Bien entendu, on doit pouvoir se dire qu il suffit de couper en deux séries, par exemple

FAMILLES SOMMABLES 34

Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de somme infinie à un cadre un peu plus général que celui des séries, par exemple considérer des sommes infinies de suites indexées parZ, commeX

n∈N

1

n²+1, voire de sommes doubles infinies comme X

(n,p)∈N×N

1 n!p!. Une raison parmi d’autres de vouloir définir de telles sommes vient des probabilités : cette année nous n’avons travaillé que sur des espaces finis, mais on peut aussi vouloir considérer des variables aléatoires qui prennent une infinité de valeurs. Par exemple : on lance un dé jusqu’à obtenir un «1» et on noteX le nombre d’essais nécessaires. AlorsX(Ω)=N^∗. Dès lors, pour définir l’espérance, il va nous falloir être capable de donner un sens à

X

x∈X(Ω)

xP(X =x), qui est une somme infinie.

Dans l’exemple ci-dessus, vous me direz¹que cela a déjà été fait, et qu’il s’agit de^{+ 1}À juste titre.

∞

X

n=1

nP(X = n), sous réserve que cette série converge.

D’accord, mais si on considèreX etY deux variables suivant la loi ci-dessus, et qu’on pose Z =X −Y. AlorsZ est à valeurs dansZ. Pour parler de son espérance, il va falloir être capable de donner un sens àX

n∈Z

nP(Z =n).

Bien entendu, on doit pouvoir se dire qu’il suffit de couper en deux séries, par exemple

+∞

X

n=0

nP(Z =n)+

+∞

X

n=1

(−n)P(Z =−n).

Allons plus loin, toujours avecX etY comme ci-dessus, posonsR=X

Y. Cette foisRprend ses valeurs dansQ∩R^∗₊, et la somme infinie qui définirait l’espérance semble bien plus dure à définir...

Enfin, une autre bonne raison de vouloir étudier de telles sommes est qu’on aimerait se détacher de l’ordre dans lequel sont sommés les termes dans une série : on considère

n→lim+∞(u₀+u1+· · ·+un). Que se passe-t-il si on réordonne les nombres ?

On souhaiterait que cela ne change rien, puisqu’au final, on somme toujours les mêmes nombres, bien que dans un autre ordre, et la commutativité du produit nous dit que cela

devrait ne rien changer^{2 2}En tous cas c’est ce qu’elle

nous dit pour les sommes finies.

Mais notre bon sens souhai- terait que cela reste vrai pour des sommes infinies.

Un exemple dérangeant était d’ailleurs contenu dans un exercice du TD de séries : en. posantu_n =(−1)ⁿ⁻¹

n , alors ⁺

∞

X

n=1

u_n =ln(2), mais il existeσ :N^∗→N^∗bijective telle que

+∞

X

n=1

u_σ(n)= ln(2) 2 .

Dès lors, quel sens donner à X

n∈N^∗

un ? La réponse sera simple : nous ne définirons pas cette somme...

Définition 34.1 –SiIest un ensemble, on notePf(I)l’ensemble des partiesfinies deI.

34.1 FAMILLES SOMMABLES DE RÉELS POSITIFS

34.1.1 L’ensemble [0 , + ∞ ]

On note[0,+∞]=[0,+∞[∪{+∞}, partie deR.

Alors nous savons qu’il s’agit d’un ensemble totalement ordonné, avec pour toutx ∈[0,+∞], x 6+∞.

SiAest une partie de[0,+∞], deux cas de figure se présentent : I soit+∞ ∈A, auquel cas c’est le plus grand élément deA.

I soitAest une partie deR. Et alors :

1. soitAest majorée (en tant que partie deR), et donc possède une borne supérieure

m∈R, qui est donc aussi la borne supérieure^{3 3}Donc le plus petit des majo- rants.

deAen tant que partie de[0,+∞].

2. soitAn’est pas majorée. Et alors+∞est bien un majorant deAdans[0,+∞], et c’est le seul, donc le plus petit des majorants.

Dans tous les cas,Apossède une borne supérieure dans[0,+∞].

Nous utiliserons dans la suite les opérations usuelles sur les réels strictement positifs :

x+(+∞)= +∞,x×(+∞)= +∞six ,0, et nous ajouterons le un peu moins classique^{4 4}Car il ne nous plaît pas en termes de limites : 0×(+∞) est une forme indéterminée.

0×(+∞)=0. :

34.1.2 Somme d’une famille de réels positifs

La notion de convergence d’une série reposait essentiellement sur le fait que les sommes partielles étaient bien définies.

