Probabilités conditionnelles

(1)

{

¹ ²

}

: Soit l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

, , , . est appelé univers.

A chaqu

I) Calcul de probabili

e élément tés 1) Déf

de , on associe un nom ini

bre app ion

e t

n

i pi

ω ω ω ω Ω

Ω = Ω

Ω

…

( )

1 2

1

lé probabilité de l'événement , noté défini par:

0 1

1

Soit et deux sous-ensembles de .( et sont deux évén 2) Propr

ements)

* si A et B sont quelconques( leurs iétés

in

i

i i

i n

i

p P

p

p p p p

A B A B

ω ω

=

≤ ≤

= + + + =

Ω

∑

^…

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

tersection est non nulle), :

* Si A et B sont disjoints ( on dit aussi incompatibles):

* est appelé événement certain: 1.

* est lévénement impossible. 0.

*

A B

P A B P A P B P A B

A B

P A B P A P B

P P

∩ ≠ ∅

∪ = + − ∩

∩ = ∅

∪ = +

Ω Ω =

∅ ∅ =

( ) ( )

3 S

) i

E es

qui t le c

probab

omplémentair

ilité:

e de dans , est appelé événement contraire de :

1 et .

Si tous les événements _i de ont la même probabilité, on dit qu'il y a équipro

A A A A

P A P A A A A A

ω Ω

+ = ∩ ≠ ∅ ∪ = Ω

Ω

( )

babilité ou la probabilité est uniforme.

La probabilité d'un événement A de contenant éléments est donnée par:

nombres de cas favorables nombre de cas possib Ex

les 1) Un comité

ples:

d em

k cardA k

P A card n

Ω

= = =

Ω

e dix personnes se propose d'élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un sécrétaire général. Il y a 5 hommes et 5 femmes. Le cumul des mandats est interdit

et tous les choix sont équiprobables.

Calculer la probabilité de l'événement A:"le président et le V-président sont de sexes différents".

2) La fabrication d'une pièce nécéssite le passage par quatre machines A,B,C et D, dans un ordre quelconque.

Quelle est la probabilité de l'événement E:"la pièce passe en B avant C et D"?

3) Une urne contient 10 boules, 4 blanches et 6 noires, les boules sont numérotées.

On tire au hasard simultanément deux boules.

Calculer la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

1 2

Soit un univers associé à une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est une grandeur numérique définie sur , qui p 4) Variables aléatoires

Définit

rend n valeurs réelles i

, , , s:

a

n

ve o

X x x xn

Ω

Ω …

1 2

c les probabilités: ,p p ,…p_n.

(2)

( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( )

1 2

1

2 2 2

1

La loi de probabilité de la variable est donnée par le tableau:

( )

Espérance mathématique de : .

Variance de : .

Ecart typ E

e d x

e :

i n

i i n

n

i i

i n

i i

i

X

X x x x x

p p X x p p p

X E X x p

X V X p x E X E X E X

X σ X V X

=

= =

= ×

= × − = −

=

∑

⋯

Considérons le jeu de dé à deux joueurs A et B.

On lance un dé: si le résultat est pair: A donne 3€ à B.

si le résultat est 1 ou 5 B donne 5€ à A.

emple:

si le résultats est 3, la partie est nulle.

On s'interesse au "gain algébrique" du joueur A. On définit ainsi une variable aléatoire . Déterminer la loi de probabilité de X.

Quel est le gain moyen qu

X

e peut ésperer gagner le joueur A.

( )

( ) ( )

Soit un univers, A et B deux événements de , avec 0.

La probabilité de l'événement A sachant q II) P

ue l' robabilités conditionne

événement B est réalisé lles:

1) D

, noté:

éfiniti

ou , dé

on:

B

P B

P A P A B

Ω Ω ≠

/

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

finit par:

: est appelée probabilité conditionnelle.

Remarque: on définit de la même 2) Propr

manière , si 0. .

