Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X.

(1)

Plan de la présentation du Chapitre III

Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X.

 Introduction

 Production des RX

 Analyse semi- quantitative, méthode de Rietveld

 Conditions de diffraction de Laue

 Conditions de diffraction d’ Ewald

 Conditions de diffraction de Bragg

 Facteur de structure F

_hkl

 Conditions d’extinctions

Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X.

 Introduction

 Production des RX

 Analyse semi- quantitative, méthode de Rietveld

 Conditions de diffraction de Laue

 Conditions de diffraction d’ Ewald

 Conditions de diffraction de Bragg

 Facteur de structure F

_hkl

 Conditions d’extinctions

03/11/2022 Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X 1

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Technique de base de la caractérisation des matériaux, la DRX permet la détermination des phases minérales micro et poly-cristallines des matériaux. Cette méthode n’est applicable qu’à des matériaux composés d’un nombre relativement important de cristaux aux orientations non préférentielles (céramiques, roches ..)

L'analyse des clichés et spectres de diffraction permet de déterminer les aspects géométrique et intensité du cristal (la structure cristalline).

Technique de base de la caractérisation des matériaux, la DRX permet la détermination des phases minérales micro et poly-cristallines des matériaux. Cette méthode n’est applicable qu’à des matériaux composés d’un nombre relativement important de cristaux aux orientations non préférentielles (céramiques, roches ..)

L'analyse des clichés et spectres de diffraction permet de déterminer les aspects géométrique et intensité du cristal (la structure cristalline).

Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X

2 03/11/2022

Introduction

(3)

3 03/11/2022

Introduction

A la sortie de l’enregistreur on obtient un diagramme de diffraction.

On note les valeurs des angles θ et on calcule Les distances inter réticulaires entre les plans réticulaires d_hkl d’une même famille. Pour chaque corps on obtient un ensemble de valeurs d_hkl caractéristiques de ce composé. Ces d_hkl comme une empreinte digitale , peuvent servir a identifier la substance. Pour chaque composé on établit une fiche analytique.

A la sortie de l’enregistreur on obtient un diagramme de diffraction.

On note les valeurs des angles θ et on calcule Les distances inter réticulaires entre les plans réticulaires d_hkl d’une même famille. Pour chaque corps on obtient un ensemble de valeurs d_hkl caractéristiques de ce composé. Ces d_hkl comme une empreinte digitale , peuvent servir a identifier la substance. Pour chaque composé on établit une fiche analytique.

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III-2- Production des RX

Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X ⁴

Les rayons-X sont des radiations électromagnétiques dont la longueur d’onde est de l’ordre de l’angström (1 Å = 10

^-10

m). Ils couvèrent la portion du spectre électromagnétique comprise entre l’ultraviolet et les rayons γ. Les rayons-X sont produite dans des tubes à vide. Où un faisceau d’électrons, accéléré par une différence de potentiel entre un filament (W; Fe; Cu; Co; Ni ) (Cathode) qui émet les électrons (sous l’effet du chauffage) et une pièce métallique. Vient frapper une pièce de métal qui émet le rayonnement X et de la chaleur sous l’effet du bombardement électronique. Il y aura à peu près 1% d’énergie qui se transforme en RX et l’autre quantité se transforme en chaleur, d’où la nécessité d’un circuit de refroidissement.

Les rayons-X sont des radiations électromagnétiques dont la longueur d’onde est de l’ordre de l’angström (1 Å = 10

^-10

m). Ils couvèrent la portion du spectre électromagnétique comprise entre l’ultraviolet et les rayons γ. Les rayons-X sont produite dans des tubes à vide. Où un faisceau d’électrons, accéléré par une différence de potentiel entre un filament (W; Fe; Cu; Co; Ni ) (Cathode) qui émet les électrons (sous l’effet du chauffage) et une pièce métallique. Vient frapper une pièce de métal qui émet le rayonnement X et de la chaleur sous l’effet du bombardement électronique. Il y aura à peu près 1% d’énergie qui se transforme en RX et l’autre quantité se transforme en chaleur, d’où la nécessité d’un circuit de refroidissement.