Sur le même principe, pour tout famille de réels, et donc en particulier pour toute famille de réels positifs, la somme d’un nombre fini de termes est toujours bien définie.

Utilisons ces sommes finies pour définir des sommes infinies :

Définition 34.2 –SoitI un ensemble, et soit(u_i)i ∈I une famille de réels positifs indexée parI.

On note alorsX

i∈I

ui =sup







 X

j∈J

uj,J ∈Pf(I)











∈[0,+∞].

ISiI est un ensemble fini, alors pour toutJ ⊂I, on a X

i∈I

ui =X

j∈J

uj+ X

k∈I\J

uk

| {z }

>0

>X

j∈J

uj.

Et puisque par ailleurs,X

i∈I

ui est un élément de







 X

j∈J

uj,J ∈Pf(I)











, c’en est donc le plus grand élément.

Donc la notationX

i∈I

ui correspond bien à celle que l’on connaissait déjà.

ILorsqueI =N, on a donc(un)n∈Nune suite de réels positifs.

En particulier, pour toutn∈N,Jn =n0,noest une partie finie deI, et donc Sn =X

j∈Jn

ui = Xn k=0

uk.

Puisque par ailleurs, pour toute partie finieJ ⊂N, il existen ∈Ntel que J ⊂ Jn, on a

donc^{5 5}Par positivité des termes de

la suite.

X

j∈J

uj 6X

j∈Jn

uj. Et donc sup







 X

j∈J

u_j,J ∈Pf(N)











=sup{S_n,n∈N}.

Or, il est bien connu que la suite(Sn) est majorée si et seulement si la série de terme généralu_n converge, et que lorsque c’est le cas, par le théorème de la limite monotone, sup{Sn,n∈N}=_n→lim

+∞Sn = ⁺

∞

X

k=0

uk. On a donc X

n∈N

u_n= ⁺

∞

X

n=0

u_nsi cette série converge, et X

n∈N

u_n= +∞sinon.

Définition 34.3 – Une famille (ui)i∈I de réels positifs est dite sommable si X

i∈I

ui ∈R+, soit encore siX

i∈I

ui <+∞.

Remarque. Puisque







 X

j∈J

uj,J ∈Pf(I)











est une partie non vide deR, elle possède une borne supérieure dansRsi et seulement si elle est majorée.

Donc(ui)i∈I est sommable si et seulement si il existeM >0 tel que pour toutJ ∈Pf(I), X

j∈J

ui 6M.

IPar ce qui a été dit précédemment, dans le cas oùI =N, la famille(un)n∈Nest sommable si et seulement si la série de terme généralu_nconverge, et dans ce cas, X

n∈N

u_n =

+∞

X

k=0

u_k. ISiσ :I₁ →I₂est une bijection, alorsHσ : Pf(I₁) −→ Pf(I₂)

J 7−→ σ(J) est une bijection, si bien que pour toute famille(ui)i∈I₂de réels positifs,









 X

j∈J

u_j, J ∈Pf(I₂)











=







 X

j∈σ⁻¹(J)

u_σ(j),J ∈Pf(I₂)











=







 X

j∈J

u_σ(j),J ∈Pf(I₁)









 .

Et donc ces ensembles ont la même borne supérieure⁶. ^6Dans[0,+∞].

Par conséquent, la famille(ui)i∈I₂ est sommable si et seulement si la famille(uσ(i))i∈I₁ est sommable, et lorsque c’est le casX

i∈I₂

u_i =X

i∈I₁

u_σ(i).

Cela signifie notamment que pour une sérieà termes positifs, modifier l’ordre des termes^{7 7}Cela revient à prendreσ une bijection deNsurN.

ne change pas la nature de la série, et en cas de convergence, ne change pas la somme de la série.

Ce n’est pas toujours le cas^{8 8}Voir les exercices difficiles

de la fin du TD de séries numériques pour les détails.

pour des séries à termes de signe quelconque.

Une autre conséquence est que lorsqueIest en bijection avecN, pour étudier la sommabilité de la famille(ui)i∈I, il suffit de considérer une bijectionσ:N→I, et d’étudier la nature de la sérieX

u_σ(n). Et donc il est possible d’utiliser tous les outils propres aux séries.

34.1.3 Propriétés de la somme

Proposition 34.4 :Soient(u_i)i∈I et(v_i)i∈I deux familles de réels positifs indexées par un même ensembleI.

1. pour toutλ∈R+,X

i∈I

λui =λX

i∈I

ui. 2. X

i∈I

(u_i +v_i)=X

i∈I

u_i +X

i∈I

v_i.

Démonstration. 1. pour toutJ ∈Pf(I),X

i∈J

λui =λX

i∈J

ui, si bien que par passage à la borne supérieure,X

i∈I

λui 6λX

i∈I

ui. Siλ=0, il y a évidemment égalité.

