Chapitre VI. Méthodes d identification

Chapitre VI

Méthodes d’identification

Version 1/12.11.2002

Chapitre 6. Méthodes d'identification

6.1 Méthodes d'identification basées sur le blanchissement de l'erreur de prédiction (type I) 6.1.1 Moindres carrés récursifs (M.C.R.)

6.1.2 Moindres carrés étendus (M.C.E.)

6.1.3 Maximum de vraisemblance récursif (M.V.R.)

6.1.4 Erreur de sortie avec modèle de prédiction étendu (E.S.M.P.E.) 6.1.5 Moindres carrés généralisés (M.C.G.)

6.2 Validation des modèles identifiés avec les méthodes de type I 6.3 Méthodes d'identification basées sur la décorrélation du vecteur

des observations et de l'erreur de prédiction (type II) 6.3.1 Variable instrumentale à modèle auxiliaire (VIMA) 6.3.2 Erreur de sortie à compensateur fixe (ESCF)

6.3.3 Erreur de sortie avec filtrage (adaptif) des observations (ESF(A)O) 6.4 Validation des modèles identifiés avec les méthodes de type II 6.5 Estimation de la complexité d’un modèle

6.5.1 Un exemple

6.5.2 Cas idéal (sans bruit

6.5.3 Cas avec bruit6.5.4 Critère d’estimation de complexité 6.6 Conclusion

6.7 Notes et indications bibliographiques

Structures « procédé + perturbation » et méthodes d’identification

+ +

u(t) y(t)

1 A q-d B

A

e(t)

) ( ) ( ) ( )

( ) ( :

1 A q ¹ y t q B q ¹ u t e t

S ⁻ = ^{−d −} +

Moindres carrés récursifs (MCR)

+

u(t) + y(t)

q-d B A

w(t)

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( :

2 A q ¹ y t q B q ¹ u t A q ¹ w t

S ⁻ = ^{−d −} + ⁻

Variable instrumentale…(VIMA)

Erreur de sortie (ESCF, ESFO, ESFAO)

+

u(t) + y(t)

1

q-d B A

e(t)

CA

[

^{1/ ( )}

]

^{( )}

) ( ) ( )

( ) ( :

4 A q ¹ y t q B q ¹ u t C q ¹ e t

S ⁻ = ^{−d −} + ⁻

Moindres carrés généralisés (MCG)

+

u(t) + y(t)

A q-d B

A

e(t) C

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( :

3 A q ¹ y t q B q ¹ u t C q ¹ e t

S ⁻ = ^{−d −} + ⁻

Moindres carrés étendus (MCE)

ES avec modèle de prédiction étendu (ESMPE) Maximum de vraisemblance récursif (MVR)

Perturbation PROCEDE

A.A.P.

PREDICTEUR AJUSTABLE

q^{- 1}

y(t) + - u(t) y(t)

φ( t- 1) ε^ο )

θ(t )

>

>

(t)

) 1 ( ) ( ) ( )

ˆ( ) 1

ˆ(t + =θ t +F t Φ t ε t + θ

0 ) 0 (

; 2 ) ( 0

; 1 ) ( 0

) ( ) ( )

( ) ( )

1 (

2 1

2 1

1

>

<

≤

≤

<

Φ Φ +

=

− +

F t

t

t t t

F t t

F ^T

λ λ

λ λ

) ( ) ( ) ( 1

) 1 ) (

1 (

0

t t F t t t

T Φ

Φ +

= +

+ ε

ε

Méthodes d’identification récursive

Structure:

Algorithme d’adaptation paramétrique

(AAP)

Commun à toutes les méthodes

Méthodes d’identification basées sur le blanchissement de l’erreur de prédiction (type I)

- Moindres carrés récursifs (MCR) (voir chapitre 5, transp.15 à 19) - Moindres carrés étendus (MCE)

- Maximum de vraisemblance récursif (MVR)

- Erreur de sortie avec modèle de prédiction étendu (ESMPE)