03/11/2022

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03/11/2022 Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X 5

III-2- Production des RX

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III-4- Méthode de diffraction sur poudre

La diffraction des rayons X sur poudre est la méthode la plus répondue pour caractériser les solides cristallisés.

Ils existent plusieurs techniques parmi lesquelles on a la chambre de Debye et Scherrer, Celle de Guinier de Wolf

…. Et la méthode à compteur qui est la plus utilisée actuellement.

Toutes les techniques de diffraction des RX sur poudre nécessitent l’utilisation d’un rayonnement x monochromatique.

La diffraction des rayons X sur poudre est la méthode la plus répondue pour caractériser les solides cristallisés.

Ils existent plusieurs techniques parmi lesquelles on a la chambre de Debye et Scherrer, Celle de Guinier de Wolf

…. Et la méthode à compteur qui est la plus utilisée actuellement.

Toutes les techniques de diffraction des RX sur poudre nécessitent l’utilisation d’un rayonnement x monochromatique.

Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X 6 03/11/2022

(7)

III-4-1- Diffractomètre à compteur

L’acquisition des données (I et θ) se fait par unité de contrôle et le traitement des diffractogrammes ou spectres s’effectue à l’aide des logiciels appropriés.

L’appareil de diffraction des RX sur poudre comprend :

Un goniomètre; - un détecteur; - Un amplificateur, - un système de comptage; - un enregistreur ou ordinateur; -un générateur de haute tension; - une source de rayons X (tube de rayons X : anticathode).

L’acquisition des données (I et θ) se fait par unité de contrôle et le traitement des diffractogrammes ou spectres s’effectue à l’aide des logiciels appropriés.

L’appareil de diffraction des RX sur poudre comprend :

Un goniomètre; - un détecteur; - Un amplificateur, - un système de comptage; - un enregistreur ou ordinateur; -un générateur de haute tension; - une source de rayons X (tube de rayons X : anticathode).

7 03/11/2022

(8)

03/11/2022 Chapitre III: Introduction à la diffraction

rayons X 8

(9)

La figure de diffraction est enregistrée sur un film photographique.

La poudre à analyser est placée dans un capillaire en verre appelé LINDEMANN ou pressée (à l’aide d’une colle) sous forme de bâtonnet.

L’échantillon (tube de Lindemann ou bâtonnet) est animé d’un mouvement de rotation.

La figure de diffraction est enregistrée sur un film photographique.

La poudre à analyser est placée dans un capillaire en verre appelé LINDEMANN ou pressée (à l’aide d’une colle) sous forme de bâtonnet.

L’échantillon (tube de Lindemann ou bâtonnet) est animé d’un mouvement de rotation.

Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X 9

03/11/2022

III-4- 2- Méthode de Debye et Scherrer

(10)

2xl=4Rθ (θ en radian), Le rayon de la chambre de D.R est choisi de telle maniére que la mesure en mm de la distance 2xl donne directement la valeur de l’angle de diffractionθ (angle de Bragg) en degré. Ainsi on a :

-2πR= 360 mm R=360/2π=57,3 mm

Dans ce cas on a évidement 1mm 1°.

-ou 2πR =180 mm R=180/2π=28,6 mm Dans ce cas on a évidement 1mm 2°.

2xl=4Rθ (θ en radian), Le rayon de la chambre de D.R est choisi de telle maniére que la mesure en mm de la distance 2xl donne directement la valeur de l’angle de diffractionθ (angle de Bragg) en degré. Ainsi on a :

-2πR= 360 mm R=360/2π=57,3 mm

Dans ce cas on a évidement 1mm 1°.

-ou 2πR =180 mm R=180/2π=28,6 mm Dans ce cas on a évidement 1mm 2°.

III-4-3- Méthode de Debye et Scherrer

(11)

Quel que soit le montage utilisé, la méthode de diffraction des RX sur poudre cristalline fournit une liste des distances inter réticulaires (d

_hkl

) mesurées associées à des intensités relatives I

_hkl

.

Cette liste est spécifique pour chaque composé cristallisé (empreinte digitale).

Les données de diffraction mesurées d

_hkl

et I

_hkl

peuvent être comparées aux fiches ASTM (American Society for Testing and Materials) de tous les composées connus ce qui permet l’identification des phases.

