ne semble ^non

plus pouvoir

^{nous aider ici.}

V. RAPPORT AVEC D’AUTRES

RÉSULTATS

Dans

[24], Mogyorodi

^{a affirmé} que

D2, D~

^et

D6

^suffisent pour conclure

que {

^{converge, et dans}

^[8]

^{on a dit que}

les {

^étaient

mélangeantes.

Malheureusement,

^la démonstration donnée dans

[24]

n’est pas valable

(voir [20] ).

^{La même chose est vraie pour la} démonstration de

[8].

Donc sur la droite - le

problème analogue

^{pour C et D} étant résolu dans cet article - la

question

^de la convergence

(et

du caractère

mélangeant)

reste ouverte. Une chose

qui complique

^{la situation est que Richter}

( [30],

Théorème

6, [31],

^Théorème

4)

^{a démontré} que pour

certaines {vn}

^dis-

crètes, D6,

^n’est pas nécessaire si on suppose

D2,

^et par ailleurs

Mogyo-

rodi

[23]

^{a démontré} que dans le cas

d’indépendance D6

^{est nécessaire}

converge pour

tout {vn} ^qui

^satisfait

Dg.

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

Donc sur la

ligne,

^{les meilleurs résultats obtenus}

jusqu’à présent

^{sont :}

THÉORÈME D

(Richter [32]). D2, D~

^et

D6, satisfaites, et {

^{0 - 1}

impliquent

^est

mélangeante.

THÉORÈME E

(Guiasu [20] ). satisfaite,

^et

D2

^a lieu pour

AeB(v), D6

^est

mélangeante

^{avec limite 0} pour A E

B(v) impliquent

converge.

Il _y a des relations entre les

hypothèses

des Théorèmes

1, D,

^{E :}

i)

^{Dans les cas des sommes de} v. a. ou de v. telles que les élé- ments aléatoires

correspondant {

^{satisfont =}

Y~

^ou

Ym/bn,

^la

convergence faible du Théorème 1

implique

la condition « uniformément tendue »

qui

^ensuite

implique D6

^ou

D6 (voir [2]

^et

(8.12)

^de

[3]

^pour

C,

pour D, la

question

^{est un} peu

plus difficile,

mais découle de

(15.6)

^de

[3J ).

ii )

D4 (mélangeante

^dans

D) implique D2 (mélangeante

^dans

R) (voir

^la

démonstration du Corollaire

4).

iii)

^Les conditions du Théorème D

impliquent

celles du Théorème

E,

est 0 - 1, ^{alors elle est}

mélangeante

^{dans le sens fort}

( [36]

[32] [13])

^{et ceci avec}

D6, implique

que le terme

M~

^dans

D6,

^est

mélangeant (voir

le raisonnement du Théorème

(8.1)

^de

[32]

^et du Théorème 4 de

[20] ).

Sreehari

[35]

^{a aussi}

considéré {

^{comme dans}

(1)

^avec des conditions

analogues

à celles du Théorème E. Nous remarquons par

exemple

^{que sa}

condition

iii)

^{est une}

conséquence

^de

l’hypothèse {n} mélangeante

^et

de notre Théorème A.

Les résultats de Sreehari ont été

généralisés

par M.

Csôrgô

^{et S.}

Csôrgô [7]

qui

^{ont démontré que si les}

éléments {

^sont uniformément

tendues,

ceci a aussi lieu pour les éléments ^avec indices aléatoires.

Ces

problèmes

^{ont aussi été} considérés en utilisant des

représentations

du type ^Skorokhod

(appelées

^{aussi «}

principes

d’invariance forte » dans

[4]

et

[17J,

^section

1.10).

Nous mentionnons aussi l’article de Fernandez

[12] qui

^{n’est pas du tout}

dans

l’esprit

^{des résultats ci-dessus et}

qui

^{ne considère} que le cas v constante.

VI. REMERCIEMENTS ET

PRIORITÉ

Nous tenons à remercier MM. les Professeurs

CSÖRGÖ,

^{MCCLEISH et}

RESNICK pour leurs

suggestions,

^{pour avoir trouvé une} erreur, ^et avoir donné

quelques

références.

Vol. XII, ^n° 4 - 1976.

398 R. FISCHLER

Ce n’est que ^tout dernièrement que nous avons

apprécié

^vraiment

l’0153uvre de W. RICHTER.

Il faut donc reconnaître sa

priorité

pour certaines

questions :

(a)

^{Le lemme et}

contre-exemple

^de

[5],

page

108,

^{sont en} effet donnés aux

pages ^{75 et 76} de

[30].

(b) Quoique

^nous ayons mentionné le théorème ⁶ de

[31] en

^{donnant le}

théorème 4 de nous nous rendons compte que dans sa

ligne générale,

la démonstration de

[31]

^est aussi facile _{que celle} de

[6].

RÉFÉRENCES

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[3] ^P. BILLINGSLEY, Convergence of Probability ^Measures. Wiley, ^1968.

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[5] ^{M. CSÖRGÖ and R.} FISCHLER, Departure ^from Independence, ^the strong law, ^standard and random-sum central limit theorems. Acta Math. Acad. Sci. Hung., ^t. 21, 1970, p. 105-114.

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Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

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(Manuscrit reçu le 8 juin 1976).

Vol. XII, ^n° 4 - 1976.