- Moindres carrés généralisés (MCG)

Moindres carrés étendus (MCE)

Idée : Identification du modèle du procédé et de la perturbation (ARMAX) pour pouvoir obtenir une erreur de prédiction blanche

) 1 ( )

( )

( )

( )

1

(t + = −a₁y t +b₁u t + c₁e t + e t + y

Procédé + perturbation (ARMAX):

Prédicteur optimal (paramètres connus) – voir Chapitre 4 )

( )

( )

( )

1

ˆ(t a₁y t b₁u t c₁e t

y + = − + +

Erreur de prédiction (paramètres connus) : ε(t +1) = y(t +1) − yˆ(t +1) = e(t +1)

On remplace e(t) par ε(t)

Prédicteur ajustable (paramètres inconnus):

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )

1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t c₁ t t t t

y^o + = − + + ε =θ ^Tφ

[

^{ˆ ( ), ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( )}

^[

^{( ), ( ), ( )}

^]

) ˆ(

1 1

1 t b t c t t y t u t t

a

t ^T φ ^T ε

θ = = −

T T t t

t t

c t

u t

b t

y t

a t

yˆ( +1) = −ˆ₁( +1) ( ) + ˆ₁( +1) ( ) + ˆ₁( +1)ε( ) =θˆ( +1) φ( ) (à priori)

(à posteriori)

Moindres carrés étendus (MCE)

Erreur de pédiction (paramètres inconnus) )

1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t +

ε o ε(t +1) = y(t +1) − yˆ(t +1) AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4

augmente et Φ

θˆ

Rem.: La taille de par rapport au moindres carrés

Propriétés:

• e(t) tend asymptotyquement vers un bruit blanc (donc estimation paramétrique non biaisée en présence d’une excitation riche)

• Condition suffisante de convergence: ; 2 max ( )

) 2 (

1

2 2 2

1 t

z

C λ > λ ≥ λ





− −

fonction de transfert strictement réelle positive Cas général :

[

^{( )... ( 1), ( )... ( 1), ( )... ( 1)}

]

)

( = − − − + − − − + − +

Φ t ^T y t y t n_A u t d u t d n_B ε t ε t n_C

[

^{ˆ ( )...ˆ , ˆ ( )...ˆ ( ), ˆ ( )...ˆ ( )}

]

) ˆ(

1 1

1 t a b t b t c t c t

a

t nA nB nC

T = θ

Peut expliquer la non-convergence pour certains bruits

;

Voir fonction: rels.sci(.m) sur le site web du livre

Fonction de transfert strictement réelle positive (SRP)

ω continu

s

σ ω

j

Re H Im H

H (^j ω)

z = e^j

ω

discret z

-1 ¹ Re z

+

j j

z = e

jω -

Im z

s = ^j

Re H Im H

H (e ^ω)

j

Re H < 0 Re H > 0 Re H < 0 Re H > 0

- asymptotyquement stable

-

_ReH(e ^jω _{) >0 pourtout e} ^jω _{=1, (0 <ω <π)} (cas discret)

Maximum de vraisemblance récursif (MVR) Idée: La même que pour MCE + filtrage de Φ (t) par C(q

^-1

)

(pour éliminer la condition SPR et pour une décorrélation plus rapide de Φ et ε)

) 1 ( )

( )

( )

( )

1

(t + = −a₁y t +b₁u t + c₁e t + e t + y

Procédé + perturbation (ARMAX):

Prédicteur ajustable (paramètres inconnus):

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )

1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t c₁ t t t t

y^o + = − + + ε =θ ^Tφ

[

^{ˆ ( ), ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( )}

^[

^{( ), ( ), ( )}

^]

) ˆ(

1 1

1 t b t c t t y t u t t

a

t ^T φ ^T ε

θ = = −

(à priori)

) 1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t + ε o

Erreur de prédiction (a priori):

1 1 1) 1 ˆ ( ) ,

ˆ(t q⁻ = +c t q⁻ Estimation de C(q^-1) à t : C

[ ]