Remarque: cette méthode n’est pas applicable aux composés amorphes ou mal cristallisés.

Quel que soit le montage utilisé, la méthode de diffraction des RX sur poudre cristalline fournit une liste des distances inter réticulaires (d

_hkl

) mesurées associées à des intensités relatives I

_hkl

.

Cette liste est spécifique pour chaque composé cristallisé (empreinte digitale).

Les données de diffraction mesurées d

_hkl

et I

_hkl

peuvent être comparées aux fiches ASTM (American Society for Testing and Materials) de tous les composées connus ce qui permet l’identification des phases.

Remarque: cette méthode n’est pas applicable aux composés amorphes ou mal cristallisés.

03/11/2022

III-5- Application des diagrammes de diffraction des RX sur poudres

(12)

III-5-1- Exemple de fiche ASTM

L’identification des solides cristallisés constitue la principale application des diagrammes de diffraction des RX sur poudre.

Mais actuellement, on peut les utiliser pour l’affinement des structures cristallines (position des atomes) par la méthode de Rietveld. Cette dernière est basée sur l’étude des profils des rais de diffraction des RX ou des neutrons

L’identification des solides cristallisés constitue la principale application des diagrammes de diffraction des RX sur poudre.

Mais actuellement, on peut les utiliser

pour l’affinement des structures

cristallines (position des atomes) par la

méthode de Rietveld. Cette dernière

est basée sur l’étude des profils des

rais de diffraction des RX ou des

neutrons

(13)

Chaque phase caractérisée par un diffractogramme unique =empreinte caractérisée par: –position des raies

–intensité des raies

60000 phases dénombrées, collectées puis constituées en un fichier réactualisé chaque année

- 1941-1968: American Society for Testing and Materials (ASTM);

- Depuis 1968: Joint Comitte on Powder diffraction Standards (JCPDS).

Chaque phase caractérisée par un diffractogramme unique =empreinte caractérisée par: –position des raies

–intensité des raies

60000 phases dénombrées, collectées puis constituées en un fichier réactualisé chaque année

- 1941-1968: American Society for Testing and Materials (ASTM);

- Depuis 1968: Joint Comitte on Powder diffraction Standards (JCPDS).

III-5-2 Identification de phases

(14)

1ère étape: extraction d’un profil mathématique

Paramètres clefs qui permettent de définir le profil:

 Les paramètres de maille, ils imposent la position des pics de Bragg;

 Le décalage de zéro ou déplacement d’échantillon;

 Le bruit de fond. Il sera pointé ou modélisé à l’aide d’une fonction polynomiale du type y_i =SB_I (2q-2q₀)i. on choisira 2q_O. Les pôles du polynôme seront affinés.

 La fonction de profil qui en particulier est définie par la largeur à mi- hauteur (FWHM) de chaque pic.

2^emeétape:

 Affinement avec contrainte de maille (full pattern matching ou méthode de le Bail) Détermination d’un profil mathématique pour rendre compte du diffractogramme expérimental.

 Affinement de profil avec prise en compte du modèle structural.

Détermination du modèle structurale

 Analyse quantitative Programmes: Fullprof, GSAS, Java, Rietica….

1ère étape: extraction d’un profil mathématique

Paramètres clefs qui permettent de définir le profil:

 Les paramètres de maille, ils imposent la position des pics de Bragg;

 Le décalage de zéro ou déplacement d’échantillon;

 Le bruit de fond. Il sera pointé ou modélisé à l’aide d’une fonction polynomiale du type y_i =SB_I (2q-2q₀)i. on choisira 2q_O. Les pôles du polynôme seront affinés.

 La fonction de profil qui en particulier est définie par la largeur à mi- hauteur (FWHM) de chaque pic.

2^emeétape:

 Affinement avec contrainte de maille (full pattern matching ou méthode de le Bail) Détermination d’un profil mathématique pour rendre compte du diffractogramme expérimental.

 Affinement de profil avec prise en compte du modèle structural.

Détermination du modèle structurale

 Analyse quantitative Programmes: Fullprof, GSAS, Java, Rietica….