Et siλ,0, alorsX

i∈I

1 λλui 6 1

λ X

i∈I

λui, si bien que

λX

i∈I

ui 6X

i∈I

λui.

Donc par double inégalité, on a bien l’égalité annoncée.

2. Sur le même principe : pour J ∈Pf(I),X

i∈J

(ui +vi)=X

i∈J

ui +X

i∈J

vi, et donc en particulier,X

i∈

(u_i +v_i)6X

i∈I

u_i +X

i∈I

v_i. Autrement dit,X

i∈I

ui+X

i∈I

vi est un majorant de







 X

i∈J

(ui+vi), J ∈Pf(I)











, et donc

par définition d’une bornée supérieure^{9 9}C’est le plus petit des majo-

rants.

,X

i∈I

(u_i+v_i)6X

i∈I

u_i+X

i∈I

v_i. Inversement, siX

i∈I

(u_i+v_i)= +∞, il n’y a rien à prouver.

Sinon, puisque pour touti ∈I, 06ui 6ui +vi et 06vi 6ui +vi, alors les deux autres sommes sont également finies.

Les sommesX i∈J

u_ipour J ∈Pf(I)sont majorées par

X

i∈I

(ui+vi)<+∞.

Détails

Fixons alorsε >0, et soitJu ∈Pf(I)telle que X

i∈Ju

ui >X

i∈I

ui−ε.

Et de même, il existeJ_v ∈Pf(I)telle que X

i∈Jv

v_i >X

i∈I

v_i−ε.

L’existence d’un telJuest garantie par la caractérisation des bornes supérieures (dans R).

Détails

Soit alorsJ=J_u∪J_v. PuisqueJ_u ⊂J, on a X

i∈I

u_i −ε6 X

i∈Ju

u_i 6X

i∈J

u_i.

Et de mêmeX

i∈I

vi−ε 6X

i∈J

vi. Et donc

X

i∈I

(ui +vi)−2ε 6X

i∈J

ui +X

i∈J

vi 6X

i∈I

ui+X

i∈I

vi. Ceci étant vrai pour toutε>0,X

i∈I

(u_i +v_i)6X

i∈I

u_i +X

i∈I

v_i.

Corollaire 34.5 –Avec les hypothèses précédentes :

1. siλ>0, alors(ui)i∈I est sommable si et seulement si(λui)i∈I est sommable.

2. (ui +vi)i∈I est sommable si et seulement si(ui)i∈I et(vi)i∈I le sont.

Démonstration. Pour le second point, il suffit de noter qu’une somme de deux éléments de [0,+∞]est un réel si et seulement si les deux termes de la somme sont des réels.

Remarque. Ce dernier point est déjà une différence avec les séries, car nous savons que la somme de deux séries divergentes peut être convergente.

Ce que dit la proposition précédente, lorsqueI =N, c’est qu’un tel cas de figure n’est pas possible s’il s’agit de deux séries à termes positifs.

34.1.4 Sommation par paquets

Proposition 34.6 :Soit J une partie deI, et soit(u_i)i∈I une famille de réels positifs indexée parI. AlorsX

i∈J

ui 6X

i∈I

ui.

En particulier, si(ui)i∈I est sommable, alors(ui)i∈J l’est.

Démonstration. Une partie finie deJ est une partie finie deI.

Proposition 34.7 :SoitIun ensemble, et soientI₁,I₂deux ensembles non vides disjoints

tels queI =I₁∪I₂. On se donne une partition de

I.

Autrement dit Soit alors(ui)i∈I une famille de réels positifs indexée parI. AlorsX

i∈I

ui =X

i∈I₁

ui+X

i∈I₂

ui. En particulier,(ui)i∈I est sommable si et seulement si(ui)i∈I₁ et(ui)i∈I₂ le sont.

Démonstration. Notons, pour touti∈I, v_i =1I₁(i)u_i =







ui sii ∈I₁

0 sinon etw_i =1I₂(i)u_i =







ui sii ∈I₂ 0 sinon . Alorsui =vi +wi.

On a alors









 X

i∈J

ui,J ∈Pf(I₁)











=







 X

i∈J

vi,J ∈Pf(I)











Pour toute partie finieJdeI, X

i∈J

v_i est égale à

X

i∈J∩I₁ ui.

Détails

si bien que par passage à la borne supérieureX

i∈I₁

ui =X

i∈I

vi. Et de même,X

i∈I₂

ui =X

i∈I

wi.