_



 



=  −

−

=

=

Φ _{− − − −}

) ,

ˆ(

) , (

) ,

ˆ(

) , (

) ,

ˆ(

) ) (

( ), ( ), ) (

, ˆ( ) 1

( )

( _{1 1 1 1}

q t C

t q

t C

t u q

t C

t t y

t u t q y

t t C

t ^T φ_f ^T ε ε

AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4

Maximum de vraisemblance récursif (MVR)

•

Le filtrage des observations, ne peut se faire que pour stable. Un test de stabilité doit être incorporé (existe dans WinPIM et dans les routines du site web)

• L’initialisation se fait par les MCE (pour obtenir une estimation de C) Horizon d’initialisation : (5 à 8) x nb. des paramétres

• Transition graduelle de MCE vers MVR en utilisant un « facteur de contraction » (force les racines à l’intérieur du cercle unité)

• Cas général:

) ,

ˆ(t q⁻¹ C

1 0

; ) ˆ ( 1

) ,

ˆ( )

ˆ ( 1 ) ,

ˆ( ¹

1 1

1 1

1 = + ⁻ → ⁻ = + ⁻ ≤ ≤

− c t q C t q αc t q α

q t C

1 ) ( lim

; 1

) 1 ( )

( = ₀ − + − ₀ =

∞

→ t

t t

t α

α α

α α

Facteur de contraction variable:

Choix WinPIM: 0.5 ≤α₀ =α(0)≤ 0.9

[ ]

[

^{( )... ( 1), ( )... ( 1), ( )... ( 1)}

]

) ,

ˆ( ) 1

(

) ˆ (

)...

ˆ ( ), ˆ (

)...

ˆ ( ), ˆ (

)...

ˆ ( )

ˆ(

1

1 1

1

+

− +

−

−

− +

−

−

−

= Φ

=

− A B C

T

n n

n T

n t t

n d t u d t u n

t y t

q y t t C

t c t c t b t b t a t a

t A B C

ε ε

θ

Erreur de sortie avec modèle de prédiction étendu (ESMPE) Origine: Extension des méthodes d’erreur de sortie.

C’est une variante des MCE

) 1 ( )

( )

( )

( )

1

(t + = −a₁y t +b₁u t + c₁e t + e t + y

Procédé + perturbation (ARMAX):

Prédicteur ajustable des MCE:

) ˆ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )

1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t c₁ t t a₁ t y t

y^o + = − + + ε ±

Prédicteur ajustable de ESMPE:

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )

1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t h₁ t t t t

y^o + = − + + ε =θ ^T φ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( )

1 1

1 t c t a t

h = −

;

[

^{ˆ ( ), ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( ) ( )}

^[

^{ˆ( ), ( ), ( )}

^]

) ˆ(

1 1

1 t b t c t t t y t u t t

a

t ^T φ ^T ε

θ = Φ = = −

AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4

) 1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t + ε o

Erreur de prédiction (a priori):

Au lieu de y(t) dans les MCE

Erreur de sortie avec modèle de prédiction étendu (ESMPE)

• Même propriétés asymptotiques que les MCE

• Performances meilleures que les MCE (en général) pour fichiers E/S avec un nombre limité de données (rejet plus rapide du biais)

Cas général:

[ ]

[

^{ˆ( )... ˆ( 1), ( )... ( 1), ( )... ( 1)}

]

) (

) ˆ (

)...

ˆ ( ), ˆ (

)...

ˆ ( ), ˆ (

)...

