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géométrie analytique de l’espace
Dans l’Antiquité, les astronomes utilisaient les premières théories de géométrie analytique développées par Archimède et Apollonius pour repérer les astres à l’aide de coordonnées. Ils pouvaient ainsi établir des relations mathématiques entre ces coordonnées pour décrire les mouvements des corps célestes.
Au XVIIe siècle, après la traduction des ouvrages d’Aristote en latin, Descartes et Fermat, deux mathématiciens français célèbres, continuèrent le développement de la géométrie analytique.
C’est du nom de Descartes que provient l’adjectif cartésien que nous utiliserons souvent dans ce chapitre.
Un nouveau pas dans le développement de la géométrie analytique fut l’extension des théories à l’espace, ce qui permit de ne plus se limiter à des courbes planes. Ainsi, au XVIIIe siècle, Lagrange établit les équations de droites et de plans en trois dimensions, et contribua à l’usage systématique de trois axes de coordonnées.
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2.1 Définitions
2.1.1 Repère et point de l’espace
Un repère orthonormé de l’espace est constitué de trois axes perpendiculaires deux à deux, de même origine et gradués selon la même unité. Pris deux à deux, ces trois axes définissent trois plans orthogonaux deux à deux : les plans 0𝑥𝑦, 𝑂𝑥𝑧 et 𝑂𝑦𝑧.
Repère orthonormé 𝑂𝑥𝑦𝑧 Plan 𝑂𝑥𝑦
Plan 𝑂𝑥𝑧 Plan 𝑂𝑦𝑧
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Pour déterminer les coordonnées du point 𝑃 dans un repère donné :
1. on projette le point 𝑃 sur le plan 𝑂𝑥𝑦, parallèlement à l’axe 𝑂𝑧, on obtient 𝑃′,
2. on projette 𝑃′ sur 𝑂𝑥 parallèlement à 𝑂𝑦, et on obtient l’abscisse du point 𝑃, qui sera notée 𝑥𝑃, 3. on projette 𝑃′ sur 𝑂𝑦 parallèlement à 𝑂𝑥, et on
obtient l’ordonnée du point 𝑃, qui sera notée 𝑦𝑃, 4. on trace une parallèle à la droite 𝑃′𝑂 qui passe par 𝑃, on obtient la cote du point 𝑃, qui sera notée 𝑧𝑃
𝑥𝑃, 𝑦𝑃 et 𝑧𝑃 sont les coordonnées du point 𝑃. Elles sont notées sous la forme d’un triplet : (𝑥𝑃, 𝑦𝑃, 𝑧𝑃)
Pour dessiner un point 𝐴, ayant pour coordonnées (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) dans un repère : 1. on place le point 𝐴′(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 0) dans le plan 𝑂𝑥𝑦,
2. on place le point 𝐴′′ de cote 𝑧𝐴 sur l’axe 𝑂𝑧,
3. on obtient le point 𝐴 en construisant le parallélogramme 𝑂𝐴′𝐴𝐴′′
On remarque que si le point 𝐴 n’a aucune coordonnée nulle, alors il constitue, avec l’origine 𝑂 deux sommets opposés d’un parallélépipède.
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Exercice 1
(P2 : Appliquer) Détermine les coordonnées des points 𝐴, 𝐵, 𝐶 dans le repère ci-dessous. Aide -toi de leurs projections respectives sur le plan 𝑂𝑥𝑦: les points 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′.
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Exercice 2
(P2 : Appliquer) Dessine un repère et représentes-y les points suivants : 𝐴(2,3,1), 𝐵(1,4, −3), 𝐶(−2, −2, −3)
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2.1.2 Vecteurs de l’espace 2.1.2.1 Définitions
Tout comme un vecteur du plan, un vecteur de l’espace peut être caractérisé de deux manières différentes :
Par 2 points : l’origine 𝐴 et l’extrémité 𝐵
Par une direction, un sens,
une longueur ou norme (notée ‖𝑢⃗ ‖)
La norme du vecteur 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ est la longueur du segment [𝐴𝐵]. On a donc :
‖𝑢⃗ ‖ = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = |𝐴𝐵|
Si les points 𝐴 et 𝐵 sont confondus le vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ est le vecteur nul et est noté 0⃗ . Deux vecteurs non-nuls sont égaux s’ils ont :
1. la même direction, 2. le même sens, 3. la même norme.
On en déduit qu’un vecteur n’est pas lié à une origine fixe, mais qu’il définit un déplacement dans l’espace. On peut dessiner un vecteur à un endroit donné, on dira qu’on dessine un représentant du vecteur. Chaque vecteur peut être dessiné en partant de n’importe quel point du plan et admet donc une infinité de représentants.
Sur le schéma ci-contre on a dessiné 4 représentants du vecteur 𝑢⃗ , on dira que ces 4 vecteurs sont égaux et on notera :
𝑢⃗ = 𝐶𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐷′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐸′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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2.1.2.2 Composantes d’un vecteur Les composantes d’un vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
expriment la valeur du déplacement à effectuer pour aller du point 𝐴 au point 𝐵. Selon l’axe 𝑂𝑥, ce déplacement vaut la différence entre les abscisses des points extrémité et origine. Similairement, selon l’axe 𝑂𝑦, ce déplacement vaut la différence entre les ordonnées, et selon 𝑂𝑧, la différence entre les cotes.
Si le point 𝐴 a pour coordonnées (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) et le point 𝐵 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵), les composantes du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ sont (𝑥𝐵− 𝑥𝐴, 𝑦𝐵− 𝑦𝐴, 𝑧𝐵− 𝑧𝐴)
Tous les représentants d’un vecteur ont les même composantes puisqu’un vecteur n’est défini que par un déplacement et pas par des points fixes.
2.1.2.3 Somme de vecteurs
Soient les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. La somme des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ est définie comme suit par la relation de Chasles :
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
2.1.2.4 Produit d’un vecteur par un réel Le produit d’un vecteur 𝑢⃗ par un réel 𝑟 non- nul est un vecteur :
1. de même direction que 𝑢⃗
2. de même sens que 𝑢⃗ si 𝑟 est positif ou de sens opposé à 𝑢⃗ si 𝑟 est négatif 3. dont la norme est |𝑟| fois plus grande
que celle du vecteur 𝑢⃗ , c’est-à-dire de norme égale à |𝑟|. ‖𝑢⃗ ‖. L’utilisation de la valeur absolue traduit qu’une norme doit être positive.
Le produit d’un vecteur par 0 est le vecteur nul.