Par la proposition précédente, on a donc X

i∈I

u_i =X

i∈I

v_i +X

i∈I

w_i =X

i∈I₁

u_i +X

i∈I₂

u_i.

Remarque. Le résultat s’étend sans difficulté par récurrence à une partitionfiniedeI sous la formeI =I₁∪I₂∪ · · · ∪In, les ensembles étant deux à deux disjoints.

Exemple 34.8

Admettons que ⁺

∞

X

n=1

1 n⁴ =π⁴

90. Ce résultat a été prouvé dans

le dernier DS.

Remarque

En d’autres termes, cela signifie que X

n∈N^∗

1 n⁴ =π⁴

90.

MaisN^∗=A₁∪A₂, avecA₁={2k,k ∈N^∗}etA₂={2k+1,k∈N}.

Donc X

p∈A1

1 p⁴ + X

p∈A2

1 p⁴ =π⁴

90.

Maisk7→2kest une bijection deN^∗surA₁, si bien que X

p∈A₁

1 p⁴ = X

n∈N^∗

1 (2n)⁴ = 1

16 X

n∈N^∗

1 n⁴. Et donc X

p∈A₂

1 p⁴ = X

p∈N^∗

1 p⁴− X

p∈A₁

1 p⁴ = 15

16 π⁴ 90 =π⁴

96. Ce qui s’écrit encore⁺

∞

X

n=1

1

(2n−1)⁴ =π⁴ 96.

Dans la suite, on étend un peu le cadre utilisé précédemment, en s’autorisant à considérer des sommes d’éléments de[0,+∞], éventuellement égaux à+∞.

Dans ce cas, si(ui)i∈I est une famille d’éléments de[0,+∞]indexée parI, et si il existei ∈I tel queui = +∞, alors on poseX

i∈I

ui = +∞.

Théorème 34.9 (Théorème de sommation par paquets) :SoitI un ensemble, et soit{I_k,k ∈K}une partition deI.

Soit(ui)i∈I une famille de réels positifs. Alors X

i∈I

ui =X

k∈K

* . ,

X

i∈I_k

ui+ / - .

Remarque. L’intuition est assez simple : on a partitionnéI en «petits paquets», qui sont les I_k.

Pour calculer la somme surI, il suffit de le faire pour chaque paquet, puis de sommer les

«petites» sommes^{10 10}Les sommes sur chaque

paquet.

ainsi obtenues.

Démonstration. SoitL∈Pf(K). Alors par la proposition précédente^{11 11}Et surtout la remarque qui la suit.

,

X

k∈L

* . ,

X

i∈I_k

ui+ / -

= X

i∈S k∈LI_k

ui 6X

i∈I

ui.

Et donc déjà,X

k∈K

X

i∈I_k

ui 6X

i∈I

ui.

Inversement, pourJ ∈Pf(I),K_J ={k ∈K|J∩I_k ,∅}est fini.

Et par conséquent,

X

i∈J

u_i 6 X

k∈KJ

* . ,

X

i∈Ik

u_i+ / -

6 X

k∈K

X

i∈Ik

u_i.

Et doncX

i∈I

u_i 6X

k∈K

X

i∈Ik

u_i.

Corollaire 34.10 :Avec les hypothèses précédentes, la famille(u_i)i∈I est sommable si et seulement si :

1. pour toutk ∈K,(u_i)i∈Ik est sommable 2. la famille*

. ,

X

i∈Ik

u_i+ / -^k∈K

est sommable.

Démonstration. ⇒ Si (u_i)i∈I est sommable, nous avons déjà dit que pour toutk ∈ K, (u_i)i∈Ik l’est, et puisque

X

k∈K

X

i∈I_k

ui =X

i∈I

ui <+∞

la famille des* . ,

X

i∈I_k

u_i+ / -^k∈K

est sommable.

⇐ Inversement, on suppose donc que X

k∈K

X

i∈I_k

ui < +∞, et donc par le théorème de sommation par paquets,X

i∈I

u_i <+∞, si bien que(u_i)i∈I est sommable.

Exemple 34.11

•PrenonsI =N×N, et pour(m,n)∈N×N,u_m,n = 2^m m!n!.

m n

I

₀

I

₁

I

₂

Alors si on pose

In ={(m,n),m∈N}

on a bienI = [

n∈N

In, avec les I_ndeux à deux disjoints.

Pourn ∈ N,(u_i)i∈In est sommable car X

(m,n)∈I_n

u_m,n = X

m∈N

2^m m!n! = 1

n!

X

m

2^m m! est sommable puisque ⁺

∞

X

m=0

2^m m! =e². On a donc X

(m,n)∈In

u_m,n =e² n!. Mais alorsX

n

e² n! =

+∞

X

n=0

e²

n! =e²e=e³.