III-5-3 Méthode de Rietveld

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III-8- Diffraction des RX

On va considérer un cristal sur lequel tombe un RX. Il se produit le phénomène de diffusion. Tous les atomes du cristal vont recevoir l’onde incidente et vont devenir eux même des sources du rayonnement, ce qui va nous intéresser c’est l’onde résultante disant élémentaire et plus particulièrement l’amplitude. Les RX diffractés par deux atomes voisins produisent le phénomène d’interférence, si la différence de phase est quelconque il y aura une faible intensité, par contre toutes les phases émissent seront en phase, on parle d’interférence constructive qui nous permettrons d’avoir de forte intensité à interpréter.

Chapitre III: Introduction à la diffraction

rayons X 15

03/11/2022

(16)

03/11/2022

Conditions pour obtenir des interférences constructives:

conditions sur les positions respectives des différents composants du cristal et des rayonnements incident et diffractés

 condition de Laue

 condition d’Ewald

 condition de Bragg

Conditions pour obtenir des interférences constructives:

conditions sur les positions respectives des différents composants du cristal et des rayonnements incident et diffractés

 condition de Laue

 condition d’Ewald

 condition de Bragg

Interférences

:

(17)

03/11/2022

Conditions de LAUE:

On considère des nœuds du réseau alignés suivant une direction [100];

il y a diffraction si la différence de marche est multiple de la longueur d’onde:

Conditions de LAUE:

On considère des nœuds du réseau alignés suivant une direction [100];

il y a diffraction si la différence de marche est multiple de la longueur d’onde:

Conditions de diffraction

δ=a(cosα-cosα

₀

)=λ(

₁

-

₀

)=nλ avec p entier.

Ceci peut s’écrire: =p; =q et =r avec p, q, r entiers

Et plus généralement, le long d’une rangée [uvw]:

u+ v+ w =up+ vq+ wr=entier

K vecteur d’onde de norme 1/λ

δ=a(cosα-cosα

₀

)=λ(

₁

-

₀

)=nλ avec p entier.

Ceci peut s’écrire: =p; =q et =r avec p, q, r entiers

Et plus généralement, le long d’une rangée [uvw]:

u+ v+ w =up+ vq+ wr=entier

K vecteur d’onde de norme 1/λ

(18)

03/11/2022

Conditions de LAUE:

(u+ v+ w)=up+ vq+ wr=entier

Soit un vecteur du réseau réciproque définit par:

=h+k +l

et un vecteur de l’espace direct définit par:

=u+v+w

On obtient:. =hu+kv+lw=entier

Il est tentant de dire que :==

₁

-

₀

₁

=

₀

+

La condition de Laue devient: il y a diffraction ssi le vecteur de diffraction ∆k est un vecteur du réseau réciproque, ie les extrémités des vecteurs d’onde incident et diffractés ont des nœuds du réseau réciproque.

Conditions de LAUE:

(u+ v+ w)=up+ vq+ wr=entier

Soit un vecteur du réseau réciproque définit par:

=h+k +l

et un vecteur de l’espace direct définit par:

=u+v+w

On obtient:. =hu+kv+lw=entier

Il est tentant de dire que :==

₁

-

₀

₁

=

₀

+

La condition de Laue devient: il y a diffraction ssi le vecteur de diffraction ∆k est un vecteur du réseau réciproque, ie les extrémités des vecteurs d’onde incident et diffractés ont des nœuds du réseau réciproque.

Conditions de diffraction

(19)

03/11/2022

Conditions d’Ewald:

Les conditions de Laue ont été utilisées dans la construction d’Ewald pour expliquer géométriquement les pics maximums dans le spectre de diffraction.

Réflexion sélective sur les plans **(hkl) ssi le nœud [hkl]* du réseau réciproque se trouve sur la sphère d’Ewald.**

Conditions d’Ewald:

Les conditions de Laue ont été utilisées dans la construction d’Ewald pour expliquer géométriquement les pics maximums dans le spectre de diffraction.