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Exercice 3
(P2 : Appliquer) Avec le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, a. Complète les égalités suivantes :
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
b. Place les points 𝑀, 𝑁, 𝑃 définis par :
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice 4
(P2 : Appliquer) Avec les points 𝐴(1,2, −1), 𝐵(2,1,0), 𝐶(3,2, −7) et 𝐷(1,1,1) et les vecteurs 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
et 𝑣 = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ :
a. Calcule les composantes des vecteurs suivants : 𝑢⃗
𝑣
𝑢⃗ + 𝑣
2𝑢⃗ − 3𝑣
−1 2𝑢⃗ +2
3𝑣
b. Calcule les coordonnées du point 𝑀 tel que 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice 5
(P3 : Transférer) Dans un repère, on donne les points 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵). A l’aide d’une relation vectorielle, calcule les coordonnées du point 𝑀, milieu du segment [𝐴𝐵].
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2.1.3 Position relative de deux vecteurs
On peut déduire du point précédent que deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont parallèles s’il existe un réel 𝑘 non-nul tel que
𝑣 = 𝑘. 𝑢⃗
En outre, avec 𝑢⃗ (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢) et 𝑣 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣, 𝑧𝑣) deux vecteurs dans un repère orthonormé, 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonaux si et seulement si
𝑥𝑢∙ 𝑥𝑣+ 𝑦𝑢∙ 𝑦𝑣+ 𝑧𝑢∙ 𝑧𝑣= 0 Exercice 6 (P2 : Appliquer)
Les vecteurs suivants sont-ils parallèles, orthogonaux ou de position relative quelconque ? 𝑢⃗ (1,2,5) et 𝑣 (−2, −4, −10)
𝑢⃗ (1,2,6) et 𝑣 (−2,4, −1)
𝑢⃗ (1,2,6) et 𝑣 (−2, −4,1)
𝑢⃗ (1,2,6) et 𝑣 (−1, −2,3)
𝑢⃗ (4, −2,4) et 𝑣 (−2,1, −2)
𝑢⃗ (4, −2,4) et 𝑣 (−2,2,3)
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2.1.4 Position relative de points
De même, on peut en déduire que trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts sont alignés si et seulement s’il existe un réel 𝑘 non-nul tel que
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
De plus, le point 𝐷 est dans le même plan que trois points 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés si et seulement s’il existe deux réels 𝑘 et 𝑙 tels que
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑙. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice 7 (P2 : Appliquer)
a. Les points 𝐴(1,2,3), 𝐵(2, −1,4) et 𝐶(3, −4,5) sont-ils alignés ?
b. Vérifie que les 3 points 𝐴(1, −2,0), 𝐵(0,1,3) et 𝐶(−1,2,1) ne sont pas alignés.
c. Avec 𝐴(1, −2,0), 𝐵(0,1,3) et 𝐶(−1,2,1), le point 𝐷(2, −3,2) appartient-il au plan 𝐴𝐵𝐶 ?
d. Quelle doit être la valeur du réel 𝑚 pour que le point 𝐷(2, −3, 𝑚) appartienne au plan 𝐴𝐵𝐶 si les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 avaient été alignés ?
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2.1.5 Distance entre deux points
En réutilisant la figure introduite pour le calcul des composantes du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , on peut faire apparaître deux triangles rectangles qui, à l’aide de la formule de Pythagore, nous permettront de calculer la distance entre les points 𝐴 et 𝐵. La norme du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ est égale à cette distance.
Le premier triangle rectangle que nous utiliserons est le triangle 𝐴𝐷𝐶, représenté ci-contre en vue du dessus. La base du triangle rectangle 𝐴𝐷𝐶 a une longueur de 𝑦𝐵− 𝑦𝐴, et a une hauteur de 𝑥𝐵− 𝑥𝐴. Par le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse 𝐴𝐶 vaut la somme des carrés des deux autres côtés, ainsi :
|𝐴𝐶|2= |𝐴𝐷|2+ |𝐷𝐶|2
C’est-à-dire :
|𝐴𝐶|2 = (𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2 Et donc :
|𝐴𝐶| = √(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2
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En revenant à la vue de départ, on fait apparaître un second triangle rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶, par le théorème de Pythagore, on a |𝐴𝐵|2= |𝐴𝐶|2+ |𝐵𝐶|2
Avec la longueur |𝐴𝐶| calculée ci-dessus, on a :
|𝐴𝐵|2 = |𝐴𝐶|2+ |𝐵𝐶|2= √(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)22+ (𝑧𝐵− 𝑧𝐴)2
= (𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2+ (𝑧𝐵− 𝑧𝐴)2 Et donc :
|𝐴𝐵| = √(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2+ (𝑧𝐵− 𝑧𝐴)2 Ainsi, la distance entre les points 𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) et 𝐵 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) vaut :
√(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2+ (𝑧𝐵− 𝑧𝐴)2 Cette distance est égale à la norme du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et on a :
‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2+ (𝑧𝐵− 𝑧𝐴)2 Exercice 8 (P3 : Transférer)
Calcule la distance entre deux sommets opposés des solides représentés ci-contre
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2.2 Equations paramétriques et vectorielles
2.2.1 Equation vectorielle d’une droite 2.2.1.1 Introduction
Exercice 9 (P3 : Transférer)
Soit le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, avec le paramètre réel 𝛼, indique :
1. A quelle droite appartient le point 𝑋 si :
a. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
c. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼 ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
d. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼 ∙ 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. Le point 𝑃 est situé sur la diagonale[𝐴𝐺]. Que vaut le vecteur 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ par rapport au vecteur 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ si 𝑃 est :
a. le milieu de la diagonale
b. Situé deux fois plus loin de 𝐴 que de 𝐺
3. Le point 𝑃 est situé sur la droite 𝐴𝐺. Que vaut le vecteur 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ par rapport au vecteur 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ si 𝑃 est situé trois fois plus loin de 𝐺 que de 𝐴 lorsque :
a. 𝑃 est entre 𝐴 et 𝐺,
b. 𝐴 est entre 𝐺 et 𝑃,
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2.2.1.2 Synthèse
Toute droite 𝑑 de l’espace peut s’exprimer au moyen d’un vecteur directeur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . Si un point 𝑋 appartient à la droite, alors le vecteur 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ doit être multiple du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
Avec 𝛼 un réel appelé paramètre, un point 𝑋 appartient à la droite si la relation suivante est vérifiée.
𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Cette relation est appelée équation vectorielle de la droite. Pour une valeur donnée de 𝛼, on trouve un point donné de la droite.
2.2.2 Equations paramétriques d’une droite 2.2.2.1 Introduction
Exercice 10 (P3 : Transférer)
Soit le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, avec le paramètre réel 𝛼, traduis l’équation vectorielle de la droite 𝐵𝐻 : 𝐵𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en termes de composantes de vecteurs, et déduis-en l’expression des coordonnées de tout point 𝑋 de la droite :
relation vectorielle
𝐵𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
traduction en composantes :
{
…
…
… coordonnées de 𝑋 :
{ 𝑥 = ⋯ 𝑦 = ⋯ 𝑧 = ⋯
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2.2.2.2 Synthèse
Pour passer de l’équation vectorielle d’une droite à ses équations paramétriques, il faut écrire l’équation vectorielle de la droite 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ sous forme de composantes.