Donc X

(m,n)∈N×N

u_m,n=e³, et en particulier,(u_m,n)₍m,n)∈N×N est sommable.

•Toujours avecI =N×N, posonsum,n = 1 (m+n)!.

Les «paquets» employés à la question précédente ne sont probablement pas pertinents ici, puisqu’on ne saura pas calculer, ànfixé, X

m∈N

1 (m+n)!.

m n

I

₀

I

₁

I

₂

I

₃

Posons cette fois, pourk ∈N I_k ={(m,n)∈N×N:m+n=k} On a bienI = [

k∈N

Ik, avec lesIk

deux à deux disjoints. Notons que cette fois, lesIksont finis.

Pourk ∈N, la famille(u_m,n)₍m,n)∈I_k est sommable car elle est finie. De plus, ^{On a Card(Ik)=k+1, ce}

dont on se convainc facile- ment sur le dessin.

X

(m,n)∈Ik

1

(m+n)! = X

(m,n)∈Ik

1

k!= Card(Ik)

k! =k+1 k! . Ensuite, la sérieX

k

k+1 k! =X

k

1 (k−1)!+ 1

k!

!

est convergente, donc la famille (u_m,n)₍m,n)∈N×Nest sommable, et

X

(m,n)∈N×N

1

(m+n)! =X

k∈N

* . ,

X

(m,n)∈I_k

1 (m+n)!+

/ -

=

+∞

X

k=0

1 (k−1)!+ 1

k!

!

=2e.

Même sans pouvoir calculer la somme, un des intérêts de ce résultat est de pouvoir étudier la sommabilité d’une famille.

Exemple 34.12

Pour(p,q)∈N^∗×N^∗, posonsup,q = 1 (p+q)³.

Pourk >2, notonsI_k ={(p,q)∈N^∗×N^∗|p+q=k}.

Alors pour toutk,Ikest fini de cardinalk−1, lesIk sont deux à deux disjoints, et

+∞

[

k=2

I_k=N^∗×N^∗.

LesI_kétant finis, la sommabilité de(u_p,q)₍p,q)∈Ik est triviale, mais de plus, pour tout k >2,

X

(p,q)∈I_k

u_p,q= X

(p,q)∈I_k

1

(p+q)³ = X

(p,q)∈I_k

1

k³ =k−1 k³ . Et puisque la série de terme général k−1

k³ ∼

k→+∞

1

k² converge, la famille (up,q)(p,q)∈N^∗×N^∗est sommable.

34.2 FAMILLES SOMMABLES DE NOMBRES COMPLEXES

Définition 34.13 –Soit(ui)i∈I une famille de complexes indexée parI.

On dit que la famille(u_i)i∈I estsommablesi la famille de réels positifs(|u_i|)i∈I est sommable.

Notons que dans le cas particulier oùI =N, la famille(un)n∈Nest sommable si et seulement si X

n∈N

|u_n| < +∞, soit si et seulement si la série de terme généralu_n est absolument convergente.

Définition 34.14 –SoitKl’un des deux corpsRouC. On note`¹(I,K)l’ensemble des familles sommables indicées parI et à valeurs dansK.

34.2.1 Somme d’une famille sommable

Sixest un réel, on notex⁺=max(x,0)=









x six >0

0 si x <0etx⁻=max(−x,0)=









−x si x <0 0 si x >0. Ainsi,x⁺etx⁻sont deux réels positifs, et on a toujoursx =x⁺−x⁻et|x|=x⁺+x⁻.

Proposition 34.15 :Soit(ui)i∈I une famille deréels.

Alors(ui)i∈I est sommable si et seulement si les familles (positives)(u⁺_i)i∈I et(u⁻_i)i∈I sont sommables.

Démonstration. ⇒. Si(u_i)i∈I est sommable. On a, pour touti∈I, et toutJ ∈Pf(I), X

i∈J

u_i⁺6X

i∈J

|ui|6X

i∈I

|ui|<+∞

et de même pourX

i∈J

u_i⁻.

⇐ . Si(u⁺_i)i∈I et(u_i⁻)i∈I sont sommables, alors(|ui|)i∈I = u_i⁺+u_i⁻

i∈I est sommable.

Définition 34.16 –Soit(ui)i∈I une famille sommable deréels.

On pose alorsX

i∈I

ui =X

i∈I

u_i⁺−X

i∈I

u_i⁻.

Dans le cas particulier où I = N, les deux séries¹² de termes générauxu_n⁺ etu_n⁻ sont ¹²À termes positifs.

convergentes.