ˆ ( )

ˆ(

1 1

1

+

− +

−

−

− +

−

−

−

= Φ

=

C B

A T

n n

n T

n t t

n d t u d t u n

t y t

y t

t h t h t b t b t a t a

t A B C

ε ε

θ

Voir fonction: xoloe.sci(.m) sur le site web du livre

Moindres carrés généralisés (MCG)

Idée: Obtenir une erreur de prédiction « blanche » pour une perturbation [ ^{1 / C ( q}

⁻¹

⁾ ] ^{e ( t )}

Procédé + perturbation (ARARX):

1 1 1

1 1

) 1 ) (

( )

( )

1

( ₋

+ + + +

−

= +

q c t t e

u b t

y a t

y

1 1 1

1

1 1

) 1 ) (

( )

1 ( ) 1

( ) 1

( ⁻ ₋

+

= +

− + +

=

+ c q

t t e

u b t

y q

a

α t (1+ c₁q⁻¹)α(t +1) = e(t +1)

) ( )

( )

( )

1

ˆ(t a₁y t b₁u t c₁ t

y + = − + − α

Prédicteur optimal (paramètres connus)

Erreur de prédiction (paramètres connus) : ε(t +1) = y(t +1) − yˆ(t +1) = e(t +1)

Moindres carrés généralisés (MCG)

) 1 ( ) ˆ ( ) ( ) ) ˆ ( 1 (

) ( ) ,

ˆ( )

( ) ,

ˆ( ) (

1 1

1

1 1

−

− +

=

−

=

−

−

−

−

t u t b t

y q

t a

t u q

t B q t

y q

t A

t ^d

α

) 1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t + ε o

Erreur de prédiction (a priori):

AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4 avec : Φ(t) =φ(t) Cas général:

[ ]

[

^{( )... ( 1), ( )... ( 1), ( )... ( 1)}

]

) (

) ( ˆ )...

( ˆ ), ˆ (

)...

ˆ ( ), ( ˆ )...

( ˆ )

ˆ(

1 1

1

+

−

−

− +

−

−

− +

−

−

−

= Φ

=

C B

A T

n n

n T

n t t

n d t u d t u n

t y t

y t

t c t c t b t b t a t a

t A B C

α α

θ

Estimation de α(t) :

Prédicteur ajustable (paramètres inconnus):

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )

1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t c₁ t t t t

y^o + = − + − α = θ ^Tφ

[

^{ˆ ( ), ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( )}

^[

^{( ), ( ), ( )}

^]

) ˆ(

1 1

1 t b t c t t y t u t t

a

t ^T φ ^T α

θ = = − −

Moindres carrés généralisés (MCG)

Propriétés:

• e(t) tend asymptotyquement vers un bruit blanc (donc estimation paramétrique non biaisée en présence d’une excitation riche)

• Condition suffisante de convergence: ; 2 max ( )

) 2

(z ^{1 2} _{2 2} t

C λ  > λ ≥ λ



 



 ⁻ −

fonction de transfert strictement réelle positive

Cette méthode s’utilise dans le cas des perturbations ayant un spectre fréquentiel étroit (ex.: perturbation presque harmonique).

(la modélisation ARARX requiert dans ce cas moins de paramètres dans C(q^-1) que la modélisation ARMAX)

Validation des modèles identifiés avec les méthodes de type I

Méthodes d’identification basées sur le blanchissement de l’erreur de prédiction - Moindres carrés récursifs (MCR)

- Moindres carrés étendus (MCE)

- Maximum de vraisemblance récursif (MVR)

- Erreur de sortie avec modèle de prédiction étendu (ESMPE) - Moindres carrés généralisés (MCG)

Les méthodes:

Principe:

Si la structure « procédé + perturbation » est correcte:

• structure perturbation:

• degrés des polynômes:

) (

/ ) ( ),

( ) (

), (

( e t C q

⁻¹

e t ou e t C q

⁻¹

d retard q

C q

B q

A (

⁻¹

), (

⁻¹

), (

⁻¹

),

alors ε (t) bruit blanc ( ^E { ^{ε ( t ) ε ( t − i )} } ^{= 0 ; i ≠ 0} )

asympt.