Pour tout événement A:

) 0 1

iété

s

B

A A

B

P A B P A P A B

P B P A

P A B

P B P A P B P B A

P A

a P A

= / = ∩

≠ = / = ∩

≤ ≤

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) 1

nombre de cas favorables à

) (dans les cas de probabilité uniforme)

nombre de cas favorables à )

B B

B

B A

b P A P A

A B

c P A

B

d P A B P B P A P A P B

+ =

= ∩

∩ = × = ×

( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a)comme est une partie de B , donc , en divisant par

D

on obtient donc soit

D'o P

émonstrati

ù

on:

: 0 1 0 1.

A B B A B card A B card B card

card A B card B

P A B P B card card

A B

P A

∩ ⊂ ∩ ∩ ≤ Ω

∩ ≤ ∩ ≤

Ω Ω

≤ ∩ ≤ ⇔ ≤ ≤

(3)

( ) ( ) ⁽ _{( )} ⁾ ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

( ) ( )

( )

)

comme l'événement B peut s'écrire sous la forme:

avec les événements et incompatibles 1.

c) si on a une équiprobabi

B B

P A B P A B P A B

P A B

b P A P A

P B P B P B

B B A B A

B A B A B A B A

P A B P A B P B

P A P A

P B P B

∩ ∩ + ∩

+ = ∩ + =

= ∩ ∪ ∩

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∅

∩ + ∩

+ = = =

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lité, alors: .

d)

B

B B

B A

A A

card A B

P A B card card A B

P A

card B

P B card B

card P A B

P A P A B P B P A

P B

P A B P B P A P A P B

P A B

P B P A B P A P B

P A

∩

∩ Ω ∩

= = =

Ω

∩ 

= ⇒ ∩ = × 

⇒ ∩ = × = ×

∩ 

= ⇒ ∩ = × 



1) Une entrprise emploi 500 personnes: 200 femmes dont 50 sont sportives, 300 hommes dont 150 sportifs.

On choisit une personne au hasard.

On note: : l'événement "la personne choisie e Exemp

st u les

n ho

A mme"

: l'événement "la personne choisie est une femme"

: l'événement "la personne choisie est sportive"

: l'événement "la personne choisie est non sportive"

A l'a A S S

( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( ) ( )}

ide d'un tableau, calculer les probabilités suivantes: , , , , , 2) Un voyageur décide de faire le trajet Pars-Brest en plei hiver.

La probabilité qu'il prenne le TGV est 2, celle qu'il prenn 3

A A

P A P A P S P S P S P S

e l'avion est .1 3

A cause du brouillard fréquent sur Brest, un vol sur dix est détourné sur Lorient, et le voyage se termine en retard, par le trajet Lorient-Brest en car.

Le TGV, lui est toujours à l'heure.

On note A: l'événement" le voyageur prend l'avion", T:l'événement" le voyageur prend le train"

et R: l'événement" le voyageur arrive en retard".

a) Quelle est la probabilité que le voyageur arriv

1 2

e en retard?

b) Quelle est la probabilité qu'il ait pris le train sachant qu'il arrive à l'heure?

3) On considère trois urnes. U contient 2 boules blanches et 1 noire,U contient 3 blanches et 1 noire U₃ contient 2 blanches et 2 noires. On choisit une urne au hasard de la quelle on extrait une boule.

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.

(4)

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

a) Formule des probabilités totales:

soit A un événement d'un univers , A son événement contraire, et B un 3) Probabilité totale et a

événement de rbre de probabilités

Démonstratio s

n

.

:

A A

P B P A P B P A P B

Ω Ω

= × + ×

( ) ( )

oit un univers associé à une experience aléatoire, A et B deux événements de et A l'évenement cantraire de A.

A A

B à l'aide de ce tableau, on peut écrire:

B B B A

comme ces d

A B B A B B A B A

A

B A B A

Ω Ω

∩ ∩ = ∩ ∪ ∩

∩ ∩

∩ ∩ ∩ = ∅

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

1 2

eux événements sont incompatibles, on a

or d'une part: donc

d'autre part: donc

d'où: .

Etant donnés des événeme Cas

nts B ,B , , général

A A

P B P B A P B A

P A B

P B P A B P A P B

P A P A B

P B P A B P A P B

P A

P B P A P B P A P B

= ∩ + ∩

= ∩ ∩ = ×

= × + ×

…

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

( ) ( )

2

( )

n

1 2

B formant une partition de ( c'est à dire: ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est égal à ).

