D : Parallélogramme I Le parallélogramme
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède un centre de symétrie Exemple :
O est le point d’intersection des diagonales [AD] et [BC] du parallélogramme ci-contre. Le point O est centre de
symétrie de ce parallélogramme et donc les diagonales se coupent en leur milieu.
ABDC est appelé parallélogramme de centre O.
a) propriétés du parallélogramme.
Propriété 1 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Propriété 2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure.
Propriété 3 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.
b) propriétés réciproques du parallélogramme.
Propriété réciproque 1 : Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Propriété réciproque 2 : Si un quadrilatère a ses angles opposés ont même mesure, alors c’est un parallélogramme.
Propriété réciproque 3 : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
Propriété réciproque 4 : Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
c) Méthode de construction d'un parallélogramme, lorsqu’on connaît déjà les trois points de départ :
Il y a plusieurs méthodes possibles :
- On peut tracer des côtés parallèles (On utilise alors la propriété réciproque 3). C'est une
méthode très facile sur un ordinateur, par exemple sous Géogébra qui sait tracer les parallèles.
- On peut placer le centre de symétrie, en cherchant le milieu d'une diagonale, et ensuite tracer le symétrique du troisième point. (On utilise alors la définition du parallélogramme). Ce n'est pas forcément la méthode la plus précise à la main, car elle nécessite de mesurer à la règle. C'est ce qu'on voit sur cette vidéo.
- La méthode la plus pratique sur une feuille, c'est de tracer des côtés opposés de la même longueur en utilisant le compas. (on utilise alors la propriété réciproque 2). C'est ce qu'on voit sur cette vidéo, ou alors sur la méthode ci-dessous.
On trace les côtés [AB] et [BC] du
quadrilatère ABCD.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses côtés opposés [AB] et [CD] sont de la même longueur deux à deux : soit AB = CD et BC = AD.
À l'aide du compas, on reporte la
longueur AB à partir du point C. On reporte la longueur BC à partir du point A. On place le point D à l'intersection des deux arcs de cercle puis on trace les côtés [AD]
et [CD].
Ainsi, ABCD a ses côtés opposés égaux deux à deux, c'est donc bien un parallélogramme.
II Le losange
Définition : Un losange est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur.
Propriété : Un losange a - 2 axes de symétrie : ses diagonales
- Un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales Propriété : Un losange a ses côtés opposés parallèles, c'est donc un parallélogramme particulier. Il possède donc les propriétés du parallélogramme (diagonales qui se coupent en leur milieu, cotés opposés parallèles, angles opposés de même mesure).
De plus, un losange a ses diagonales perpendiculaires.
Propriété réciproque (pour reconnaître un losange) : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
III Le rectangle
Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Propriété : Un rectangle a - 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés
- Un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales Propriété : Un rectangle a ses côtés opposés parallèles, c'est donc un parallélogramme particulier. Il possède donc les propriétés du parallélogramme (diagonales qui se coupent en leur milieu, cotés opposés parallèles, angles opposés de même mesure)
De plus, un rectangle a ses diagonales de même longueur.
Propriété réciproque (pour reconnaître un rectangle) : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
C
B A
C
B A
C
B A
C
B A
C
B A
D
IV Le carré
Définition : Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Propriété : Un carré a - 4 axes de symétrie : ceux du rectangle et ceux du losange.
- Un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales
Propriété : Un carré a toutes les propriétés du losange et du rectangle
Propriété réciproque (pour reconnaître un carré) : Si un quadrilatère est à la fois un lsoange et un rectangle, alors c’est un carré.