Validation des modèles identifiés avec les méthodes de type I Méthode de validation:

1) Constitution d’un fichier E/S pour le modèle identifié (avec la même entrée que pour le procédé réel)

2) Constitution d’un fichier des erreurs de prédiction

3) Test de « blancheur » sur la séquence d’erreur de prédiction

résiduelle

Test de « blancheur »

{ε(t)} : séquence centrée des erreurs de prédiction résiduelles (centré = valeurs mesurées – valeur moyenne)

On calcule:

) 1 0 (

) 0 ) (

0 (

; ) 1 (

) 0 (

1

2 = =

=

∑

= R

RN R N t

R

N

t

ε

max 1

...

3 , 2 , 1 ) ;

0 (

) ) (

(

; ) (

) 1 (

)

( i i

R i i R

RN i

t N t

i

R ^N

t

=

∑ − =

= = ε ε ; i_max = max(n_A,n_B + d)

Valeurs théoriques: RN(0) =1; RN(i) =0; i > 0

• Nombre fini de données

• Erreurs résiduelles de structure ( ordre, nonlinéarités, bruits)

• Objectif: obtenir des « bons » modèles simples Critère de validation (N = nombre de données):

1 17 ;

, ) 2

(

; 1 ) 0

( = ≤ i ≥

N i

RN RN

(voir aussi Chapitre 4) Situation réelle:

Test de « blancheur »

• Le critère de validation a été défini en tenant compte du test de blancheur pour une séquence bruit blanc gaussien de longueur N et en considérant un intervalle de confiance de 3%

• Quelques valeurs:

• Testé extensivement en pratique

• D’autres intervalles de confiance peuvent être considérés (voir tableau 6.2.1 du livre)

• Test pratique: _{RN(i) ≤ 0.15 i = 1,...,imax}

136 . 0 ) ( ,

256

; 192 . 0 ) ( ,

128 ≤ = ≤

= RN i N RN i

N

Remarques:

•

Critère de validation « trop bon » simplification possible du modèle

• A « compléxité » égale on choisit le modèle qui conduit aux plus petits _RN(i)

Méthodes d’identification basées sur la décorrélation du vecteur des observations et de l’erreur de prédiction (type II)

-Variable instrumentale à modèle auxiliaire (VIMA) - Erreur de sortie à compensateur fixe (ESCF)

- Erreur de sortie avec filtrage des observations (ESFO)

- Erreur de sortie avec filtrage adaptatif des observations (ESFAO)

Variable instrumentale à modèle auxiliaire (VIMA)

Procédé + perturbation:

) 1 (

) ( ) (

) ( )

(q⁻¹ y t = q⁻ B q⁻¹ u t + w′ t +

A ^d où: w′(t +1) = A(q⁻¹)w(t)

+

u(t) + y(t)

q-d B A

w(t)

w(t) = perturbation quelquonque, indépendante de u(t) et variance finie

Prédicteur ajustable (MCR):

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )

1

ˆ⁰(t a₁ t y t b₁ t u t t t

y + = − + =θ ^Tφ

Idée: Créer un nouveau vecteur des observations qui soit corrélé avec les variables non bruitées mais non corrélé avec le bruit

[

^{ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( )}

^[

^{( ), ( )}

^]

) ˆ(

1

1 t b t t y t u t

a

t ^T = φ ^T = −

θ

) 1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t + ε o

Erreur de prédiction (a priori):

Variable instrumentale à modèle auxiliaire (VIMA)

Modèle de prédiction auxiliaire (générateur de la variable instrumentale):

) 1 ( ) ˆ ( ) 1 ( )

ˆ ( )

(t = −a₁ t y t − + b₁ t u t −

y_{IV IV}

La sortie prédite dépend des prédictions précédentes et non pas des mesures précédentes comme dans le prédicteur des MCR

Nouveau vecteur des observations (instrumental):

[

^{( ), ( )}

]

) ( )

(t ^T = _IV t ^T = − y_IV t u t

Φ φ

AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4 Cas général :

[

^{( ), ( 1),..., ( ), ( 1),...}

]

) ( )

( = = − − − − − −

Φ t ^T φ_IV t ^T y_IV t y_IV t u t d u t d ) ( ) ,

ˆ( )

( )

,

ˆ(t q ¹ y t q B t q ¹ u t

A ⁻ _IV = ^{−d −}

y_IV est engendré par:

• Identification sans biais des paramètres du modèle du procédé sans identifier le modèle de la perturbation (utile pour bruits non gaussien)

• Nécessite l’initialisation par les MCR.

