Support de formation pour les enseignants stagiaires du secondaire

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Cours et TD de

Probabilite s et Statistique

Support de formation pour les enseignants stagiaires du secondaire

Document Préparé Par : Pr. Mohamed Chergui

Année de Formation 2018/2019

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TABLE DES MATIÈRES

Préambule 2

Objectifs . . . 2

Descriptif du module . . . 2

1 Analyse Combinatoire 4 1.1 Rappels . . . 4

1.2 Exercices . . . 5

1.3 Eléments de réponse . . . 6

2 Probabilités 7 2.1 Précis du cours . . . 7

2.2 Exercices . . . 8

2.3 Eléments de réponse . . . 10

3 Variables Aléatoires 11 3.1 Dénitions . . . 11

4 Lois Discrètes usuelles 16 5 Variables aléatoires à densité 20 6 Convergence 24 7 Statistique 28 7.1 Statistisue déscriptive . . . 28

7.1.1 Paramétres de forme . . . 28

7.1.2 Paramétres de Concentration . . . 28

7.2 Statistique bivariée . . . 28

7.3 Initiation aux tests statistiques . . . 28

7.3.1 Test de Khi-deux . . . 28

7.3.2 Test de Student . . . 28 1

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PRÉAMBULE

Ce module s'inscrit dans le cadre de la formation initiale des futurs enseignants de mathématiques dans le secondaire. Il vise à :

Identier ses besoins en formation.

Elaborer une stratégie pour remédier à ses lacunes.

Dans cette perspective, le présent cours cherche à perfectionner chez les futurs enseignants en formation initiale, les compétences disciplinaires relatives aux domaines des probabilités et de la statistique.

Objectifs

Maîtriser les notions probalistes et statistique enseignées au secondaire qualiant ;

Exploiter les outils probalistes dans la résolution de problèmes probalitstes au secondaire qualiant en tenant compte des orientations pédagogiques ;

Déterminer une stratégie de l'enseignement de la probabilité au secondaire qualiant en tenant compte des orientations pédagogiques.

S'approprier d'outils statistiques nécessaires pour mener une enquête ou une recherche.

Descriptif du module : Probabilités et Statistique

1. Outils d'analyse combinatoire Rappels sur le dénombrement

Etude de quelques situations de dénombrement Applications

2. Probabilités

Dénition axiomatique et propriétés Conditionnement et indépendance Cas discret

Application à des situations alétatoires 3. Variables aléatoires : Cas discret et Continu

Lois usuelles

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CRMEF - Kénitra Module: Complément de Formation A.F 2018/2019

Applications 4. Convergence 5. Statistique

Statistique déscriptive Statistique bivariée

Initiation aux tests statistiques

Prof M.Chergui 3 http://www.crmefk.ma

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CHAPITRE 1

ANALYSE COMBINATOIRE

1.1 Rappels

•Le dénombrement (ou encore Analyse combinatoire) sert à étudier et à dénombrer divers types de groupements qu'on peut faire à partir d'ensembles nis.

• Partition d'une ensemble :

Soit p ∈ N^∗ et A₁, ..., A_p des sous-ensembles d'un ensemble E ni ou non. On dira que P = (A₁, ..., A_p) est une partition de E lorsque :





A₁∪A₂∪. . .∪A_p =E

A₁, . . . , A_psont disjoints deux à deux

•On considère deux ensembles nisAetB. Le cardinal de A×B est égal au produit des cardinaux de A et deB :card(A×B) =card(A)×card(B) .

Cette dernière propriètè est à la base du principe multiplicatif suivant :

• Si une opération globale peut se décomposer en kopérations élémentaires successives, ces dernières pouvant s'eectuer respectivement den₁, n₂, ..., n_k manières, alors l'opération globale peut se faire de n₁×n₂×...×n_k manières diérentes.

• Tout classement ordonné de n éléments distincts est une permutation de ces n éléments. Il

y a n! permutations de n éléments distincts avec n! =n.(n−1).(n−2)...3.2.1

Le nombre de permutations que l'on peut consti- tuer si certains des éléments sont identiques est évi- demment plus petit que si tous les éléments sont distincts. Lorsque seuls k éléments sont distincts (k ≤ n), chacun d'eux apparaissant n1, n2, ..., n_k fois, avecn₁+n₂+...+n_k=netn_i ≥1, le nombre de permutations avec répétitions est : n!

n₁!n₂!. . . n_k!