Le point 𝐴 a pour coordonnées (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴), ce qui se note 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴).
De façon similaire, on a B (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵).
Le point 𝑋 est variable, il peut se trouver n’importe où sur la droite 𝐴𝐵. Les coordonnées du point 𝑋 sont donc des variables, notées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, ce qui s’écrit 𝑋 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Les composantes des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ sont (voir 2.1.2.2) : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵− 𝑥𝐴, 𝑦𝐵− 𝑦𝐴, 𝑧𝐵− 𝑧𝐴)
𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴, 𝑧 − 𝑧𝐴) En développant l’équation vectorielle 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑣𝑜𝑖𝑟 2.2.1),
{
𝑥 − 𝑥𝐴= 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) 𝑦 − 𝑦𝐴= 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) 𝑧 − 𝑧𝐴= 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴)
Finalement, on obtient les équations paramétriques de la droite : {
𝑥 = 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 𝑦 = 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 𝑧 = 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴) + 𝑧𝐴
Note :
Si la droite n’est pas définie par deux points, mais par un point C ayant pour coordonnées (𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶) et un vecteur directeur 𝑢⃗ de composantes (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢), ), les équations paramétriques de la droite s’obtiennent en traduisant l’équation vectorielle de la droite : 𝐶𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝑢⃗ :
{
𝑥 − 𝑥𝐶 = 𝛼𝑥𝑢 𝑦 − 𝑦𝐶 = 𝛼𝑦𝑢 𝑧 − 𝑧𝐶 = 𝛼𝑧𝑢 En isolant les coordonnées, on obtient :
{
𝑥 = 𝛼𝑥𝑢+ 𝑥𝐶 𝑦 = 𝛼𝑦𝑢+ 𝑦𝐶 𝑧 = 𝛼𝑧𝑢+ 𝑧𝐶
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Exercice 11 (P2 : Appliquer)
On considère la droite 𝑑 passant par les deux points 𝐴(1,2,3) et 𝐵(−2,4,1).
a. Donne l’équation vectorielle de 𝑑,
b. donne les équations paramétriques de 𝑑,
c. donne l’expression générale de tout point de la droite 𝑑. Autrement dit, exprime à l’aide d’un paramètre réel 𝑘les coordonnées de tout point 𝑋 de la droite 𝑑,
d. donne deux autres points de la droite 𝑑,
e. indique si le point (1,1,1) appartient à la droite 𝑑.
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Exercice 12 (P2 : Appliquer)
Soit la droite 𝑑 de vecteur directeur 𝑢⃗ (3,5,4) passant par le point 𝐴(4,6,2).
a. Donne les équations paramétriques de 𝑑,
b. indique si le point 𝐵(7,11, −2)est un point de 𝑑.
Exercice 13 (P2 : Appliquer)
Détermine les équations paramétriques
a. des axes 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 d’un repère 𝑂𝑥𝑦𝑧 de l'espace,
b. de la droite 𝐴𝐵 avec 𝐴(1,3,5) et 𝐵(1,2,4),
c. de la droite 𝑑 passant par le point 𝐶(1,2,3) de vecteur directeur 𝑢⃗ (2,4, −1).
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2.2.3 Equation vectorielle d’un plan 2.2.3.1 Introduction
Exercice 14 (P3 : Transférer)
Soit le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, avec les paramètres réels 𝛼 et 𝛽, indique :
1. A quel plan du parallélépipède appartient le point 𝑋 si :
a. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
b. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
c. 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
2. Le point 𝑃 est situé dans le plan 𝐴𝐸𝐶. Que vaut le vecteur 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ par rapport au vecteur 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ si 𝑃 est :
a. le centre de gravité du rectangle 𝐴𝐶𝐺𝐸,
b. situé aux deux tiers de [𝐴𝐺] à partir de 𝐴,
c. situé au milieu de [𝐺𝐶].
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2.2.3.2 Synthèse
Tout plan 𝜋 de l’espace peut s’exprimer au moyen de 2 vecteurs directeurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (avec 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés). Si un point 𝑋 appartient au plan, alors le vecteur 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ doit être une combinaison linéaire des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
Autrement dit, avec 𝛼 et 𝛽 des réels appelés paramètres, un point 𝑋 appartient au plan si la relation suivante est vérifiée.
𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Cette relation est appelée équation vectorielle du plan. Pour une valeur donnée de 𝛼 et une valeur donnée de 𝛽 on trouve un point donné du plan.
2.2.4 Equations paramétriques d’un plan 2.2.4.1 Introduction
Exercice 15 (P3 : Transférer)
Soit le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, avec le paramètre réel 𝛼, traduis l’équation vectorielle du plan 𝐵𝐶𝐸 : 𝐵𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
en termes de composantes de vecteurs, et déduis-en l’expression des coordonnées de tout point 𝑋 du plan :
relation vectorielle :
𝐵𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
traduction en composantes :
{
…
…
…
coordonnées de 𝑋 :
{ 𝑥 = ⋯ 𝑦 = ⋯ 𝑧 = ⋯
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2.2.4.2 Synthèse
Pour passer de l’équation vectorielle d’un plan à ses équations paramétriques, il faut écrire l’équation vectorielle du plan 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sous forme de composantes.
On a 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴), 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) et 𝐶(𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶). Le point 𝑋 est variable, il peut se trouver n’importe où sur le plan. Les coordonnées du point 𝑋 sont donc des variables, notées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, ce qui s’écrit 𝑋 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Similairement à ce qui a été fait au point 2.2.2, les composantes des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵− 𝑥𝐴, 𝑦𝐵− 𝑦𝐴, 𝑧𝐵− 𝑧𝐴)
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐶 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐶− 𝑦𝐴, 𝑧𝐶− 𝑧𝐴) 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴, 𝑧 − 𝑧𝐴)
En développant l’équation vectorielle du plan 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , on obtient :
{
𝑥 − 𝑥𝐴= 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) + 𝛽(𝑥𝐶− 𝑥𝐴) 𝑦 − 𝑦𝐴= 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑦𝐶− 𝑦𝐴) 𝑧 − 𝑧𝐴= 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴) + 𝛽(𝑧𝐶− 𝑧𝐴) Finalement, on obtient les équations paramétriques du plan :
{
𝑥 = 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) + 𝛽(𝑥𝐶− 𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 𝑦 = 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑦𝐶− 𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 𝑧 = 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴) + 𝛽(𝑧𝐶− 𝑧𝐴) + 𝑧𝐴 Note :
Si le plan n’est pas défini par trois points mais par un point C ayant pour coordonnées (𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶) et deux vecteurs directeurs 𝑢⃗ (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢) et 𝑣 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣, 𝑧𝑣), les équations paramétriques du plan s’obtiennent en traduisant l’équation vectorielle du plan : 𝐶𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝑢⃗ + 𝛽 ∙ 𝑣
{
𝑥 − 𝑥𝐶 = 𝛼𝑥𝑢+ 𝛽𝑥𝑣 𝑦 − 𝑦𝐶 = 𝛼𝑦𝑢+ 𝛽𝑦𝑣 𝑧 − 𝑧𝐶 = 𝛼𝑧𝑢+ 𝛽𝑧𝑣
En isolant les coordonnées, on obtient :
{
𝑥 = 𝛼𝑥𝑢+ 𝛽𝑥𝑣+ 𝑥𝐶 𝑦 = 𝛼𝑦𝑢+ 𝛽𝑦𝑣+ 𝑦𝐶 𝑧 = 𝛼𝑧𝑢+ 𝛽𝑧𝑣+ 𝑧𝐶
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Exercice 16 (P2 : Appliquer)
Soit le plan 𝜋 passant par les trois points non alignés 𝐴(2,0,1), 𝐵(1,2, −1) et 𝐶(1,1,0).