Horizon d’initialisation: (5 à 8) x nb. des paramètres

[

^{ˆ ( )...ˆ ( ), ˆ ( )...ˆ ( )}

]

) ˆ(

1

1 t a t b t b t

a

t nA nB

T = θ

Erreur de sortie à compensateur fixe (ESCF)

Idée: Remplacer dans le prédicteur des MCR, y(t) (qui est bruité) par la prédiction (qui dépendra asymptotiquement que de l’entrée) y ˆ ( t )

Procédé

PERTURBATION

Prédicteur ajustable

A.A.P.

+

-

ε^o( t ) y(t)

q y(t-1) - 1

u(t)

Moindres Carrés Récursifs (M.C.R.) y°(t)

>

Procédé

PERTURBATION

A.A.P.

+

-

ε^o( t ) y(t)

q^{- 1} y(t-1)

u(t)

Erreur de Sortie Prédicteur

ajustable

y°(t)

>

( E.S.)

>

Procédé + perturbation:

) 1 (

) ( ) (

) ( )

(q⁻¹ y t = q⁻ B q⁻¹ u t + w′ t +

A ^d où: w′(t +1) = A(q⁻¹)w(t)

w(t) = perturbation quelquonque, indépendante de u(t) et variance finie

Prédicteur ajustable (Erreur de sortie):

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ( ) 1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t t t

y^o + = + =θ ^T φ

[

^{ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( ) ( )}

^[

^{ˆ( ), ( )}

^]

) ˆ(

1

1 t b t t t y t u t

a

t ^T = Φ ^T =φ ^T = −

θ

Erreur de sortie à compensateur fixe (ESCF)

au lieu de y(t) (MCR)

) 1 ( ) ˆ( ) ˆ( )

( ) 1 ˆ(

) 1

ˆ(t + = t + t ⇒ y t = t t −

y θ ^T φ θ ^Tφ

Erreur de pédiction

) 1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t +

ε o ; ε(t +1) = y(t +1) − yˆ(t +1) AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4 avec : Φ(t) =φ(t) Cas général:

[

^{ˆ( ), ˆ( 1),..., ˆ( 1), ( ),..., ( 1)}

]

) ( )

( = = − − − − − + − − − +

Φ t φ t ^T y t y t y t n_A u t d u t d n_B

[

^{ˆ ( )...ˆ ( ), ˆ ( )...ˆ ( )}

]

) ˆ(

1

1 t a t b t b t

a

t nA nB

T = θ

Voir fonction: oloe.sci(.m)sur le site web du livre

Erreur de sortie à compensateur fixe (ESCF)

Erreur d’adaptation (optionnel):

D D

n n q d q

d q

D

t q

D t

−

−

−

−

+ + +

=

+

= +

...

1 ) (

) 1 (

) (

) 1 (

1 1 1

1 ε

ν ^{( 1) ( 1) ( 1 )}

1

i t

d t

t

nD

i

i o

o + = + +

∑

+ −

=

ε ε

ν

AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4 avec : ε°(t) = ν°(t)

• Identification sans biais des paramètres du modèle du procédé sans identifier le modèle de la perturbation (utile pour bruits non gaussiens)

• Condition suffisante de convergence: _{; 2 max ( )}

) 2 (

) (

2 2 2

1 1

z t A

z

D λ > λ ≥ λ





− −

−

fonction de transfert strictement réelle positive

• Pour n_A ≤ 2 et gain d’adaptation décroissant le compensateur D(q^-1) n’est pas nécessaire