Et on a alors X

n∈N

u_n =X

n∈N

u⁺_n−X

n∈N

u⁻_n = ⁺

∞

X

n=0

u_n⁺−

+∞

X

n=0

u_n⁻=⁺

∞

X

n=0

(u_n⁺−u⁻_n)= ⁺

∞

X

n=0

u_n.

Notons que dans le cas où la série de terme général|un|diverge, on ne donne pas de sens à la notationX

n∈N

un, alors que la notation ⁺

∞

X

n=0

un peut éventuellement en avoir un, si la série de terme généralun converge.

Donc par exemple, X

n∈N

(−1)ⁿ

n+1 n’est pas défini, alors que ⁺

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 existe¹³, par le critère ¹³Et vaut ln(2).

des séries alternées.

En revanche, X

n∈N

(−1)ⁿ

n! existe puisque la série de terme général (−1)ⁿ

n! est absolument convergente, et on a

X

n∈N

(−1)ⁿ n! = ⁺

∞

X

n=0

(−1)ⁿ n! =e⁻¹.

Proposition 34.17 :Soit(ui)i∈I une famille sommable de nombres complexes.

Alors les familles(Re(ui))i∈I et(Im(ui))i∈I sont sommables.

Démonstration. Adapter la preuve donnée pouru⁺_i etu⁻_i en notant que pour touti ∈ I,

06|Re(ui)|6|ui|et|Im(ui)|6|ui|.

Définition 34.18 –Soit(uj)j∈I une famille sommable de nombres complexes.

On pose alorsX

j∈I

uj =X

j∈J

Re(uj)+iX

j∈J

Im(uj).

Nous avons du (à regret) abandonneripour nos in- dices, afin de le réserver à la racine carrée de−1 dont nous avons l’habitude.

Notations

Encore une fois, dans le cas oùI =N, et où la série de terme généralunest absolument convergente, on retrouve X

n∈N

un =⁺

∞

X

n=0

un.

34.2.2 Propriétés de la somme

Proposition 34.19 :Soitσ:I₁→I₂une bijection entre deux ensembles, et(ui)i∈I₂ une famille de complexes.

Alors(ui)i∈I₂ est sommable si et seulement si(uσ(i))i∈I₁ est sommable, et si c’est le cas, X

i∈I₂

ui =X

i∈I₁

u_σ(i).

Démonstration. Commençons par le cas d’une famille réelle.

Alors(u_i)i∈I2 est sommable si et seulement si(u_i⁺)i∈I2et(u⁻_i)i∈I2 le sont.

Mais nous savons^{14 14}Il s’agit de familles de réels

positifs.

que c’est le cas si et seulement si(u⁺_σ

(i))i∈I₁et(u_σ⁻

(i))i∈I₁ sont sommables.

Soit si et seulement si(uσ(i))i∈I₁ est sommable, et dans ce cas, X

i∈I₂

ui =X

i∈I₂

u⁺_i −X

i∈I₂

u⁻_i =X

i∈I₁

u_σ⁺_(i)−X

i∈I₁

u_σ⁻_(i)=X

i∈I₁

uσ(i).

La preuve est alors la même pour les familles de complexes en séparant partie réelle et

partie imaginaire.

Corollaire 34.20 –Si (un) ∈ C^N est tel que la série de terme généralun converge absolument, alors pour toute permutationσ :N→N, la série de terme généralu_σ(n)est encore absolument convergente, et

+∞

X

n=0

u_σ(n)=

+∞

X

n=0

u_n.

Démonstration. C’est le cas particulier oùI₁=I₂=N.

Proposition 34.21 :Soit(u_i)i∈I une famille sommable de complexes, et soitε>0.

Alors il existe une partie finieJ_ε deI telle que pour tout J∈Pf(I),

Jε ⊂J⇒

X

i∈I

ui−X

i∈J

ui

<ε.

Démonstration. Dans le cas d’une famille de réels positifs, cela a déjà été mentionné, et c’est essentiellement la caractérisation epsilonesque de la borne supérieure.

Supposons à présent que(ui)i∈I est une famille sommable de réels.

Alors il existe une partie finieJ_ε⁺deI telle que

∀J ∈Pf(I),J_ε⁺ ⊂J⇒

X

i∈J

u⁺_i −X

i∈I

u_i⁺

< ε 2. Et de même, il existeJ_ε⁻∈Pf(I)telle que

∀J ∈Pf(I),J_ε⁻ ⊂J⇒

X

i∈J

u⁻_i −X

i∈I

u_i⁻

< ε 2. Soit doncJ_ε =J_ε⁺∪J_ε⁻, et soitJ ∈Pf(I)tel queJ_ε ⊂J.