a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,
b. donne les équations paramétriques de 𝜋,
c. donne 2 autres points du plan,
d. le point (−2,5, −4) appartient-il au plan 𝜋 ?
Exercice 17 (P2 : Appliquer)
Dans un repère de l’espace, on donne les points 𝐴(−2,0,5), 𝐵(−1,2,3) et 𝐶(0, −1,6).
a. Donne les équations paramétriques du plan 𝐴𝐵𝐶,
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b. donne l’expression générale de tout point de ce plan. Autrement dit, exprime à l’aide de deux paramètres 𝑘 et 𝑙, les coordonnées de tout point 𝑋 du plan 𝐴𝐵𝐶,
c. donne deux autres points du plan,
d. indique si le point (6, −5,2) se trouve sur le plan.
Exercice 18 (P3 : Transférer)
Soit le plan 𝜋 comprenant le point 𝐴(2,1, −1) et de vecteurs directeurs 𝑢⃗ (−1,2, −3) et 𝑣 (2, −3, −1).
a. détermine dans ce plan un point d’ordonnée 3 et de cote 2,
b. indique si le point (3,4,5) se trouve dans ce plan.
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2.3 Equations cartésiennes
2.3.1 Introduction
Exercice 19 (P3 : Transférer)
Voici des droites et des plans de l’espace dans un repère orthonormé :
1. plan 𝑂𝑥𝑦 2. plan parallèle au plan 𝑂𝑥𝑦
3. droite confondue avec l’axe 𝑂𝑦 4. droite parallèle à l’axe 𝑂𝑧, dans le plan 𝑂𝑦𝑧
5. plan comprenant une face externe d’un cube
6. plan comprenant un rectangle intérieur à un cube
7. droite 𝑎 8. droite 𝑏
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a. Donne les coordonnées de trois points de chaque plan ou droite représenté :
1. plan 𝑂𝑥𝑦 2. plan parallèle au plan 𝑂𝑥𝑦
3. droite confondue avec l’axe 𝑂𝑦 4. droite parallèle à l’axe 𝑂𝑧, dans le plan 𝑂𝑦𝑧
5. plan comprenant une face externe
d’un cube 6. plan comprenant un rectangle
intérieur à un cube
7. droite 𝑎 8. droite 𝑏
b. Retrouve une équation ou un système d’équations ci-dessous qui permet de définir chaque plan ou droite représenté :
𝑧 = 2 𝑥 = 1
{𝑥 = 0
𝑦 = 1 𝑧 = 0
{𝑥 + 𝑦 = 1
𝑧 = 1 {𝑥 = 0
𝑧 = 0
{𝑥 = 1
𝑦 = 1 𝑦 = 𝑥
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Exercice 20 (P3 : Transférer)
Quels sont les ensembles de points de l’espace qui vérifient les équations suivantes, aide-toi du repère ci-dessus pour les visualiser.
𝑥 = 0 𝑥 = 𝑦 = 0
{𝑥 = 0
𝑦 = 0 𝑧 = −1
{𝑥 = 0
𝑧 = 2 𝑥 + 𝑦 = 1
𝑦 = 0 {𝑥 = 2
𝑧 = 3
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2.3.2 Equation cartésienne d’un plan
Tout plan 𝜋 de l’espace a une équation de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, avec au moins 𝑎, 𝑏, 𝑐 ou 𝑑 non-nul, on écrira :
𝜋 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
On peut remarquer que les équations des plans identifiés dans les exercices du point 2.3.1 ont la forme générale définie ci-dessus.
2.3.3 Equation cartésienne d’une droite
Toute droite 𝑑 de l’espace peut être décrite comme l’intersection de deux plans 𝜋1 et 𝜋2. L’équation cartésienne d’une droite traduit cette intersection à l’aide d’un système d’équations. Avec les plans 𝜋1≡ 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1= 0 et 𝜋2≡ 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2= 0, l’équation cartésienne de la droite située à l’intersection des deux plans s’écrit sous la forme :
𝑑 ≡ {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1= 0 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2= 0
Les équations des droites des exercices du point 2.3.1 ont la forme générale définie ci-dessus : {𝑥 = 0
𝑦 = 1 {𝑥 = 0
𝑧 = 0
{𝑥 + 𝑦 = 1
𝑧 = 1 {𝑥 = 1
𝑦 = 1
𝜋1
𝜋2 𝜋
Page 27
2.3.4 Equation cartésienne à partir des équations paramétriques 2.3.4.1 Equation cartésienne d’une droite
Pour obtenir les équations cartésiennes d’une droite à partir de ses équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre 𝛼 pour obtenir deux équations du premier degré en x, y et z.
Les équations qui ne contiennent plus de paramètre sont les équations cartésiennes.