• Degré du compensateur D(q^-1): nD ≤ nA −1ou nA

;

Propriétés:

Erreur de sortie avec filtrage des observations (ESFO)

Prédicteur ajustable (Erreur de sortie):

) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ( ) 1

ˆ (t a₁ t y t b₁ t u t t t

y^o + = + =θ ^T φ

[

^{ˆ ( ), ˆ ( )}

]

^{; ( )}

^[

^{ˆ( ), ( )}

^]

) ˆ(

1

1 t b t t y t u t

a

t ^T = φ ^T = −

θ

) 1 ( ) ˆ( ) ˆ( )

( ) 1 ˆ(

) 1

ˆ(t + = t + t ⇒ y t = t t −

y θ ^T φ θ ^Tφ

Erreur de pédiction:

) 1 ˆ (

) 1 (

) 1

(t + = y t + − y^o t +

ε o ; ε(t +1) = y(t +1) − yˆ(t +1)

AAP: On utilise l’algorithme donné transparent 4 avec : ^{Φ(t) =φ}_f ^(t) )

ˆ( )

(q⁻¹ = A q⁻¹ L

Filtrage des observations:

Filtre:

) ( ) ˆ(

) 1 ( )

( 1 t

q A t

t = φ _f = ₋ φ

Φ

Estimation du polynôme A(q-1)

• Condition suffisante de convergence: _{; 2 max ( )}

) 2 (

) ˆ(

2 2 2

1 1

z t A

z

A λ > λ ≥ λ





− −

−

fonction de transfert strictement réelle positive Voir fonction: foloe.sci(.m)

sur le site web du livre

Erreur de sortie avec filtrage adaptatif des observations (ESFAO)

Utilise un filtre adaptatif des observations au lieu d’un filtre fixe

(prend avantage de l’amélioration de l’estimation de A(q^-1) au cours du temps)

) ,

ˆ( ) ,

(t q⁻¹ = A t q⁻¹ L

Filtrage des observations:

Filtre:

) ) (

, ˆ( ) 1 ( )

( ₁ t

q t t A

t =φ_f = ₋ φ

Φ

Estimation du polynôme A(q^-1) fournie par l’algorithme

Initialisation:

) ˆ (

) ,

0

ˆ( ¹

0

1 −

− = A q q

A (fourni par un autre algorithme)

1 ) ,

0

ˆ( q⁻¹ = A

ou:

(plus simple et efficace)

Cette variante élimine en général les problèmes éventuels liés à la condition SPR de convergence des autres algorithmes (ESCF, ESFO)

Voir fonction: afoloe.sci(.m) sur le site web du livre

Validation des modèles identifiés avec les méthodes de type II

Méthodes d’identification basées sur la décorrélation du vecteur des observations et de l’erreur de prédiction

-Variable instrumentale à modèle auxiliaire (VIMA) - Erreur de sortie à compensateur fixe (ESCF)

- Erreur de sortie avec filtrage des observations (ESFO)

- Erreur de sortie avec filtrage adaptatif des observations (ESFAO) Les méthodes:

Principe:

• Si la perturbation est indépendante de l’entrée

• Si la structure du modèle du procédé est sorrecte (degrés des polynômes: ) A ( q

⁻¹

), B ( q

⁻¹

), retard d

Alors: { ^{( ) ˆ ( )} } ^{1 ( ) ˆ ( ) 0 ; 1 , 2 , 3 ,...}

1

=

=

−

≈

− ∑

=

i i

t y N t

i t y t E

N

t

ε ε

) ( ) ˆ (

) ˆ ( )

ˆ ( q

¹

y t q B q

¹

u t

A

⁻

=

^{−d −}

avec donné par (prédicteur erreur de sortie): y ˆ ( t )

Validation des modèles identifiés avec les méthodes de type II Méthode de validation:

1) Constitution d’un fichier E/S pour le modèle identifié (avec la même entrée que pour le procédé réel)

2) Constitution des fichiers:

