234 – Espaces L

234 – Espaces L

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Le plan :

I) Généralités.

Définition de la semi-norme. Inégalités de Hölder et de Minkowski. Espace L^p, construction de L^p. Structure d’espace vectoriel normé. Théorème de convergence monotone, de

convergence dominée. Structure d’espace de Banach. Cas d’une mesure finie. Densité et inclusion de L¹ ח L^∞ dans L^p (pour certains p !). Théorème de représentation de Riesz.

Densité de Cc.

II) Convolution.

Définition, translation, convolution L¹* L¹, convolution L¹* L^p. Inégalité de Young.

Convolution L¹_* C₀, L² _* L². Approximation de l’identité, exemples. Cas f dans C₀. Cas f dans L^p. Dérivation de L^p* Cc1

. Densité de Cc∞

dans L^p. Riesz-Fréchet-Kolmogorov.

III) Transformée de Fourier.

Définition. Normes 1 et ∞. Convolution et dérivation. Théorème d’inversion. Espace de Schwartz. Densité. Bijection. L¹ ח L², Fourier-Plancherel.

IV) Théorie L².

Produit scalaire, structure hilbertienne. Polynômes orthogonaux, densité. Bases hilbertiennes de L². Exemples. Polynômes de Hermite. Application : vecteurs propres de la transformée de Fourier.

Les développements :

B8 : Vecteurs propres de la transformée de Fourier

La bibliographie :

[Gra]-[Bré]-[Far]-[KoF]-[BMP]-[HiL]