Orthodiagonalisabilité des endomorphismes auto-adjoints
Florian BOUGUET
Référence : GOURDON: Algèbre
Un développement facile mais intéressant sur la diagonalisabilité des endomorphismes auto-adjoints en base or- thonormée. On se placera ici dans le cas des matrices symétriques réelles, mais le développement s’adapte extrê- mement facilement au cas des matrices hermitiennes (en remplaçant transposée par transconjuguée).
Theorème 1 SoitS ∈Sn(R).
Alors∃Ω∈ On(R)telle queΩ−1SΩsoit diagonale réelle (en particulier, le spectre deSest réel).
Preuve du théorème 1 :
La preuve se fait en deux temps. Tout d’abord, montrons que le spectre deSest réel. Soitλune valeur propre de S(potentiellement complexe) etxun vecteur propre non-nul associé.
λkxk2 = < λx, x >=< Sx, x >=< x, STx >=< x, Sx >
= < x, λx >= ¯λkxk2
En divisant parkxk26= 0, on obtientλ= ¯λ, doncλ∈R, donc Sp(S)∈R.
Raisonnons maintenant par récurrence surn, en considérant sl’endomorphisme canoniquement associé à S. Si n = 1le résultat est évident. Supposons donc qu’un endomorphisme auto-adjoint soit orthodiagonalisable dans tout espace de dimension inférieure ou égale àn−1.
Soitλ ∈Sp(S), etxun vecteur propre non-nul associé ; notonsF =Vect(x).s|F est une homothétie de rapport λ, donc F est stable pars, et donc F⊥ est stable par s∗ = s, et s|F⊥ est évidemment auto-adjoint. Puisque dim(F⊥)=n−1,s|F⊥est orthodiagonalisable (par hypothèse de récurrence). Bref, dans une base orthonormale adaptée obtenue en concaténant les bases orthonormées "intéressantes" deF etF⊥,sest diagonale. Autrement dit en version matricielle,∃Ω∈ On(R)telle queΩ−1SΩsoit diagonale.
Corollaire 1 SoitS ∈Sn+(R).
Alors∃!R∈Sn+(R)telle queR2=S, et on noteR=√ S.
On peut ajouter queS∈Sn++(R)⇔√
S∈S++n (R).
Preuve du corollaire 1 :
SoitΩ∈ On(R)telle queΩ−1SΩ =D=diag(λi)où lesλisont des réels distincts (et positifs par hypothèse sur S). Notons√
D=diag(√
λi), et√
S= Ω√ DΩ−1.
(√
S)2= Ω√
DΩ−1Ω√
DΩ−1= Ω(√
D)2Ω−1= ΩDΩ−1=S (√
S)T = (Ω√
DΩ−1)T = Ω√
DΩT =√
S carΩT = Ω−1
On a donc bien existence de la racine carrée surS+n(R). Reste à montrer l’unicité. SoitR ∈ Sn+(R)telle que R2= (√
S)2=S. On va montrer queR=√
Sdéfinie plus haut.
Pour cela, notons respectivements, r,et√
sles endomorphismes canoniquement associés àS, R,et√
S. Si on noteEi= ker(s−λiId), on vient juste de construire√
scomme(√
s)|Ei =√ λiId.
retscommutent cars=r2. Donc lesEisont stables parret(r|Ei)2 =s|Ei. Siµest une valeur propre (donc réelle positive) der|Ei, on a forcémentµ2=λidoncµ=√
λi. De plus,r|Eiest auto-adjoint donc diagonalisable, donc
r|Ei=√
λiId= (√ s)|Ei D’oùR=√
S.
Corollaire 2
SoientS, R∈Sn(R).
SiSetRcommutent, alorsSetRsont simultanément orthodiagonalisables.
Preuve du corollaire 2 :
Notons respectivementsetrles endomorphismes canoniquement associés àSetR. Si on noteEi= ker(s−λiId) où lesλisont les valeurs propres distinctes des.
setrcommutent donc lesEi sont stables parr.r|Ei est auto-adjoint donc orthodiagonalisable. Donc∃Bi base orthonormée deEidans laquelles|Ei etr|Ei sont diagonaux. En concaténant lesBi, on obtient le résultat voulu.
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