3) Test de « décorrélation » entre la séquence d’erreur de prédiction résiduelle et la séquence des sorties prédites

{ } { } { } ^{y ( t ) , y ˆ ( t ) , ε ( t )}

Test de « décorrélation »

{ε(t)} : séquence centrée des erreurs de prédiction résiduelles On calcule:

max 1

,..., 2 , 1 , 0

; ) ˆ(

) 1 (

)

( t y t i i i

i N R

N

t

=

−

=

∑

=

ε

2 max / 1

1 2 1

2

,..., 2 , 1 , 0

; )

1 ( )

ˆ ( 1

) ) (

( i i

N t t

N y

i i R

RN

N

t N

t

=



































= 

∑

∑

= =

ε

) ,

max max(n n d

i = _{A B} +

;

Remarque: RN(0) ≠1 Valeurs théoriques: RN(i) =0; i = 0, 1, 2…i_max

• Nombre fini de données

• Erreurs résiduelles de structure ( ordre, non linéarités, bruits)

• Objectif: obtenir des « bons » modèles simples Situation réelle:

Critère de validation (N = nombre de données):

1 17 ;

, ) 2

(

; 1 ) 0

( = ≤ i ≥

N i

RN

RN ou: RN(i) ≤0.15; i =1,...,i_max

Validation comparative des modèles identifiés

• Comparaison entre modèles identifiés par les méthodes de type I : Test de blancheur

• Comparaison entre modèles identifiés par les méthodes de type II : Test de décorrélation

• Comparaison entre modèles identifiés par des méthodes de type I et modèles identifiés par des méthodes de type II:

1)Utilisation du prédicteur d’erreur de sortie pour engendrer 2)Test de décorrélation

{ }

^yˆ(t)

Remarque:

Il est souvent utile de comparer les résultats obtenus avec ceux donnés par les MCR

Estimation de la complexité d’un modèle

Exemple 1

Modèle (hypothèse) :

) 1 ( )

1 ( )

(t = −a₁y t − + b₁u t −

y Ordre: n = max(n_A, n_B +d) =1

Construisons la matrice suivante:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]

( )

^{t R}

( ) ( )

^{R n}

Y

R t

Y t

u t

y t

y

t u t

y t

y

t u t

y t

y

) M

M M

=

↑

↑

=

















−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

1

) 1 ( )

( 3

3 2

2 2

1

1 1

[ ] ( ) ^{( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ( )

²

( )

³

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

) 1 ( ) (

1 1

1 1

1 1

<

=

















−

−

−

− +

−

−

−

−

−

− +

−

−

−

−

−

− +

−

−

=

t u t

y t

u b t

y a

t u t

y t

u b t

y a

t u t

y t

u b t

y a rang R

t Y rang

M M M

(*)

Si l’ordre du modèle est 1 alors (*) n’est pas de rang plein

Estimation de la complexité d’un modèle

Exemple 2

( )

^{t a y}

( )

^{t i b u}

( )

^{t i}

y

i i i

i − + −

−

=

∑ ∑

=

=

2

1 2

1

Modèle (hypothèse):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

^{t R}

( )

^R

( )

ⁿ

Y

plein rang

t u t

y t

y

t u t

y t

y

t u t

y t

y rang

1 ˆ

) (

3 3

3 2

2 2

1

1 1

=

↑

↑

=

















−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− M

M M

(*)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( )

^R

( )

ⁿ

R t

Y

R t

Y

t u t

u t

y t

y t

y

t u t

u t

y t

y t

y

t u t

u t

y t

y t

y

t u t

u t

y t

y t

y

t u t

u t

y t

y t

y

ˆ 2

) (

) 2 ( )

(

6 5

6 5

4

5 4

5 4

3

4 3

4 3

2

3 2

3 2

1

2 1

2 1

=

↑

↑

=





















−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

M M M M M

Rang < 5 (c’est 4) car Y(t) est une

combinaison linéaire des colonnes 2, 3, 4, 5

(Ordre = 2)