A partir des équations paramétriques de la droite : {
𝑥 − 𝑥𝐴= 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) 𝑦 − 𝑦𝐴= 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) 𝑧 − 𝑧𝐴= 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴)
On isole 𝛼 :
{ 𝑥 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵− 𝑥𝐴
= 𝛼 𝑦 − 𝑦𝐴 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
= 𝛼 𝑧 − 𝑧𝐴
𝑧𝐵− 𝑧𝐴= 𝛼
En égalant les équations 2 à 2, on élimine le paramètre 𝛼, et on fait apparaître les équations cartésiennes de la droite :
{ 𝑥 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵− 𝑥𝐴= 𝑦 − 𝑦𝐴 𝑦𝐵− 𝑦𝐴 𝑦 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵− 𝑦𝐴
= 𝑧 − 𝑧𝐴 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
On confirmera ci-dessous que ces 2 équations ont la forme générale de l’équation cartésienne d’un plan (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0). On peut noter que l’équation cartésienne traduit qu’une droite est l’intersection de deux plans (voir 2.3.3). A partir des équations ci-dessus, on peut encore écrire :
{ ( 1
𝑥𝐵− 𝑥𝐴
) 𝑥 − ( 1 𝑥𝐵− 𝑥𝐴
) 𝑥𝐴= ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦 − ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦𝐴
( 1
𝑦𝐵− 𝑦𝐴) 𝑦 − ( 1
𝑦𝐵− 𝑦𝐴) 𝑦𝐴= ( 1
𝑧𝐵− 𝑧𝐴) 𝑧 − ( 1 𝑧𝐵− 𝑧𝐴) 𝑧𝐴
C’est-à-dire :
{ ( 1
𝑥𝐵− 𝑥𝐴
) 𝑥 − ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦 + (( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦𝐴− ( 1 𝑥𝐵− 𝑥𝐴
) 𝑥𝐴) = 0
( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦 − ( 1 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
) 𝑧 + (( 1 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
) 𝑧𝐴− ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦𝐴) = 0
Et finalement, on retrouve bien deux équations de plan :
{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1= 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎1= ( 1 𝑥𝐵− 𝑥𝐴
) , 𝑏1= − ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) , 𝑐1= 0 𝑒𝑡 𝑑1= (( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦𝐴− ( 1 𝑥𝐵− 𝑥𝐴
) 𝑥𝐴)
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2= 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎2= 0, 𝑏2= ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) , 𝑐2= − ( 1 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
) 𝑒𝑡 𝑑2= (( 1 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
) 𝑧𝐴− ( 1 𝑦𝐵− 𝑦𝐴
) 𝑦𝐴)
La première équation ne fait pas intervenir la variable 𝑧, on a donc 𝑐 = 0. La seconde ne fait pas intervenir la variable 𝑥, c’est-à-dire que 𝑎 = 0.
Page 28
2.3.4.2 Equation cartésienne d’un plan
Pour obtenir les équations cartésiennes d’un plan à partir de ses équations paramétriques,
{
𝑥 − 𝑥𝐴= 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) + 𝛽(𝑥𝐶− 𝑥𝐴) 𝑦 − 𝑦𝐴= 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑦𝐶− 𝑦𝐴) 𝑧 − 𝑧𝐴= 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴) + 𝛽(𝑧𝐶− 𝑧𝐴)
𝛼, 𝛽 ∈ ℝ𝑣
il faut éliminer les paramètres 𝛼 et 𝛽 pour obtenir une équation du premier degré en 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
L’équation obtenue, qui ne contient plus de paramètre, est l’équation cartésienne et est de la forme générale d’une équation de plan (voir 2.3.3) :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 avec 𝑎, 𝑏, et/ou 𝑐 ≠ 0
Nous verrons comment procéder pour éliminer les paramètres dans les exercices.
Exercice 21 (P2 : Appliquer)
Détermine l’équation cartésienne du plan 𝜋 à partir de ses équations paramétriques.
𝜋 ≡ {
𝑥 = 2𝛼 + 3𝛽 − 1 𝑦 = 5𝛼 − 𝛽 + 2
𝑧 = 𝛼 + 𝛽 + 4
𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
Exercice 22 (P2 : Appliquer)
Détermine l’équation cartésienne de la droite 𝑑 à partir de ses équations paramétriques.
𝑑 ≡ {
𝑥 = 3𝑘 + 2 𝑦 = 𝑘 − 5 𝑧 = −𝑘 + 1
𝑘 ∈ ℝ
Page 29
Exercice 23 (P2 : Appliquer)
Détermine les équations cartésiennes :
a. des axes 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 d’un repère 𝑂𝑥𝑦𝑧 de l'espace,
b. de la droite 𝐴𝐵 avec 𝐴(1,3,5) et 𝐵(1,2,4),
c. de la droite 𝑑 passant par le point 𝐶(1,2,3) de vecteur directeur 𝑢⃗ (2,4, −1).
Page 30
Exercice 24 (P2 : Appliquer)
Dans un repère de l’espace, on donne les points 𝐴(−2,0,5), 𝐵(−1,2,3) et 𝐶(0, −1,6). Donne l’équation cartésienne du plan 𝐴𝐵𝐶.
Exercice 25 (P2 : Appliquer)
Soit le plan 𝜋 comprenant le point 𝐴(2,1, −1) et de vecteurs directeurs 𝑢⃗ (−1,2, −3) et 𝑣 (2, −3, −1).
a. détermine l’équation cartésienne du plan 𝜋,
b. détermine dans ce plan un point d’ordonnée 3 et de cote 2,
c. indique si le point (3,4,5) se trouve dans ce plan.
Page 31
2.3.5 Equations paramétriques à partir de l’équation cartésienne 2.3.5.1 Equations paramétriques d’une droite
Pour déterminer les équations paramétriques à partir des équations cartésiennes, on attribue à une des variables 𝑥, 𝑦, ou 𝑧 le statut de paramètre. Ainsi, à partir des équations cartésiennes :
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1= 0 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0 Choisissons de substituer la variable 𝑥 par le paramètre 𝛼, on a :
{
𝑥 = 𝛼
𝑎1𝛼 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1= 0 𝑎2𝛼 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2= 0
Il convient ensuite d’isoler 𝑦 et 𝑧 dans les deux dernières équations pour se ramener à la forme générale des équations paramétriques d’une droite (2.2.2). Nous verrons comment procéder dans les exercices.
Exercice 26 (P2 : Appliquer)
Détermine les équations paramétriques de la droite 𝑑 à partir de ses équations cartésiennes.
𝑑 ≡ {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
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2.3.5.2 Equations paramétriques d’un plan
Pour déterminer les équations paramétriques à partir de l’équation cartésienne d’un plan, on attribue à deux des variables 𝑥, 𝑦, ou 𝑧 le statut de paramètre. Ainsi, à partir des équations cartésiennes :
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1= 0 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0
Choisissons de substituer la variable 𝑥 par le paramètre 𝛼, et la variable 𝑦 par le paramètre 𝛽 :
{
𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 𝑧 = −𝑎2
𝑐2𝛼 −𝑏2 𝑐2𝛽 −𝑑2
𝑐2
On se ramène ainsi à la forme générale des équations paramétriques d’un plan (2.2.4).
Exercice 27 (P2 : Appliquer)
Détermine les équations paramétriques du plan 𝜋 à partir de ses équations cartésiennes.
𝜋 ≡ 2𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0
Page 33
2.4 Position relative de plans et de droites
2.4.1 Droites parallèles
2.4.1.1 A partir des équations paramétriques
Deux droites sont parallèles si elles ont un même vecteur directeur ou des vecteurs directeurs multiples
Pour déterminer si deux droites sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître le vecteur directeur (dont les composantes multiplient le paramètre), par exemple :
Soient la droite 𝑑 ≡ {
𝑥 = (𝟑)𝛼 + 2 𝑦 = (𝟓)𝛼 − 1 𝑧 = (𝟏)𝛼 + 3
et la droite 𝑑′ ≡ {
𝑥 = (𝟔)𝛼 − 1 𝑦 = (𝟏𝟎)𝛼 − 2
𝑧 = (𝟐)𝛼 + 5
avec la définition de l’équation paramétrique d’une droite définie par un point C(𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶) et le vecteur 𝑢⃗ : voir 2.2.2.
