Université Hassan II – Casablanca
Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales de Mohammedia.
Semestre 2 : Probabilités Professeurs : NACIRI, SMOUNI et OUIA
EXAMEN DE PROBABILITES Session de mai 2018
Durée : 1h30mn
Exercice 1
On lance deux dés équilibrés. Soit X la variable aléatoire qui désigne la somme des résultats obtenus par les deux dés.
1 – Donner la loi de probabilité de X, E(X) et V(X).
2 – Quelle est la probabilité que X soit inférieure à 10 ?
3 – Soit Y une variable aléatoire, avec Y = ‖X – 9‖. Donner la loi de probabilité de Y.
Solution
1 – Soit X : « la somme des résultats obtenus par les deux dés ».
Les valeurs possibles de X sont les nombres : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.
Loi de probabilité de X : P(X=xi)
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑pi
Pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36
2 – Calcul de l’espérance mathématique et de la variance :
E(X) = ∑xiP(X=xi)
E(X) = 252/36
V(X)=E(X²) – E(X)²
V(X) =1974/36 – (252/36)²
V(X) = 1974/36 – 1764/36= 210/36.
3 – P(X<10)= P(X=1)+ P(X=2)+………+P(X=9)= 30/36.
4 – Soit Y la variable aléatoire telle que Y = ‖X - 9‖
Les valeurs possibles de Y sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
Loi de probabilité de Y :
Y 0 1 2 3 4 5 6 7 ∑pi Pi 4/36 8/36 8/36 6/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36
P(Y=0) = P(X=9) = 4/36
P(Y=1) = P(X=8) + P(X=10) = 5/36+3/36 = 8/36
P(Y=2) = P(X=7) + P(X=11) = 6/36+2/36 = 8/36
P(Y=3) = P(X=6) + P(X=12) = 5/36+1/36 = 6/36
P(Y=4) = P(X=5) = 4/36
P(Y=5) = P(X=4) = 3/36
P(Y=6) = P(X=3) = 2/36
P(Y=7) = P(X=2) = 1/36
Exercice 2
Soient trois urnes A, B et C qui contiennent deux boules blanches et trois rouges pour A, trois blanches et trois noires pour B ; quatre blanches et quatre rouges pour C.
On tire une boule au hasard de l’une des trois urnes. Chaque urne a la même probabilité d’être choisie pour effectuer le tirage.
1- Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ? 2- Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
3- Sachant que la boule tirée est blanche, calculer la probabilité qu’elle soit tirée de l’urne A.
Solution
Soient les événements suivants :
A : La boule est tirée de l’urne A ; B : La boule est tirée de l’urne B ; C : La boule est tirée de l’urne C.
Soient
Ba : « La boule tirée est blanche »
R : « La boule tirée est rouge »
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(Ba/A) = 2/5 ;
P(Ba/B) = 3/6 ;
P(Ba/C) = 4/8
P(R/B) = 3/5 ;
P(R/C) = 4/8.
1 – Calcul de la probabilité que la boule tirée soit blanche est P(Ba) :
P(Ba) = P[(A Ս B Ս C) Ո Ba)
P(Ba) = P(AՈBa) Ս P(BՈBa) Ս P(CՈ Ba) (0,5 point)
P(Ba) = P(AՈBa) + P(BՈBa) + P(CՈ Ba)
P(Ba) = P(A).P(Ba/A) P(B)/P(Ba/B) + P(C).P(Ba/C).
P(Ba) = 1/3. 2/5 + 1/3.3/6 + 1/3.4/8
⇒P(Ba) = 2/15 + 3/18 + 4/24 = 7/15
2 – La probabilité que la boule tirée soit rouge :
P(R) = P[(A Ս B Ս C) Ո R)
P(R) = P(AՈR) Ս P(CՈ R)
P(R) = P(AՈR) + P(CՈ R)
P(R) = P(A).P(R/A) + P(C).P(R/C)
P(R)= 1/3.3/5 + 1/3.4/8
P(R) = 3/15 + 4/24 = 11/35
3 – La probabilité que la boule blanche tirée soit de l’urne A :
P(A/Ba) = [P(AՈBa)]/P(Ba)
P(A/Ba) = [P(A).P(Ba/A)]/P(Ba)
P(A/Ba) = [1/3.2/5]/7/15
P(A/Ba) = 2/7
Exercice 3
Un revendeur de machines importe chaque mois 80 machines de type A. Il arrive à vendre chaque mois deux sur trois des machines importées.
1- Quelle est la loi de probabilité du nombre de machines vendues par mois ? Par quelle loi peut – on l’approximer ?
2- Quelle est la probabilité que les ventes soient comprises entre 40 et 60 machines ? 3- Quelle est le nombre de machines qui a une probabilité de 95% d’être vendu ?
4- Le prix de vente d'une machine est de 5000 dh. Le revendeur supporte un coût mensuel total de 200 000 de dirhams. Quelle est la probabilité pour qu’il réalise un bénéfice pour un mois?
5- Le revendeur importe également chaque mois 60 machines de type B. La probabilité de vendre une machine B est la même que celle de vendre une machine de type A.
a – Quelle est loi de probabilité du nombre total de machines vendues chaque mois?
b – Quelle est la probabilité de vendre en total plus de 100 machines par mois ?
Solution
1 – Soit X : Le nombre de machines de type A vendues par mois.
X suit une loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 2/3 = 0,67
⇒ X→B(80 ; 0,67)
La loi binomiale peut être approximée par une loi normale (n est grand et p est proche de 0,5).
Les paramètres de la loi normale sont : m = 53,6 et σ = 3,51
⇒ X→N(53,6 ;3,51)
2 – la probabilité que les ventes soient comprises entre 40 et 60 machines :
P(40<X<60) = P[((40-53,6)/3,51) < T < ((60-53,6)/3,51)]
P(40<X<60) = P(-3,87 < T < 1,82) = P(T < 1,82) – P(T < -3,87)
P(40<X<60) = P(T < 1,82) – [1 – P(T < 3,87)]
P(40<X<60) = 0,9656 – (1 – 1) = 0,9656
3 – Soit x le nombre de machines vendues qui a une probabilité de 95% d’être réalisé.
P(X<x) = 0,95
↔ P(T< (x- 53,6)/3,51) = 0,95
↔ (x- 53,6)/3,51) = 1,65
⇒ x = 59,39 = 60 machines
4 – Probabilité que le vendeur réalise un bénéfice est P(5000X-200000 > 0)
P(5000X-200000 > 0) = P(5000X> 200000/5000) (1 point)
P(5000X-200000 > 0) = P(X > 40) = 1 – P (T< (40-53,6)/3,51))
P(5000X-200000 > 0) = 1 – P(T < -3,87)
P(5000X-200000 > 0) = 1 – (1 – P(T < 3,87)) = 1
5– Soit Y la variable : le nombre de machines de type B vendues par mois.
Y suit une loi binomiale B(60 ; 0,67) qui peut être approximée par une loi normale N(40,2 ; 3,04).
a – Soit Z le nombre total de machines vendues par mois
Z = X + Y (0,5 point)
Z suit une loi normale de paramètres : - m = 53,6 + 40,2 = 93,8
- σ = √(3,51²+3,04²) = 4,64
Z→N(93,4 ;4,64) b –
P(Z>100) = 1 – P(T<(100-93,8)/4,64)
P(Z>100) = 1 – P(T<1,37)
P(Z>100) = 1 – 0,9147= 0,0853