Réflexion sélective sur les plans

**(hkl) ssi le nœud [hkl]* du réseau réciproque se trouve sur la sphère d’Ewald.**

Conditions de diffraction

(20)

Condition de Bragg:

On considère cette fois des plans réticulaires, réfléchissant les rayons X. Interférences constructives entre 2 faisceaux réfléchis par des plans successifs ssi la différence de marche est multiple de la longueur d’onde, d’où la loi de Bragg: nλ=2dsinθ

Condition de Bragg:

On considère cette fois des plans réticulaires, réfléchissant les rayons X. Interférences constructives entre 2 faisceaux réfléchis par des plans successifs ssi la différence de marche est multiple de la longueur d’onde, d’où la loi de Bragg: nλ=2dsinθ

rayons X 20

03/11/2022

Conditions de diffraction

(21)

III-7- Lois de Bragg

Cette formule est la base de la radiocristallographie. Selon les valeurs de d_hkl et θ. Il va se produire des réflexions qui pourront satisfaire à la relation de Bragg.

Il y a deux façons d’exploiter cette loi de Bragg :

- On peut utiliser une longueur d’onde λ connue , après on peut mesurer les angles de diffraction θ et ceci nous permettra de déterminer les distances inter réticulaires d_hkl et on pourra ensuite calculer les paramètres de la maille. C’est le principe de la radiocristallographie.

- On peut utiliser un système cristallin déjà connu c- à d les distances inter réticulaires sont déterminées d_hkl, on pourra par la suite déterminer et ca sera la base de la spectroscopie des RX.

Cette formule est la base de la radiocristallographie. Selon les valeurs de d_hkl et θ. Il va se produire des réflexions qui pourront satisfaire à la relation de Bragg.

Il y a deux façons d’exploiter cette loi de Bragg :

- On peut utiliser une longueur d’onde λ connue , après on peut mesurer les angles de diffraction θ et ceci nous permettra de déterminer les distances inter réticulaires d_hkl et on pourra ensuite calculer les paramètres de la maille. C’est le principe de la radiocristallographie.

- On peut utiliser un système cristallin déjà connu c- à d les distances inter réticulaires sont déterminées d_hkl, on pourra par la suite déterminer et ca sera la base de la spectroscopie des RX.

rayons X 21

03/11/2022

(22)

III-10- Facteur de structure

03/11/2022

L’expression simplifiée de l’intensité des RX diffractée par une famille de plan (hkl):

I_hkl = S j_hkl L_p A(θ)

S: Facteur d’échelle commun à toutes les réflexions; J_h: multiplicité; L_p: Facteur de Lorentz polarisation; A(θ): Correction d’absorption; F_h: Facteur de structure:

�_ℎ��= )

(x_j, y_j , z_j ) : coordonnées réduites de l’atome j dans la maille;

f_j : facteur de di usion atomique: ﬀ Pour de faibles valeurs d’angle de di raction ﬀ ( sinθ/λ petit) fj ≃ N_je le c t r o n

Loi de Friedel: On sait que I_hkl = S j_hkl L_p A(θ) =F_hklˣF^*_hkl avec �_ℎ��= )

On calcule F^*_hkl=F= )

De la même façons : F_hkl= F^* On calcule: I= F_ˣF* = F_hklˣF^*_hkl

I= I_hklLa di raction ﬀ ne détecte que les 11 classes de Laue

L’expression simplifiée de l’intensité des RX diffractée par une famille de plan (hkl):

I_hkl = S j_hkl L_p A(θ)

S: Facteur d’échelle commun à toutes les réflexions; J_h: multiplicité; L_p: Facteur de Lorentz polarisation; A(θ): Correction d’absorption; F_h: Facteur de structure:

�_ℎ��= )

(x_j, y_j , z_j ) : coordonnées réduites de l’atome j dans la maille;

f_j : facteur de di usion atomique: ﬀ Pour de faibles valeurs d’angle de di raction ﬀ ( sinθ/λ petit) fj ≃ N_je le c t r o n

Loi de Friedel: On sait que I_hkl = S j_hkl L_p A(θ) =F_hklˣF^*_hkl avec �_ℎ��= )

On calcule F^*_hkl=F= )

De la même façons : F_hkl= F^* On calcule: I= F_ˣF* = F_hklˣF^*_hkl

I= I_hklLa di raction ﬀ ne détecte que les 11 classes de Laue

(23)

L’amplitude diffusée par tout le cristal s’écrit : A= N a_e Avec = �_� + �_� + �_� et

La grandeur , est appelée facteur de structure, F_hklparce qu’elle ne dépend que du mode de distribution des atomes dans la maille.