{
𝑥 − 𝑥𝐶 = 𝛼𝒙𝒖 𝑦 − 𝑦𝐶 = 𝛼𝒚𝒖 𝑧 − 𝑧𝐶 = 𝛼𝒛𝒖
Avec la droite d de vecteur directeur 𝑢⃗ et la droite 𝑑′de vecteur directeur 𝑢′⃗⃗⃗
𝑥𝑢= 3 𝑦𝑢= 5 𝑧𝑢= 1
=> 𝑢⃗ (3, 5, 1)
𝑥𝑢′ = 6 𝑦𝑢′ = 10 𝑧𝑢′ = 2
=> 𝑢′⃗⃗⃗ (6, 10, 2)
𝑢⃗ = 2𝑢′⃗⃗⃗ , 𝑙es vecteurs directeurs des droites 𝑑 et 𝑑′ sont multiples, ces droites sont parallèles.
2.4.1.2 A partir des équations cartésiennes
Dans l’espace muni d’un repère, les droites 𝑑 et 𝑑′
sont parallèles si et seulement si les coefficients 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒂’, 𝒃’ et 𝒄’ sont identiques pour les deux droites, ou si les coefficients 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒂’, 𝒃’ et 𝒄’ sont multiples, c’est-à-dire :
𝑑1 ≡ { 𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄𝑧 + 𝑑 = 0 𝒂′𝑥 + 𝒃′𝑦 + 𝒄′𝑧 + 𝑑′= 0 𝑒𝑡 𝑑2≡ { 𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄𝑧 + 𝐷 = 0
𝒂′𝑥 + 𝒃′𝑦 + 𝒄′𝑧 + 𝐷′ = 0 ou :
𝑑1 ≡ { 𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄𝑧 + 𝑑 = 0 𝒂′𝑥 + 𝒃′𝑦 + 𝒄′𝑧 + 𝑑′= 0 𝑒𝑡 𝑑2 ≡ {𝒌. 𝒂𝑥 + 𝒌. 𝒃𝑦 + 𝒌. 𝒄𝑧 + 𝐷 = 0
𝒍. 𝒂′𝑥 + 𝒍. 𝒃′𝑦 + 𝒍. 𝒄′𝑧 + 𝐷′ = 0 avec 𝑘, 𝑙 ∈ ℝ
On remarquera plus loin (voir 2.4.3.2) qu’à ces droites parallèles correspondent les intersections de plans parallèles deux à deux (voir schéma).
Page 34
2.4.2 Droites orthogonales
Deux droites 𝑑1 et 𝑑2 sont orthogonales si le vecteur directeur de 𝑑2 est orthogonal au vecteur directeur de 𝑑1.
Si en plus les droites sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires.
Par exemple :
Ci-contre on peut observer que les droites 𝑑1 et 𝑑2 sont perpendiculaires, alors que les droites 𝑑1 et 𝑑3 sont seulement orthogonales.
𝑑1⫽ 𝑂𝑧 ⟹ vecteur directeur 𝑢⃗ (0,0,1) 𝑑2⫽ 𝑂𝑥 ⟹ vecteur directeur 𝑣 (1,0,0) 𝑑3⫽ 𝑂𝑥 ⟹ vecteur directeur 𝑣 (1,0,0)
Avec 2.1.3, on a : 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonaux si et seulement si 𝑥𝑢∙ 𝑥𝑣+ 𝑦𝑢∙ 𝑦𝑣+ 𝑧𝑢∙ 𝑧𝑣= 0
C’est-à-dire ici :
0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 = 0
2.4.3 Plans parallèles
2.4.3.1 A partir des équations paramétriques
Deux plans sont parallèles s’ils ont un même couple de vecteurs directeurs parallèles ou des vecteurs directeurs multiples
Pour déterminer si deux plans sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître les composantes des deux vecteurs directeurs 𝑢⃗ (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢) et 𝑣 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣, 𝑧𝑣). Ces composantes multiplient les paramètres, et apparaissent en gras ci-dessous. Prenons par exemple :
les plans 𝜋 ≡ {
𝑥 = (−𝟏)𝛼 + (𝟏)𝛽 𝑦 = (−𝟐)𝛼 + (−𝟏)𝛽 𝑧 − 2 = (𝟏)𝛼 + (−𝟏)𝛽
et 𝜋′ ≡ {
𝑥 − 1 = (𝟐)𝛼 + (−𝟑)𝛽 𝑦 + 3 = (𝟒)𝛼 + (𝟑)𝛽 𝑧 − 5 = (−𝟐)𝛼 + (𝟑)𝛽
On a donc le plan 𝜋 de vecteurs directeurs 𝑢⃗ et 𝑣 et le plan 𝜋′: de vecteurs directeurs 𝑢′⃗⃗⃗ et 𝑣′⃗⃗⃗
𝑥𝑢= −1 𝑒𝑡 𝑥𝑣= 1 𝑦𝑢= −2 𝑒𝑡 𝑦𝑣= −1 𝑧𝑢= 1 𝑒𝑡 𝑧𝑣 = −1
=> 𝑢⃗ (−1, −2, 1) et 𝑣 (1, −1, −1)
𝑥𝑢′= 2 𝑒𝑡 𝑥𝑣′ = −3 𝑦𝑢′ = 4 𝑒𝑡 𝑦𝑣′ = 3 𝑧𝑢′ = −2 𝑒𝑡 𝑧𝑣′ = 3
=> 𝑢′⃗⃗⃗ (2, 4, −2) et 𝑣′⃗⃗⃗ (−3, 3, 3) 𝑢′⃗⃗⃗ = −2𝑢⃗ 𝑒𝑡 𝑣⃗⃗⃗⃗ = −3𝑣 , 𝑙es vecteurs directeurs des plans 𝜋 et 𝜋′ sont multiples, ces plans sont donc ′ parallèles.
Page 35
2.4.3.2 A partir des équations cartésiennes
Deux plans 𝜋1 et 𝜋2 parallèles confondus ont la même équation ou des équations à coefficients multiples, c’est-à-dire :
𝜋1≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 et
ou
𝜋1≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 et 𝜋2≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝜋2≡ 𝑘. 𝑎𝑥 + 𝑘. 𝑏𝑦 + 𝑘. 𝑐𝑧 + 𝑘. 𝑑 = 0
avec 𝑘 ∈ ℝ Deux plans 𝜋1 et 𝜋2 parallèles distincts ont les mêmes
coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐, ou des coefficients multiples, mais un coefficient 𝑑 différent, c’est-à-dire :
𝜋1≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝒅𝟏= 0 et 𝜋2≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝒅𝟐 = 0
avec 𝑑1≠ 𝑑2 ou
𝜋1≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝒅𝟏= 0 et 𝜋2≡ 𝑘. 𝑎𝑥 + 𝑘. 𝑏𝑦 + 𝑘. 𝑐𝑧 + 𝑘. 𝒅𝟐= 0
avec 𝑑1≠ 𝑑2 et 𝑘 ∈ ℝ 2.4.4 Plans perpendiculaires Dans un repère orthonormé,
soit le plan 𝜋 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (avec 𝑎, 𝑏 et/ou 𝑐 ≠ 0), le vecteur 𝒏⃗⃗ (𝒂, 𝒃, 𝒄) est orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan. On dira que c’est un vecteur normal à 𝝅.
