TP N.05 Échantillonnage et quantification d un signal

TP N.05

´ Echantillonnage et quantification d’un signal

OBJECTIFS DU TP

— Savoir visualiser et caract´eriser un signal `a l’aide d’une carte d’acquisition ou d’un oscillo- scope num´erique qui transforme un signal analogique en un signal num´erique ´echantillonn´e et quantifi´e.

— Etudier un circuit ´electronique ´echantillonneur tr`es utilis´e dans l’industrie : le LF 398 appel´e

´echantillonneur-bloqueur.

1 Acquisition d’un signal :

A l’aide d’un oscilloscope, r´egler le GBF de mani`ere `a visualiser un signal sinuso¨ıdal u(t) = U0cos(2πf0t+ϕ) de fr´equencef0 = 1,00kHz(soit T0 = 1ms) avec une amplitude U0 = 0,50V. 1.1 Acquisition num´erique `a l’aide d’une carte d’acquisition :

• En conservant le signal sur l’oscilloscope, brancher la sortie du GBF entre la masse et l’entr´ee EA0 de la carte d’acquisition de l’ordinateur.

• Lancer le logiciel Synchronie et faire l’acquisition du signal `a l’aide du menu Ex´ecuter, sans r´egler les param`etres d’acquisition. Le signal visualis´e sur l’´ecran est un signal ´echantillonn´e et quantifi´e, not´e u_{af f}.

Afin d’optimiser l’´echantillonnage, quatre param`etres peuvent ˆetre ajust´es (on pensera `a r´eactualiser l’acquisition `a chaque modification des param`etres) :

1. Nombre de points N :il s’agit du nombre total de points d’´echantillonnage. Augmenter ce nombre N de points de 200 `a 1000, dans le menu Param`etres-Acquisition.

2. P´eriode d’´echantillonnage Te : c’est la dur´ee entre deux ´echantillons. Toujours dans le menu Param`etres-Acquisition, r´eglerT<sub>e</sub> `a 10µs. La dur´ee totale d’acquisition ∆T s’en d´eduit automa- tiquement ∆T =N T_e = 10ms (on observe une dizaine de p´eriodes `a l’´ecran).

On notera que la p´eriode d’´echantillonnage Te, la fr´equence d’´echantillonnage Fe et la dur´ee totale d’acquisition v´erifient les relations :

F_e= 1

T_e = 100kHz et T =N T_e = N F_e

3. Echelle verticale :´ Optimiser l’´echelle verticale en utilisant le menu Param`etres-Fenˆetres.

4. Calibre vertical :Ce param`etre permet de r´egler le pas de quantification ou de discr´etisation suivant l’´echelle verticale.

Pour voir son influence, r´eduire l’amplitude du signal d’un facteur 10, de sorte que le signal

ait une amplitude de 0,05 V. L’acquisition avec Synchronie fait alors apparaˆıtre un signal en marches d’escaliers.

• Mesurer le pas de quantification verticale q. En d´eduire le nombre de bits K de codage de la carte d’acquisition sachant que le signal peut alors prendre 2^K valeurs, ´echelonn´ees entre

−V_max et +V_max , ce qui conduit `a une relation de la forme : q= 2Vmax

2^K−1

• Mesurer q et en d´eduire K avec les calibres -10V +10V, -5V +5V et finalement -1V +1V.

Conclure.

2 Caract´ erisation d’un signal ` a l’aide de son spectre :

2.1 Visualisation du spectre :

Le logiciel Synchronie peut calculer la d´ecomposition de n’importe quel signal en une somme de sinuso¨ıdes grˆace `a la transform´ee de Fourier discr`ete, accessible dans le menu Traitements - Analyse de Fourier - EA0 - Calculer. Le r´eglage automatique ´etant mal programm´e et ne permettant pas de bien comprendre les difficult´es d’´echelles, on d´ecochera la case Echelle optimis´ee.

• Avec un signal sinuso¨ıdal d’amplitude 5 V `a f0 = 1,0kHz et des param`etres N = 1000 et Fe = 100kHz (soitTe= 10µs) optimis´es pour une bonne visualisation l’´ecran pour, observer le spectre en amplitude.

On voit que l’´echelle horizontale en fr´equence n’est pas forc´ement bien adapt´ee : l’axe horizontal s’arrˆete s’´etend de 0 `aFe/2 et la raie `af0 peut ˆetre situ´ee tout `a gauche du graphique. On peut alors :

• Zoomerla partie int´eressante du graphique grˆace `a la loupe.

• Diminuer la fr´equence d’´echantillonnage F_e. Par exemple, toujours avec N = 1000, mais F_e = 10kHz, on peut obtenir une ´echelle mieux adapt´ee (apr`es avoir ferm´e la fenˆetre de la FFT pour r´einitialiser les ´echelles).

