4 : Parallélogramme I Le parallélogramme
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède un centre de symétrie Exemple :
O est le point d’intersection des diagonales [AD] et [BC] du parallélogramme ci-contre. Le point O est centre de symétrie de ce parallélogramme et donc les diagonales se coupent en leur milieu.
ABDC est appelé parallélogramme de centre O.
a) propriétés du parallélogramme.
Propriété 1 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Propriété 2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure.
Propriété 3 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.
b) propriétés réciproques du parallélogramme.
Propriété réciproque 1 : Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Propriété réciproque 2 : Si un quadrilatère a ses angles opposés ont même mesure, alors c’est un parallélogramme.
Propriété réciproque 3 : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
Propriété réciproque 4 : Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
c) Méthode de construction d'un parallélogramme, lorsqu’on connaît déjà les trois points de départ :
Il y a plusieurs méthodes possibles :
- On peut tracer des côtés parallèles (On utilise alors la propriété réciproque 3). C'est une méthode très facile sur un ordinateur, par exemple sous Géogébra qui sait tracer les parallèles.
- On peut placer le centre de symétrie, en cherchant le milieu d'une diagonale, et ensuite tracer le symétrique du troisième point. (On utilise alors la définition du parallélogramme). Ce n'est pas forcément la méthode la plus précise à la main, car elle nécessite de mesurer à la règle. C'est ce qu'on voit sur cette vidéo, ou alors que la méthode ci-dessous :
On trace les côtés [AB] et [BC] du quadrilatère ABCD.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu qu'on appelle I.
On trace le segment [AC] et on place son milieu I. C'est également le milieu du segment [BD].
On place D tel que I soit le milieu du segment [BD] en comptant les carreaux.
Ainsi ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est donc bien un parallélogramme.
- La méthode la plus pratique sur une feuille, c'est de tracer des côtés opposés de la même longueur en utilisant le compas. (on utilise alors la propriété réciproque 2). C'est ce qu'on voit sur cette vidéo, ou alors sur la méthode ci-dessous.
On trace les côtés [AB] et [BC] du quadrilatère ABCD.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses côtés opposés [AB] et [CD] sont de la même longueur deux à deux : soit AB = CD et BC = AD.
À l'aide du compas, on reporte la
longueur AB à partir du point C. On reporte la longueur BC à partir du point A. On place le point D à l'intersection des deux arcs de cercle puis on trace les côtés [AD]
et [CD].
Ainsi, ABCD a ses côtés opposés égaux deux à deux, c'est donc bien un parallélogramme.
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
B A
D A
B
C
A
B
C I
A
B
C I
D