Par exemple :
avec 𝜋 ≡ −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0, on a 𝑛⃗ (−1, −1,1)
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
Par exemple :
avec 𝜋1≡ −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0, on a 𝑛⃗⃗⃗⃗ (−1, −1,1) 1 avec 𝜋2≡ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0, on a 𝑛⃗⃗⃗⃗ (1,1,2) 2
avec 2.1.3, on a : 𝑛⃗⃗⃗⃗ et 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux si et seulement si 2 𝑥𝑛1∙ 𝑥𝑛2+ 𝑦𝑛1∙ 𝑦𝑛2+ 𝑧𝑛1∙ 𝑧𝑛2= 0
c’est-à-dire ici :
−1 ∙ 1 + −1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 = 0
Page 36
2.4.5 Droite et plan parallèles
Une droite et un plan sont parallèles si le vecteur directeur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan (ou si ces vecteurs sont multiples)
Pour déterminer si une droite et un plan sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître les composantes des vecteurs directeurs (ce qui multiplie les paramètres, en gras ci-dessous). Prenons par exemple :
la droite 𝑑 ≡ {
𝑥 + 1 = (𝟏)𝛼 𝑦 − 3 = (𝟐)𝛼 𝑧 − 5 = (−𝟏)𝛼
et le plan 𝜋′ ≡ {
𝑥 − 1 = (𝟐)𝛼 + (𝟏)𝛽 𝑦 − 2 = (𝟒)𝛼 + (−𝟏)𝛽 𝑧 − 4 = (−𝟐)𝛼 + (𝟑)𝛽 avec la définition de l’équation paramétrique d’une droite :
{
𝑥 = 𝛼𝒙𝒖+ 𝑥𝐶 𝑦 = 𝛼𝒚𝒖+ 𝑦𝐶 𝑧 = 𝛼𝒛𝒖+ 𝑧𝐶
et la définition de l’équation paramétrique d’un plan : {
𝑥 = 𝛼𝒙𝒖+ 𝛽𝒙𝒗+ 𝑥𝐶 𝑦 = 𝛼𝒚𝒖+ 𝛽𝒚𝒗+ 𝑦𝐶 𝑧 = 𝛼𝒛𝒖+ 𝛽𝒛𝒗+ 𝑧𝐶
on a donc la droite 𝑑 : de vecteur directeur 𝑢⃗ et le plan 𝜋′: de vecteurs directeurs 𝑢⃗ ′ et 𝑣′⃗⃗⃗
𝑥𝑢= 1 𝑦𝑢= 2 𝑧𝑢= −1
=> 𝑢⃗ (1, 2, −1)
𝑥𝑢′= 2 𝑒𝑡 𝑥𝑣′ = 1 𝑦𝑢′ = 4 𝑒𝑡 𝑦𝑣′= −1 𝑧𝑢′= −2 𝑒𝑡 𝑧𝑣′ = 3
=> 𝑢′⃗⃗⃗ (2, 4, −2) et 𝑣′⃗⃗⃗ (1, −1, 3)
𝑢′⃗⃗⃗ = 2𝑢⃗ , 𝑙e vecteur directeur de la droite d et un des vecteurs directeurs du plan 𝜋′sont multiples, la droite d et plan 𝜋′ sont parallèles.
2.4.6 Droite et plan perpendiculaires
Une droite et un plan sont perpendiculaires si le vecteur directeur de la droite est normal au plan.
Par exemple :
avec 𝜋 ≡ −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0,
et 𝑑 ≡ {
𝑥 = (−𝟏)𝛼 − 1 𝑦 = (−𝟏)𝛼 − 1 𝑧 = (𝟏)𝛼 + 1
𝑑 a pour vecteur directeur 𝑢⃗ (−1, −1,1)
avec 0, on peut déduire que 𝑢⃗ est normal au plan 𝜋, en effet : 𝑛⃗ = 𝑢⃗ (−1, −1,1)
Page 37
Exercice 28 (P2 : Appliquer) Démontre que :
a. la droite 𝑑 ≡ {𝑥 = −2𝛼 𝑦 = 1 − 𝛼
𝑧 = 2 + 𝛼
et le plan 𝜋 ≡ {𝑥 = 𝛼 + 4𝛾 𝑦 = 2𝛼 + 2𝛾
𝑧 = 𝛼 − 2𝛾
sont parallèles
b. la droite 𝑑 d’équations paramétriques {
𝑥 = 2 + 𝛼 𝑦 = −2𝛼 𝑧 = −1 + 3𝛼
est perpendiculaire au plan 𝜋 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 3 = 0,
c. le plan 𝜋1≡ 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0 et le plan 𝜋2≡ −𝑥
2+ 𝑦 − 2𝑧 + 6 = 0 sont parallèles distincts,
d. les droites 𝑑1 ≡ {
𝑥 = 3 − 2𝛼 𝑦 = 1 + 𝛼 𝑧 = −2 − 3𝛼
et 𝑑2≡ {
𝑥 = 1 + 𝛼 𝑦 = −3 + 2𝛼
𝑧 = 5
sont orthogonales,
Page 38
e. le plan 𝜋1≡ {
𝑥 = 2𝛼 − 2𝛾 𝑦 = 3𝛼 − 2𝛾 𝑧 = 𝛼 − 1𝛾
le plan 𝜋2 ≡ {
𝑥 = 𝛼 − 4𝛾 𝑦 = 𝛼 − 6𝛾 𝑧 =12𝛼 − 2𝛾
sont parallèles,
f. le plan 𝜋1≡ 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 3 = 0 et le plan 𝜋2≡ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 sont perpendiculaires,
g. le plan 𝜋1≡ 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0 et le plan 𝜋2≡ −𝑥
2+ 𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 sont parallèles confondus,
h. les droites 𝑑1 ≡ {
𝑥 = 3 − 2𝛼 𝑦 = 1 − 2𝛼 𝑧 = −2 − 4𝛼
et 𝑑2≡ {
𝑥 = 1 + 𝛽 𝑦 = −3 + 𝛽
𝑧 = 2𝛽
sont parallèles,
i. la droite 𝑑1≡ { 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 3 = 0
−𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 5 = 0 est parallèle à la droite 𝑑2≡ {2𝑥 − 6𝑦 + 4𝑧 − 1 = 0
−𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 3 = 0 .