•On obtient un arrangement de p éléments parmi n lorsqu'on choisit p éléments diérents parmi n éléments possibles en tenant compte de l'ordre dans lequel ils ont été choisis.

Le nombre d'arrangements de péléments distincts choisis parmin est

A^pn=n.(n−1).(n−2). . .(n−p+ 1) = n!

(n−p)!

• On appelle p-combinaison d'un ensemble E de cardinal ntout sous-ensemble deE de cardinalp.

SiCn^p est le nombre de combinaisons depéléments parmin, alorsA^p_n=C_n^p×p!.

Donc, C_n^p = A^p_n

p! = n!

(n−p)!p!.

C_n⁰ = C_nⁿ = 1 ; Aⁿ_n = n! ; C_n¹ = C_nⁿ⁻¹ = n A^pn= 0 si p > n

4

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1.2 Exercices

Exercice N^o1 n et m désignent des entiers naturels non nuls. À l'aide d'un raisonnement de dénombrement, retrouver sans calcul les propriétés suivantes :

- Sip≤nalorsCn^p =Cnⁿ⁻^p

- Si0≤p≤n−1 alors Cn^p =C_n^p⁻₋¹₁+C_n^p₋₁ (Formule de Pascal) - Si0≤p≤n−2 alors C_n^p =C_n^p⁻₋²₂+ 2C_n^p⁻₋¹₂+C_n^p₋₂

Exercice N^o2

1. En utilisant une situation de dénombrement,trouver les sommes suivantes : -

k=nX

k=1

C_n^k2

-

k=pX

k=0

C_n^k

C_m^p−k

(0≤p≤n+m)

2. Soientaetb deux nombres réels. Montrer que pour toutn∈N, (a+b)ⁿ=

k=nX

k=0

C_n^ka^kb^n−k

3. Applications :

- Déterminer,

k=nX

k=0

C_n^k ;

k=nX

k=2

k(k−1)C_n^k

- Montrer que (∀x >0) (∀n∈N^∗) (1 +x)ⁿ≥1 +xⁿ

- Démontrer que : 2ⁿ+ 1est divisible par 3 si et seulement sin est impair.

- Calculer

k=nX

k=0

1 k+ 1C_n^k Exercice N^o3

1. Combien d'angrammes peut-on former avec le mot (le plus long du français) : ANTICONSTITUTIONNELLEMENT

2. A l'aide des chires 1-2-3-4-5-6, combien peut-on former de nombres, - à 6 chires

- à 6 chires deux à deux diérents - à 6 chires supérieurs à 400000

- à 5 chires rangés en ordre strictement croissant

- à 6 chires comportant exactement trois fois le chire 5.

3. Soit un polygone convexe de n côtés. Combien a-t-il de diagonales ? (Une diagonale joint deux sommets non consécutifs)

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1.3 Eléments de réponse

Exercice N^o1

- Faire une combinaison àp-éléments parmn ⇐⇒à réaliser une combinaison den−p parmin.

- SoitE un ensemble ànéléments et on xe una∈E. Former une combinaison à péléments peut contenir a comme ça peut ne l'être. Le nombre de sous-ensembles qui contienent a est C_n^p⁻₋¹₁ et celui qui ne contiennent pasaest C_n^p₋₁. D'où le résultat.

- Le même raisonnement que le précédent, en xant cette fois-ci deux élémentsaetbd'un ensemble E.

Exercice N^o2 1.

k=nX

k=1

C_n^k2

=

k=nX

k=1

C_n^kC_nⁿ⁻^k=C_2nⁿ (Formule de Vandermonde).

2. Utiliser la même démarche que la question précédente.

3. Utiliser un raisonnement par récurrence.

4. On utilise la fonctionf(x) = (1 +x)ⁿ. - pour établir

k=nX

k=0

C_n^kdonner une valeur adéquate àx. Puis pour l'expression de

k=nX

k=2

k(k−1)C_n^k, on peut dériverf.