Diminuer la fr´equence d’´echantillonnage `a nombre de points constant a fait augmenter la dur´ee totale ∆T = N

F_e d’acquisition. Le spectre est donc mieux visible mais au d´etriment de la visibilit´e du signal temporel.

2.2 Affichage correct du spectre :

Les logiciels de calcul de spectre et les oscilloscopes num´eriques utilisent un algorithme de calcul du spectre nomm´e FFT (Fast Fourier Transform). Cet algorithme est tr`es rapide, mais ne donne des r´esultats corrects que si les fr´equences du signal sont des multiples de F_e

N. Par exemple, pour un signal sinuso¨ıdal de fr´equencef0, le spectre ne sera correctement calcul´e que si :

f₀=kF_e

N avec k∈[0, partie entire(N/2)]

On se reportera au compl´ement joint au TP pour en comprendre l’origine.F_e

N est le quantum de fr´equence (on peut aussi l’appeler r´esolution en fr´equence).

On peut visualiser cette ”limitation” d’affichage du spectre en proc´edant de la mani`ere suivante :

• Examiner l’influence d’une modification de la fr´equence f₀ sur le spectre lorsque cette derni`ere n’est pas un multiple de la r´esolution. Mesurer la hauteur dupic et conclure.

2.3 Crit`ere de Shannon et repliement du spectre :

Le signal ´echantillonn´e uaff poss`ede un spectre plus riche que celui du signal analogique u(t). En effet, le spectre de u(t) ne contient qu’une seuleraie`a la fr´equence f0, tandis que celui de uaff contient une infinit´e de raies positionn´ees aux fr´equences :

f0, Fe−f0 et Fe+f0,2Fe−F0 et2Fe+f0, etc...

L’affichage de synchronie est limit´e `a Fe/2 : si f0 > Fe/2, laraie de fr´equence f0 sort de la fenˆetre d’affichage...mais il y rentre la raie de fr´equenceFe−f0. C’est le repliement du spectre.

• Observer le ph´enom`ene en gardant fixes N = 1000 et F<sub>e</sub>= 10kHz, et en augmentant progressi- vement la fr´equencef0 du signal d’amplitude 5V d´elivr´e par le GBF, de 1kHz `a 10kHz.

• En particulier, mesurer la fr´equence du pic affich´e par Synchronie lorsquef₀ = 6,0kHz. Conclure.

3 Crit` ere de Niquist-Shannon :

1. A l’aide du GBF, g´` en´erer un signal sinuso¨ıdal d’amplitude 5V et de fr´equence f = 1 kHz, puis r´ealiser l’acquisition de ce signal avecla carte Sysamsur une dur´ee totale deT_tot= 10msavec diff´erentes fr´equences d’´echantillonnagef_e = 1

Te

dans le tableau ci-apr`es (A REPRODUIRE ET COMPL ´ETER SUR LE CAHIER) et observer pour chaque acquisition l’allure temporelle du signal et de son spectre avec le logiciel Latis Pro. (Ne pas h´esiter `a refaire plusieurs fois les acquisitions pour observer la reproductibilit´e des observations)

nombre de point fe/f Te Allure de signal Allure de spectre fr´equence mesur´ee 100

20 10 5 2 1,2

1

2. ´Enoncer le crit`ere de Niquist-Shannon qui donne la fr´equence d’´echantillonnage minimale que l’on doit choisir pour obtenir un signal de sortie ayant une fr´equence correspondant bien `a la fr´equence du signal d’entr´ee.

4 Optimisation de l’analyse spectrale :

• R´ealiser `a nouveau l’acquisition du signal pr´ec´edent avec f_e = 100f sur une dur´ee totale T_tot = 10ms.Dans le menu avanc´e de l’analyse de Fourier de Latis Pro, choisir une s´election manuelle de p´eriodes (automatique par d´efaut).

Sur le signal temporel faire varier la plage sur laquelle est calcul´ee laFFT (Fast Fourier Transform), algo- rithme num´erique qui approche la transform´ee de Fou- rier et fournit le spectre du signal num´erique.

• Comment choisir la plage temporelle pour optimiser l’allure FFT ?

• D´eplacer les curseurs de sorte `a effectuer le calcul de FFT sur diff´erentes dur´ees puis remplissez le ta- bleau suivant (A REPRODUIRE ET COMPL ´` E- TER SUR LE CAHIER) :

Dur´ee du signal s´electionn´ee (T_aen ms) 1,5 2,5 3,5 4,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 R´esolution spectrale (∆f en Hz)

En d´eduire :

1. la relation entre la r´esolution spectrale ∆f et la dur´ee du signal analys´e T_a.

2. la relation entre ∆f et la fr´equence d’´echantillonnage dans le cas d’un grand nombre N de points.