Page 39
Exercice 29 (P2 : Appliquer)
Donne l’équation cartésienne d’un plan 𝜋′:
a. parallèle distinct au plan 𝜋 ≡ 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 5 = 0,
b. parallèle confondu au plan 𝜋 ≡ 3𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 + 1 = 0,
c. parallèle distinct au plan 𝜋 ≡ 3𝑥 − 5𝑦 + 7𝑧 − 4 = 0, et passant par le point 𝑃(2,3, −1).
Exercice 30 (P2 : Appliquer)
Donne les équations cartésiennes d’une droite 𝑑′:
a. parallèle distincte à la droite 𝑑 ≡ {2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 1 = 0 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 ,
b. parallèle confondue à la droite 𝑑 ≡ {𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 + 1 = 0 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 ,
c. parallèle distincte à la droite 𝑑 ≡ {2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 + 1 = 0
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 et passant par le point 𝑃(2,3, −1).
Page 40
2.5 Intersection de trois plans
En fonction de leurs positions relatives, l’intersection de 3 plans peut être vide, consister en un point, une droite ou un plan, voici les différentes configurations possibles :
3 plans parallèles
3 plans parallèles distincts : intersection
vide 3 plans parallèles confondus : intersection selon 1 plan
2 plans confondus et un plan distinct : intersection
vide
2 plans parallèles
2 plans parallèles confondus : intersection selon une
droite 2 plans parallèles distincts : intersection
vide
Aucun plan parallèle
Intersection selon trois
droites parallèles : intersection
vide
Intersection selon 1
droite
Intersection en 1 point
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Afin de déterminer par calcul la nature de l’intersection de 3 plans, il faut se familiariser avec les systèmes d’équations linéaires. Après avoir défini les différents objets mathématiques intervenant dans ces systèmes, nous verrons comment les résoudre.
2.5.1 Equation linéaire à trois inconnues Dans l’espace (𝑂𝑥𝑦𝑧), une équation du type :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = avec 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0 ou 𝑐 ≠ 0
est appelée équation linéaire. Les nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coefficients. 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les inconnues. Le nombre 𝑑 est le terme indépendant.
Les coordonnées d’un point de l’espace qui fait partie du plan vérifie l’équation du plan.
Par exemple soit le plan π qui a pour équation
−2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0
représenté ci-contre. Le point C de coordonnées 𝐶(−1, −2,2) vérifie l’équation, c’est-à-dire que :
−2. (−1) − 1. (−2) − 2. (2) = −0
2.5.2 Système d’équations linéaires à trois inconnues
Un système est un ensemble d’équations qui doivent être vérifiées en même temps. Les différentes équations sont reliées par une accolade ( { )
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑎’𝑥 + 𝑏’𝑦 + 𝑐’𝑧 + 𝑑’ = 0 𝑎’’𝑥 + 𝑏’’𝑦 + 𝑐’’𝑧 + 𝑑’’ = 0
Ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues représente 3 plans de l’espace. Sa solution est donc les coordonnées (𝑥, 𝑦, 𝑧) des points de l’espace qui vérifient simultanément les trois équations.
Tous ces points appartiennent donc à chacun des 3 plans. Il s’agit donc de l’ensemble des points à l’intersection des 3 plans. Il y a plusieurs types de solutions possibles, suivant la nature de l’ensemble des points vérifiant les 3 équations.
Page 42
2.5.3 Systèmes équivalents
Par définition, deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.
Résoudre un système linéaire consiste dans la plupart des cas à transformer ce système en un système équivalent dont la résolution est plus simple. Nous le ferons par les deux méthodes détaillées dans les points suivants.
2.5.4 Méthode de substitution
Illustrons la méthode sur un exemple :
2x -2y +4z = 10
3x -2y +3z = 8
-x +3y -z = 2
On exprime la première inconnue (x, y ou z) en fonction des 2 autres à partir d’une équation au choix. Utilisons la dernière équation, et choisissons comme inconnue x car son coefficient de son (-1)est le plus simple.
2x -2y +4z = 10
3x -2y +2z = 5
x = -2+3y-z
On remplace cette première inconnue par son expression dans les 2 autres équations. Grâce à cette substitution, on élimine une des trois inconnues dans les 2 équations.
2.(-2+3y-z) -2y +4z = 10
3.(-2+3y-z) -2y +2z = 5
x = -2+3y-z
4y +2z = 14
7y -z = 11
x = -2+3y-z
Ensuite, à l’aide d’une de ces 2 équations, on isole une deuxième inconnue qui est alors exprimée en fonction de la troisième. Utilisons la deuxième équation et l’inconnue z, car c’est le terme dont le coefficient est le plus simple (=-1).
4y +2z = 14
z = -11+7y
x = -2+3y-z
On remplace ensuite cette inconnue par son expression dans l’équation restante (ici la première), qui devient alors une équation à une inconnue.
4y +2.(-11+7y) = 14
z = -11+7y
x = -2+3y-z
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Page 43
18y = 36
z = -11+7y
x = -2+3y-z
On trouve directement la valeur de la dernière inconnue (ici y).
y = 2
z = -11+7y
x = -2+3y-z
On retrouve ensuite la valeur de la deuxième inconnue en remplaçant la dernière inconnue (ici y) par sa valeur dans la deuxième équation, c’est-à-dire :
y = 2
z = -11+7.(2)=3
x = -2+3y-z
Enfin, on retrouve la valeur de la première inconnue (ici x) en remplaçant la valeur des deux dernières autres dans la première équation.
y = 2
z = 3
x = -2+3.(2)-(3)=1
On exprime ensuite la solution sous la forme suivante : 𝑆 = {1,2,3}
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Page 44
2.5.5 Méthode de Gauss ou du pivot
Opérations élémentaires sur les équations
Afin de simplifier le système, nous allons utiliser trois opérations élémentaires sur les équations, ces opérations transforment le système en un système équivalent.
• Li ← λLi , (avec λ≠0) :
la ième ligne du système Li devient λLi, c’est-à-dire que la ième équation du système est multipliée par le réel non-nul λ
• Li ← Li + λLj , (avec i≠j) :
à la ième ligne du système Li, on ajoute la jème ligne du système Li multipliée par le réel λ
• Li ↔ Lj ,
on peut échanger deux équations
Ces opérations élémentaires ne changent pas la solution du système.
Méthode de Gauss ou du pivot
La méthode permet de résoudre n’importe quel système d’équations linéaires de façon systématique.
La méthode consiste à transformer le système de départ en utilisant les opérations élémentaires sur les équations décrites dans le paragraphe précédent ; Après transformation, le système devra être échelonné réduit, il s’agit d’un système dont tous les coefficients de la diagonale sont égaux à 1 et dont les termes sous la diagonale sont nuls. Ce type de système se résout facilement.
Forme générale du système de départ
ax +by +cz = d a'x +b’y +c’z = d’
a'’x +b’’y +c’’z = d’’
Forme générale du système échelonné réduit
x +by +cz = d
+y +c’z = d’
z = d’’
diagonale