- (∀x >0) (∀n∈N^∗) (1 +x)ⁿ≥1 +xⁿ est immédiate par la formule du binôme de Newton.

- Ecrire2ⁿ+ 1 = (3−1)ⁿ+ 1puis développer le membre de droite par la formule du binôme de Newton.

- Le calcul

k=nX

k=0

1

k+ 1C_n^k, revient à déterminer une primitive de la fonctionf. Exercice N^o3

1. Il s'agit de permutations avec répétitions.

2. Décrire chaque cas avant de commencer le dénombrement.

3. Pour n≥4, le nombre de diagonales est n(n−3) 2

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CHAPITRE 2

PROBABILITÉS

2.1 Précis du cours

1. Langage probabiliste :

• Expérience aléatoire : expérience don- nant un résultat que l'on ne peut prévoir à l'avance.

•Univers des éventualités : ensemble de tous les résultats possibles (Généralement noté Ω ).

• Évènement : sous-ensemble deΩ.

• Evènements élémentaires : sous-ensembles de Ωcontenant une seule éventualité.

•Si E est un événement, son complémentaire E est l'évènement contraire.

• Deux évènements E1 etE2 sont incompa- tibles ou disjoints si E₁∩E₂ =∅.

•Un système complet d'événements est toute partition de Ω.

2. Dénition

Soit Ωun univers ni. Une probabilité sur Ωest une applicationP de P(Ω)) dans[0,1]

qui vérie les axiomes (dits de Kolmogorov) suivants :

1) P(Ω) = 1

2) pour tous événements A et B tels que A∩B =∅on a , P(A∪B) =P(A) +P(B). Dans ce cas, (Ω, P) s'appelle un espace pro- babilisé.

3. Propriétés : P(∅) = 0

P(A) = 1−P(A)

A⊂B =⇒P(A)≤P(B)

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) Si A1, ...An, sont deux à deux incompa-

tibles alors P(A₁ ∪...∪A_n) = P(A₁) + P(A₂) +. . .+P(A_n).

Si (A_i)_1≤i≤n) est un système complet d'événement alors,

. P(A1) +P(A2) +. . .+P(An) = 1 .Pour tout événementB,P(B) =P(A₁∩ B) +....+P(A_n∩B)

Pour tout ω de Ω , on pose p_ω =P({ω}). On a,

. X

ω∈Ω

pω = 1

. Pour tout A⊂ΩalorsP(A) =X

ω∈A

pω

Cas de l'équiprobabilité :On dit qu'on est dans le cas d'équiprobabilité quand l'univers est ni et que tous les évènements élémen- taires ont la même probabilité. Dans ce cas, Pour toutω deΩ,p_ω = 1

cardΩ et pour tout évènementA,P(A) = cardA

cardΩ.

4. Probabilités conditionnelles . Dénition : 7

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Soit A un événement tel que P(A) 6= 0. La probabilité de B sachant A est P_A(B) =

P(A∩B) P(A) . . Propriètès :

• L'application





p_A:P(ω)−→[0; 1]

B 7−→P_A(B) est une probabilité surΩ.

• Pour tous A, B,

P(A∩B) = P_A(B)×P(A)siP(A)6= 0

= P_B(A)×P(B)siP(B)6= 0

• Formule des probabilités totales : Soit (A_i)_1≤i≤nun système complet d'événements tels que pour tout 1 ≤ i ≤ n, P(A_i) 6= 0. Pour tout B ∈ P(Ω),

P(B) = Xi=n i=1

P(A_i)×P_A_i(B).

En particulier si P(A) 6= 0 et P(A) 6= 0 alors,

P(B) =P_A(B)×P(A) +P_A(B)×P(A)

• Formule de Bayes : Soit (A_i)₁_≤_i_≤_n un sys- tème complet d'événements tels que pour tout 1 ≤ i ≤ n, P(A_i) 6= 0. Pour tout B ∈ P(Ω)tel que P(B 6= 0,

PB(Ai) = P_A_i(B)×P(A_i) Xi=n

i=1

P(Ai)×P_A_i(B) .

5. Indépendance d'événements . Dénitions : A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) =P(A)×P(B).

A₁, ..., A_nsont deux à deux indépendants ssi pour tousi6=j A_i etA_j sont indépendants.