F_hkl==

Ce qui donne l’expression finale du facteur de structure comme suit :

�_ℎ�� = ex)

La diffraction n’a lieu que dans les directions pour lesquelles les atomes d’une même famille diffusant en phase. F_hklexprime à la fois l’amplitude et la phase de l’onde résultante. L’intensité de l’onde est donnée par I=FF*=F². F n’a de sens que si on spécifie h, k, l. Comme F dépend de f et f dépend de λ alors F dépend de λ. NB: Si I#0 on aura diffraction si non I=0 on aura extinction.

L’amplitude diffusée par tout le cristal s’écrit : A= N a_e Avec = �_� + �_� + �_� et

La grandeur , est appelée facteur de structure, F_hklparce qu’elle ne dépend que du mode de distribution des atomes dans la maille.

F_hkl==

Ce qui donne l’expression finale du facteur de structure comme suit :

�_ℎ�� = ex)

La diffraction n’a lieu que dans les directions pour lesquelles les atomes d’une même famille diffusant en phase. F_hklexprime à la fois l’amplitude et la phase de l’onde résultante. L’intensité de l’onde est donnée par I=FF*=F². F n’a de sens que si on spécifie h, k, l. Comme F dépend de f et f dépend de λ alors F dépend de λ. NB: Si I#0 on aura diffraction si non I=0 on aura extinction.

03/11/2022

III-10- Facteur de structure �_��

(24)

La maille de cette structure contient deux atomes. Atome de l’origine de coordonnées (0,0,0) et l’atome du centre du cube de coordonnées (1/2,1/2,1/2).

�_ℎ�� =f[exp0 + �� ℎ � � =�( + + )] [1 + �� ℎ � �( + + )]

On étudie les conditions d’extinctions : �_ℎ�� = 0 �� _ℎ�� ≠ 0.

On rappelle que : ��  = + . et ��π = ��π + . � ��π=-1

�_ℎ�� = 0 : lorsque ( + + ) = −1 donc + + = ℎ � � ℎ � � 2� + 1 (nombre impair).

�_ℎ��≠ 0 : lorsque �� ℎ � � ( + + ) = 1 donc + + = ℎ � � 2� (nombre pair)

Donc on conclut que : pour la structure cubique centrée (cc), les plans qui ont la somme de leurs indices (hkl) impaire : + + = ℎ � � 2� + 1 ne diffractent pas.

ne dépend pas de la position des atomes, seulement des nœuds du RR est nul si h + k + l = 2n + 1. Pour un réseau I, les nœuds du RR tels que h + k + l= 2n + 1 n’existent pas

Exemples : (320), (120), (333), (111), etc………….. .

La maille de cette structure contient deux atomes. Atome de l’origine de coordonnées (0,0,0) et l’atome du centre du cube de coordonnées (1/2,1/2,1/2).

�_ℎ�� =f[exp0 + �� ℎ � � =�( + + )] [1 + �� ℎ � �( + + )]

On rappelle que : ��  = + . et ��π = ��π + . � ��π=-1

�_ℎ�� = 0 : lorsque ( + + ) = −1 donc + + = ℎ � � ℎ � � 2� + 1 (nombre impair).

�_ℎ��≠ 0 : lorsque �� ℎ � � ( + + ) = 1 donc + + = ℎ � � 2� (nombre pair)

Donc on conclut que : pour la structure cubique centrée (cc), les plans qui ont la somme de leurs indices (hkl) impaire : + + = ℎ � � 2� + 1 ne diffractent pas.

ne dépend pas de la position des atomes, seulement des nœuds du RR est nul si h + k + l = 2n + 1. Pour un réseau I, les nœuds du RR tels que h + k + l= 2n + 1 n’existent pas

Exemples : (320), (120), (333), (111), etc………….. .