3. Synth`ese : Comment choisir les param`etres d’une acquisition num´erique destin´ee `a une analyse spectrale ?

Remarque :On peut aussi montrer que l’analyse spectrale est optimis´ee en choisissant pour le calcul de la FFT un nombre de points de point en 2ⁿ

5 Sous ´ echantillonnage d’un signal et repliement de spectre :

. R´ealiser l’acquisition num´erique d’un signal sinuso¨ıdal de fr´equence f = 1 kHz en choisissant les param`etres d’acquisition suivants :

Nombre total de points N = 1000 points.

—

— P´eriode d’´echantillonnageTe = 10µs.

— Dur´ee totale de l’acquisition Ttot = 10ms.

— R´ealiser l’analyse spectrale en mode automatique (ou en mode manuel en choisissant une plage de 10ms) et en affichant le r´esultat sur [0,fe/2] (Auto par d´efaut).

1. Changer la fr´equence du signal sans modifier les param`etres de l’acquisition etREPRODUIRE PUIS COMPL ´ETER SUR LE CAHIERle tableau suivant :

Fr´equence du signal d’entr´ee (en kHz) 1 10 20 30 40 60 70 80 90 f_e/f

fr´equence mesur´ee

2. R´esumer vos observations et justifier le titre du ”6”.

6 Transformation d’un signal rectangulaire en signal triangulaire :

6.1 Analyse temporelle qualitative :

Montrer comment transformer un signal rectangulaire de fr´equencef₀= 1kHzet d’amplitude 10V en signal triangulaire, avec un filtre passif du premier ordre `a pr´eciser.

Lorsque tous les param`etres auront ´et´e optimis´es, on pr´ecisera et on justifiera les valeurs finalement choisies pour les composants. On repr´esentera et on expliquera ´egalement l’effet d’une variation des composants utilis´es dans le filtre.

6.2 Analyse spectrale quantitative :

Visualiser et repr´esenter le spectre du signal de sortie en utilisant le logiciel Latis-Pro (on notera et on justifiera les param`etres choisis pour le trac´e du spectre). Montrerrapidementla compatibilit´e des 3 premi`eres composantes du spectre avec le d´eveloppement de Fourier d’un signal triangulaire pair de valeur moyenne nulle et d’amplitude E :

ue(t) = 8E π²

∞

X

p=0

cos[2π(2p+ 1)f0t]

(2p+ 1)² 6.3 Filtrage num´erique :

En vous aidant del’annexe 1expliquant le fonctionnement de Latis Pro (attention, les param`etres ne correspondent pas n´ecessairement `a ceux du TP...), r´ealiser le filtrage num´erique correspondant au filtrage analogique pr´ec´edent et visualiser simultan´ement le signal d’entr´ee et le signal de sortie avec Latis-Pro ou avec l’oscilloscope

Annexe 1 : filtrage num´ erique avec Latis-Pro

— CAN : convertisseur analogique num´erique faisant l’acquisition sur la voie EA0.

— CNA : convertisseur num´erique analogique ´emettant la variable calcul´ee sur la voie SA1.

Annexe 2 : Artefacts produits dans le spectre lorsque la fr´ equence d’´ echantillonnage n’est pas un multiple de la fr´ equence du signal

Comme on le constate exp´erimentalement, dans le cas simple d’un signal d’entr´ee sinuso¨ıdal de fr´e- quencef₀, le spectre affich´e par LatisPro n’est pas compos´e d’un seul pic `a la fr´equencef₀ lorsque la fr´equence d’´echantillonnage n’est pas un multiple de la fr´equence du signal.

Ce ph´enom`ene est dˆu `a la fa¸con dont est calcul´ee la FFT. Nous proposons une explication simplifi´ee . L’acquisition du signal sinuso¨ıdal se fait n´ecessairement par troncature pendant une dur´ee finie

∆T.Notons le coefficient d´efini par ∆T =αT0.

• Si la fr´equence d’´echantillonnage fe est un multiple de la fr´equence du signal f0, alors

∃k tel que f e=kf₀, soitT₀ =kT_e, et donc ∆T =N T_e= N

kT₀. Et si de plus N

k est un entier, alors la p´eriodisation du signal permet de reconstituer une sinuso¨ıde parfaite `a la fr´equence f0, et le spectre ne fera donc apparaˆıtre qu’un pic `a f0.

• Si la fr´equence d’´echantillonnage fe n’est un multiple de la fr´equence du signalf0, de sorte que la dur´ee totale d’acquisition ne correspond pas `a un nombre entier de p´eriodes du signal, la p´eriodisation du signal conduit `a des discontinuit´es qui font apparaˆıtre d’autres harmoniques dans le spectre. Le spectre n’est plus celui d’une sinuso¨ıde parfaite `a la fr´equencef0.