Pour tout événement A de , on a:

n n

B B

A A B A B A B

P A P A B A B A B

P A P B P A P B P A

Ω Ω Ω

= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

= ∩ + ∩ ∪ ∪ ∩

= × + × +

…

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

: A,B,C formant une partition de et D un événement quelconque de

Au premier niv

Cas de trois événements

b) Arbre de probabilité e

:

n Bn

A B C

P B P A

P D P A P D P B P D P C P D

A B C

D D A D B D C D D A D B D C

D D A D B D C

+ ×

Ω Ω

= × + × + ×

∩ ∩ ∩ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

∩ ∩ ∩

⋯

au d'un arbre de probabilité, on a les probabilités des événements, au second niveau, des probabilités conditionnelles.

La somme des probabilités marquées sur des branches issues d'un même noeud est égale à 1.

La probabilité d'un événement qui correspond à un chemin est le produit des probabilités

(5)

Soit une probabilité sur un univers , A et B deux événem III) Indépendance en probabilité

1) Définition: Evénements

ents de . On dit que les événements A et B sont indépend

in

ant dépendan

s si:

ts P

P A

Ω Ω

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

2) Variables aléato

.

Si 0, o

ires ind n a:

A et B sont

épendant

indépendants si : . où également si 0 .

Sur un même univers , on défini les variables aléatoires prenat les es:

B A

B P A P B

P A

P A P A P B P B P B

X

∩ = ×

≠

= = ≠

Ω

{ }

{ } ( ) ( )

1 2

m valeurs , , , et prenant les valeurs , , , .

On dit que les variables et sont indépendantes si, pour tout entier de 1, , et tout entier de 1, , , les événements et sont

m k

i j

x x x

Y k y y y

X Y i m

j k X =x Y = y

…

… indépendants.

Soit une expérience comportant un nombre fini d'épreuves et un événement lié à . Si on répète n fois la mê

3) Expériences répétées ind

me expérience E de la même manière et épendant

d es

E S E

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

1 2

ans les mêmes conditions, et si ces expériences , , , sont indépendantes, alors la probabilité de l'événement

est égale au produit

Exem

.

1

l s

.

p e

n n

E E E

S S S P S P S P S P S

P S S S P S P S P S P S P S

∩ ∩ ∩ × × × ×

∩ ∩ ∩ = × × × × =

…

… …

( )

( ( ) )

⁴ ⁴

) On lance un dé, on note S l'événement "obtenir un nombre pair". 1. 2

La probabilité d'obtenir 4 fois un nombre pair au cours de 4 lancers successifs d'un même dé est égal à:

1 . 2 2) On

P S

p P S

=

= =  

 

tire au hasard 1 carte d'un jeu de 32 cartes. on note:

A l'événement "La carte est rouge", B "la carte est un coeur", C "la carte est un roi".

a) A et B sont-ils indépendants? B et C? A et C?

b) On effectue 5 tirages successifs avec remise après chaque tirage.

Quelle est la probabilité de tirer 5 cartes rouges?

3) On lance deux dés et on note: X la somme des résultas obtenus et Y le produit des résul

( ) ( ) ( ) ( )

tats.

Calculer la probabilité des événements: 2 3 , 2 et 3 . Ces deux variables sont-elles indépendantes?

4) On lance deux fois de suite un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées: 1, 2, 3 et

X = ∩ Y = X = Y =

( )

4.

On note dans l'ordre d'apparition les n° des faces obtenus.

a) Calculer la probabilité des événements suivants:

A "Le premier tirage donne 3", B " la somme des n° est au moins égale à 7", . et

A B

∩ sont-ils indépendants?

b) Les événements C et D sont-ils indépendants?

C "Obtenir deux n° identiques", D"Le premier est impair"

Probabilités conditionnelles

{

}

( )

∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

∑

∑

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

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( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

{ }

{ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )

( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( ) ⁽ _{( )} ⁾ ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}