03/11/2022

III-10- 1- Facteur de structure d’un réseau I

(25)

La maille de cette structure contient quatre atomes. Atome de l’origine de coordonnées (0,0,0) et les trois atomes les plus proches à l’atome de l’origine : l’atome de coordonnées (1/2,1/2,0) qui se trouve au centre du plan (xoy) ; l’atome de coordonnées (0,1/2,1/2) qui se trouve au centre du plan (yoz) ; l’atome de coordonnées (1/2,0,1/2) qui se trouve au centre du plan (xoz).

�_ℎ�� = [1 + ( + ) + + ) + ( + )]ℎ � (� � ℎ �

�_ℎ�� = 0 : lorsque ,ℎ � ��  sont de parité différente (mélange de pair et impair).

�_ℎ�� ≠ 0 : lorsque ,ℎ � ��  sont de même parité (tous paires ou bien tous impaires). Donc on conclut que : pour la structure cubique à faces centrées (cfc), les plans qui ont leurs indices (hkl) de parité différente ne diffractent pas.

Exemples : (221), (112), (132), (113), etc………….. .

La maille de cette structure contient quatre atomes. Atome de l’origine de coordonnées (0,0,0) et les trois atomes les plus proches à l’atome de l’origine : l’atome de coordonnées (1/2,1/2,0) qui se trouve au centre du plan (xoy) ; l’atome de coordonnées (0,1/2,1/2) qui se trouve au centre du plan (yoz) ; l’atome de coordonnées (1/2,0,1/2) qui se trouve au centre du plan (xoz).

�_ℎ�� = [1 + ( + ) + + ) + ( + )]ℎ � (� � ℎ �

�_ℎ�� = 0 : lorsque ,ℎ � ��  sont de parité différente (mélange de pair et impair).

�_ℎ�� ≠ 0 : lorsque ,ℎ � ��  sont de même parité (tous paires ou bien tous impaires). Donc on conclut que : pour la structure cubique à faces centrées (cfc), les plans qui ont leurs indices (hkl) de parité différente ne diffractent pas.

Exemples : (221), (112), (132), (113), etc………….. .03/11/2022 Chapitre III: Introduction à la diffraction rayons X 25

III-10- 2- Facteur de structure d’un réseau F

(26)

III-10- 3- Conditions d’existence des nœuds du RR pour chaque mode de réseau

03/11/2022

R é s e a u

Maille

M u

l t i p

l i c

i t é

translations Conditions sur h, k et l

P simple ou primitive 1 a,b,c pas de condition (pas d’extinction) A centrée sur face (b, c) 2 a,b,c; (b+c)/2 hkl existent pour k+ l =2n

B centrée sur face (a, c) 2 a,b,c; (a+c)/2 hkl existent pour h+ l = 2n C centrée sur face ^{(a, b)} 2 a,b,c; (a+b)/2 hkl existent pour h+ k = 2n

F faces centrées 4

a,b,c; (a+b)/2 , (b+c)/2

, (c+a)/2

hkl existent pour h, k et l de même parité

I centrée 2 a,b,c ; (a+b+c)/2 hkl existent pour h+ k + l = 2n

(27)

Diffractogramme liste de 2θ liste de d_hkl

Or d_hkl =1 (tjrs vrai) avec =/a (dans le système cubique)

Soit a=d_hkl

Donc liste de d_hkl hkl a Connaître le mode de réseau On calcule

=

Valeurs connues pour chaque mode de réseau

Facile si ne s’annule pas.

Diffractogramme liste de 2θ liste de d_hkl

Or d_hkl =1 (tjrs vrai) avec =/a (dans le système cubique)

Soit a=d_hkl

Donc liste de d_hkl hkl a Connaître le mode de réseau On calcule

=

Valeurs connues pour chaque mode de réseau

Facile si ne s’annule pas.

h

²

+k

²

+l

²

P I F

1 100

2 110 110

3 111 111

4 200 200 200

5 210

6 211 211

8 220 220 220

9 221

300 10 310 310

11 311 311

12 222 222 222

13 320

14 321 321

16 400 400 400

III-10-4- Indexation des pics dans le système cubique

03/11/2022 Chapitre III: Introduction à la diffraction

rayons X 27

(28)

MERCI DE VOTRE AIMABLE ATTENTION

03/11/2022 28