A1, ..., An sont indépendants ssi

∀I ⊂[|1;n|], P \

i∈I

A_i

!

=Y

i∈I

P(A_i)

. Propriètès : Si A et B sont indépendants, alorsA etB, A etB,A et B sont indépen- dants.

2.2 Exercices

Exercice N^o1

1. SoientA₁, A₂, ..., A_n des événements (n∈N^∗). Montrer que,

P(A₁∩A₂∩...∩A_n) =P(A₁)×P_A₁(A₂)×...×P_A₁_∩A₂_...∩A_n−1(A_n) 2. Soient deux événementsA etB deux événements. Montrer les équivalences suivantes :

A et B sont indépendants ⇐⇒ AetB sont indépendants.

⇐⇒ AetB sont indépendants.

⇐⇒ A etB sont indépendants.

Exercice N^o2

1. Une urne contientn boules noires etnboules blanches, avec (n≥4).

(a) On eectue dans cette urne le tirage simultané de 4 boules. Calculerp_nla probabilité d'avoir deux couleurs diérentes. Que vaut lim

n↑+∞p_n?

(b) On suppose maintenant qu'on tire 4 boules successivement et avec remise. Calculer la pro- babilité d'avoir les deux couleurs.

2. Une urne contient2cartes rouges et3cartes jaunes. On eectue2ntirage de l'urne sucsseivement et avec remise.Quelle est la probabilité que l'apparition de lan^èmecarte rouge soit au2n^èmetirage.

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3. Dans une population 35% des individus sont fumeurs, et parmi ceux-ci 75% sont porteurs d'une maladie M et parmi les autres, 30% sont porteurs de la maladie M. On choisit aléatoirement un individu de cette population. Quelle est la probabilité :

(a) Qu'il soit porteur de la malatie M

(b) Qu'il soit fumeur s'il est porteur de la maladie M.

Exercice N^o3 La probabilité est un outil pour la prise de décision.

la proportion des boules blanches dans une urne A est 0,1 et dans l'urne B est 0,2. Un premier joueur eectue des tirages dans l'urne A et un deuxième dans l'urne B. Ils tirent une boule à tour de rôle dans leur urne en commençant par le premier joueur. Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur tire un boule blanche et il sera declaré gagnant.

1. Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne à son n^ème tirage ? 2. Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne ?

3. Quelle est la probabilité que le deuxième joueur gagne ?

4. On conserve la proportion des boules blanches dans l' urne A inchangée. Quelle doit être la proportion des boules blanches dans l' urne B pour que le jeu soit équitable ?

Exercice N^o4 On dispose de 2 urnes : l'urneU₁ contient 3 boules blanches et deux boules rouges et l'urneU₂ contient 2 boules blanches et 6 boules rouges. On eectue des tirages successifs et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : le premier tirage s'eectue dans l'urneU1, puis si le tirage a donné une boule rouge alors le tirage suivant s'eectue dans la même urne, sinon on change d'urne.

Soit n∈N^∗, on pose A_n l'événement : " le n^ièmetirage se fait dans l'urne U₁ " et p_n=P(A_n) . Ecrirep_n+1 en fonction dep_n puis donner p_n en fonction den.

Exercice N^o5 Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante : X s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;

X s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On note p_n la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et q_n, la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose quep0 = 0 et q₀ = 1.

1. Calculerp1 etq1.

2. On dénit les matrices M et, pour tout entier naturel n, X_n par, M = 0,9 0,4 0,1 0,6

!

etX_n= pn

q_n

!

A= 0,8 0,8 0,2 0,2

!

etB= 0,2 −0,8

−0,2 0,8

! .

(a) Montrer que X_n+1=M×X_n et que, pour tout entier natureln, X_n=Mⁿ×X₀. (b) Vérier que M =A+ 0,5B et queA×B =B×A= 0 0

0 0

!

(c) Démontrer que pour tout entier natureln strictement positif,Aⁿ=A etBⁿ=B. (d) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mⁿ=A+ 0,5ⁿB.

(e) En déduire que, pour tout entier naturel n, p_n= 0,8−0,8×0,5ⁿ.

(f) À long terme, peut-on armer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

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