Alors

X

i∈J

ui −X

i∈I

ui

=

X

i∈J

u_i⁺−X

i∈I

u_i⁺+X

i∈J

u_i⁻−X

i∈I

u_i⁻ 6

X

i∈J

u_i⁺−X

i∈I

u_i⁺

+

X

i∈J

u_i⁻−X

i∈I

u⁻_i

< ε 2+ε

2 6ε.

Dans le cas d’une famille de complexes, la preuve est la même en séparant partie réelle et

partie imaginaire.

Remarque. Ce résultat est en réalité une caractérisation assez intuitive de la somme : elle nous dit que pour une partie finie «suffisamment grande» deI, la somme finie est suffisam- ment proche de la somme de la famille.

On pourrait en fait prouver que(u_i)i∈I est sommable si et seulement si il existe un réel/un complexeS tel que pour toutε >0, il existeJε ∈Pf(I)tel pour toutJ ∈Pf(I)tel que Jε ⊂J, alors

X

i∈J

ui −S

6ε.

On montrerait alors qu’un tel réel/complexeS, lorsqu’il existe est unique, et donc est bien X

i∈I

ui.

Proposition 34.22 (Inégalité triangulaire) :Soit(ui)i∈I une famille sommable de nombres complexes. Alors

X

i∈I

u_i

6X

i∈I

|u_i|.

Démonstration. Pourn∈N^∗, posonsεn =1

n. Alors il existeJn ∈Pf(I)telle que pour tout J ∈Pf(I),Jn ⊂J ⇒

X

i∈J

ui −X

i∈I

ui

6εn.

De même, il existeJ_n⁰ ∈Pf(I)tel que pourJ ⊂J_n⁰,X

i∈J

|u_i|>X

i∈I

|u_i|−ε_n.

Puisqu’il s’agit cette fois d’une famille à termes posi- tifs, on n’a pas besoin de la proposition précédente, mais seulement des propriétés de la borne sup dansR.

Remarque

Notons alorsK_n =J_n∪J_n⁰, qui contient donc à la foisJ_net J_n⁰. Donc

X

i∈Kn

ui−X

i∈I

ui

6 1

n, si bien que, par le théorème des gendarmes,X

i∈I

ui = lim

n→+∞

X

i∈Kn

ui. Et de mêmeX

i∈I

|ui|= lim

n→+∞

X

i ∈Kn

|ui|. Et donc

X

i∈I

ui

=

nlim→+∞

X

i∈Kn

ui

= lim

n→+∞

X

i∈Kn

ui

.

Or, par inégalité triangulaire pour les sommes finies de réels/complexes, pour toutn∈N^∗,

X

i∈Kn

u_i

6 X

i∈Kn

|u_i|, si bien que par passage à la limite,

n→lim+∞

X

i∈K_n

ui

6_n→lim

+∞

X

i∈K_n

|ui|=X

i∈I

|ui|.

Enfin, on peut obtenir une propriété qui a l’air évidente, mais qui finalement nécessite un peu de travail :

Proposition 34.23 :Soient(u_i)i∈I et(v_i)i∈I deux familles sommables à valeurs dans K, avecK=RouK=C. Alors pour toutλ ∈K,(λu_i+v_i)i∈I est sommable, avec

X

i∈I

(λui+vi)=λX

i∈I

ui +X

i∈I

vi.

Démonstration. La sommabilité de(λui +vi)i∈I découle du fait que pouri ∈I,

|λui +vi|6|λ||ui|+|vi|.

Comme dans la preuve précédente^{15 15}Mais avec trois familles au

lieu de deux.

, on peut construire une suite(K_n)nde parties finies deItelles queX

i∈I

ui = lim

n→+∞

X

i∈Kn

ui,X

i∈I

vi = lim

n→+∞

X

i∈Kn

vi et aussi X

i∈I

(λu_i+v_i)=_n→lim

+∞

X

i∈Kn

(λu_i+v_i).

Et alors par linéarité des sommes finies, X

i∈I

(λui+vi)= lim

n→+∞

X

i∈Kn

(λui+vi)= lim

n→+∞

* . ,

λ X

i∈Kn

ui + X

i∈Kn

vi+ / -

=λX

i∈I

ui +X

i∈I

vi.

Corollaire 34.24 – L’ensemble `¹(I,K) est un sous-espace vectoriel de F(I,K), et l’application

s: `¹(I,K) −→ K (ui)i∈I 7−→ X

i∈I

ui

est une forme linéaire sur`¹(I,K).

34.2.3 Sommation par paquets

Le théorème de sommation par paquets reste valable pour calculer la somme d’une famille que l’on sait sommable.

