TD-TP d’analyse num

TD-TP d’analyse num´erique

R´esolution num´erique de l’´equation de la chaleur en 1D par diff´erences finies

Olivier LOUISNARD 2 avril 2008

On consid`ere un mur d’´epaisseur L, constitu´e d’un mat´eriau homog`ene et iso- trope, infini dans les deux autres dimensions.

1 Mise en ´ equations et conditions aux limites

1. Rappelez l’´equation de conduction de la chaleur dans une g´eom´etrie quel- conque, puis dans une g´eom´etrie monodimensionnelle.

2. Exprimez les diff´erentes conditions aux limites envisageables pour cette

´equation, dans le cas

– d’une temp´erature impos´eeT_i – d’un flux de chaleur impos´e q_i

– d’un ´echange de chaleur convectif avec l’air ambiant, suppos´e maintenu

`

a une temp´eratureT∞ tr`es loin de la paroi.

Exprimez ´egalement la condition initiale.

3. Quelle est la forme du profil de temp´erature dans le mur en r´egime per- manent ? Ce r´egime permanent existe-t’il quelles que soient les conditions aux limites aux deux extr´emit´es ? Pourquoi physiquement ? Calculer l’ex- pression de ce profil lorsque les temp´eratures en x = 0 et x = L sont impos´ees respectivement `a Tg et Td.

2 R´ esolution num´ erique : m´ ethode explicite

On souhaite r´esoudre num´eriquement l’´equation de la chaleur dans ce domaine.

On prendra dans un premier temps des conditions aux limites de type tem- p´erature impos´ee T_g et T_d en x = 0 et en x = L. Initialement, le mur est `a temp´erature constante T =T₀.

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On cherche `a discr´etiser l’´equation de la chaleur sur un maillage temporel et spatial. Pour ce faire,

– on d´ecoupera l’intervalle [0, L] en M intervalles de mˆeme longueur ∆x.

– on cherche `a ´evaluer la solution en des instants t_n distants d’un pas ∆t.

On notera

– t_n= (n−1)∆t, n= 1. . . N+ 1 – x_i = (i−1)∆x, i= 1. . . M+ 1 – T_iⁿ =T(x_i, t_n)

1. En utilisant des diff´erences finies progressives en temps et centr´ees en espace, trouver une expression de la temp´erature T_iⁿ⁺¹ `a l’instant tn+1

en fonction des temp´eratures `a l’instant t_n en chaque noeud milieu du domaine (i= 2. . . M).

2. D´eterminez les temp´eratures aux limites `a l’instantt_n+1.

3. D´eduisez-en un algorithme pour construire par r´ecurrence les temp´era- tures en chaque point du mur `a tout instant.

4. Exprimez la relation obtenue sous forme matricielle. A quelle condition l’algorithme obtenu est-il stable. En d´eduire une condition de stabilit´e reliant la diffusivit´e a et les pas ∆x et ∆t. Que signifie cette condition ?

3 Application

Ecrire un programme MATLAB qui impl´emente la m´ethode explicite, et qui trace les profils de temp´erature dans le mur `a divers instants. On y superposera le profil en r´egime permanent calcul´e `a la question 1.

Mettre en ´evidence la condition de stabilit´e en jouant sur le pas de temps.

On ne d´epassera pas 20 points pour le maillage spatial. Le temps final de la simulation sera choisi judicieusement, sur des crit`eres physiques.

On prendra comme donn´ees num´eriques (b´eton) : Conductivit´e thermique λ= 0.92 W.m⁻¹.K⁻¹

Densit´e ρ= 2300 kg.m⁻³

Capacit´e calorifique massique C = 960 J.kg⁻¹.K⁻¹

Epaisseur du mur L= 0.2 m

2

T₀ = 25˚C T_g = 10˚C T_d= 50˚C

4 M´ ethode implicite

On cherche maintenant `a ´ecrire un algorithme inconditionnellement stable.

1. Utilisez maintenant des diff´erences finies r´egressives en temps et tou- jours centr´ees en espace. Comparez la formule obtenue `a la pr´ec´edente.

Pourquoi cette m´ethode est-elle appel´ee «implicite»?

2. Ecrire cette relation sous forme matricielle. Qu’implique la mise en oeuvre de cet algorithme ?

3. Montrez que l’algorithme obtenu est inconditionnellement stable.

5 Autres conditions aux limites

On reprendre la question 1 en prenant des conditions aux limites plus r´ealistes.

On suppose que le mur s´epare l’air ext´erieur `a temp´eratureT_e^∞de l’air int´erieur

`

a temp´erature T_i^∞. Les ´echanges d’´energie entre le mur et l’air sont mod´elis´es par des coefficient de convection h_e et h_i.

1. Ecrire une relation entre ^∂T_∂x et T en x= 0 etx=L.

2. Ecrire l’´equation du profil en r´egime permanent pour T_e^∞ etT_i^∞ fix´ees.

3. Ecrire les conditions aux limites en x = 0 et x = L discr´etis´ees. On cherchera `a ´ecrire une condition entre T₁ⁿ⁺¹ et T₂ⁿ⁺¹, et une autre entre T_M+1ⁿ⁺¹ et T_Mⁿ⁺¹.

4. On suppose que l’on est en automne, que la temp´erature ext´erieure est T_e0^∞ depuis plusieurs jour. Le profil dans le mur est en r´egime permanent.

L’hiver arrive et `at= 0, la temp´erature ext´erieure passe brutalement de T<sub>e0</sub><sup>∞</sup> `a T_e1^∞. Ecrire un programme qui permet d’observer l’´evolution de la temp´erature dans le mur au cours du temps apr`es que l’air ext´erieur se soit refroidi.

On prendra les donn´ees num´eriques suivantes :

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h_e = 100 W.m⁻².K⁻¹ h_i = 20 W.m⁻².K⁻¹ T_e0^∞= 15˚C

T_e1^∞= 0˚C T_i^∞= 25˚C

6 M´ ethode de Crank-Nicholson

La m´ethode de Crank-Nicholson est en fait une moyenne entre la m´ethode implicite et la m´ethode explicite.

Ecrire `a nouveau le relation entre les temp´eratures `at_n+1et celles `at_n. Montrez que la m´ethode est inconditionnellement stable.

Cette m´ethode est pr´ef´erable `a la m´ethode implicite pr´ec´edente, car on montre qu’elle est d’ordre 2.

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