Théorème 34.25 :Soit (ui)i∈I une famillesommable de nombres complexes, et soit {Ik,k ∈K}une partition deI. Alors :

1. pour toutk ∈K,(ui)i∈I_k est sommable 2. *

. ,

X

i∈I_k

ui+ / -^k∈K

est sommable

3. X

i∈I

u_i =X

k∈K

* . ,

X

i∈Ik

u_i+ / - .

B

Ce théorème nécessite de déjà savoir que la famille est sommable, et ne peut en aucun cas le prouver.

Pour prouver la sommabilité de cette famille, il est possible d’utiliser le théorème par paquets, version positive, appliqué à la famille(|ui|)i∈I.

Démonstration. Commençons par le cas d’une famille à valeurs réelles.

On a doncX

i∈I

u_i =X

i∈I

u⁺_i −X

i∈I

u⁻_i.

Mais les deux familles positives (u_i⁺)i∈I et (u⁻_i)i ∈I sont sommables, et le théorème de sommation par paquets nous donne

X

i∈I

u_i⁺=X

k∈K

X

i∈I_k

u_i⁺et X

i∈I

u⁻_i =X

k∈K

X

i∈I_k

u⁻_i.

Donc par linéarité de la somme, X

i∈I

ui =X

k∈K

* . ,

X

i∈I_k

u_i⁺−X

i∈I_k

u⁻_i+ / -

=X

k∈K

X

i∈I_k

ui.

On raisonne de même pour une famille à valeurs complexes en séparant partie réelle et

partie imaginaire.

Exemple 34.26

Considérons la famille e^2ikπn 2ⁿ

!

n,k∈N∗ n>k

. On a donc iciI ={(n,k)∈N^∗×N^∗|k<n}.

Alors pourn∈N^∗, posonsIn={(n,k),k ∈n1,n−1o}, de sorte queI =⁺

∞

[

n=2

In. PuisqueI_nest fini la convergence de X

(n,k)∈In

e^{2ik πn} 2ⁿ

= X

(n,k)∈In

1

2ⁿ est évidente.

Notons que cette somme vautn−1 2ⁿ . Et alors X

n>1

n−1

2ⁿ converge par application du critère de d’Alembert : n

2ⁿ⁺¹ 2ⁿ

n−1 =n−1 n

1 2 −→

n→+∞

1 2<1.

Donc par le théorème de sommation par paquets positif^{16 16}Il prouve la sommabilité des

e^{2ik πn} 2ⁿ

.

la famille e^2ikπn 2ⁿ

!

n,k∈N∗ n>k

est sommable.

On peut donc appliquer le théorème de sommation général, et ce avec les mêmes paquets :

X

(n,k)∈In

e^2ikπn 2ⁿ = 1

2ⁿ X

ω∈Un\{1}

ω = 1 2ⁿ *

. ,

X

ω∈Un

ω−1+ / -

=−1 2ⁿ. Et donc il vient,

X

n,k∈N∗ n>k

e^2ikπn 2ⁿ =⁺

∞

X

n=2

−1 2ⁿ =−1

2.

34.3 INTERVERSION DE SOMMES

Les résultats de cette partie viennent généraliser ceux des sommes finies, pour lesquelles nous avons l’habitude de permuter, lorsque ça nous arrange, deux symbolesX

.

34.3.1 Théorèmes de Fubini et séries doubles

Théorème 34.27 (Théorème de Fubini positif ) :Soit(u_i,j)₍i,j)∈I×J une famille de réels positifs indexée par un produit cartésienI×J. Alors

X

(i,j)∈I×J

ui,j =X

i∈I

* . ,

X

j∈J

ui,j+ / -

=X

j∈J

* ,

X

i∈I

ui,j+ - .

En particulier, la famille(ui,j)(i,j)∈I×J est sommable si et seulement si : 1. pour touti∈I,(ui,j)j∈J est sommable

2. * . ,

X

j∈J

ui,j+ / -^i∈I

est sommable.

Démonstration. C’est le théorème de sommation par paquets avec I×J=[

i∈I

{i}×J=[

j∈J

I×{j}.

Théorème 34.28 (Théorème de Fubini) :Soit(ui,j)(i,j)∈I×J ∈`¹(I×J,C).

On suppose donc la famille sommable. Ce qui peut se prouver à l’aide du théorème de Fubini positif appliqué aux

|ui,j|.

B Attention !

Alors X

(i,j)∈I×J

u_i,j =X

i∈I

* . ,

X

j∈J

u_i,j+ / -

=X

j∈J

* ,

X

i∈I

u_i,j+ - .

Démonstration. Là encore, c’est le théorème de sommation par paquets, qui s’applique

puisque la famille est sommable.