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Exercice sur l'emploi des coordonnées polaires

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Academic year: 2022

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(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G IGON

Exercice sur l’emploi des coordonnées polaires

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 7 (1868), p. 471-475

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1868_2_7__471_1>

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(2)

EXERCICE SUR L W L « I DES COORDONNÉES POLAIRES;

PAR M. GIGON,

Ancien élève de l'École Polytechnique, Professeur de Mathématiques.

PROBLÈME. — Un angle constant tourne autour du foyer d'une coniqjie; au point ou les cotés de l'angle rencontrent la courbe^ on mène des tangentes à cette courbe. Trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes.

Solution. — La conique donnée, rapportée à son foyer comme pôle, et à son axe focal comme axe polaire, a pour

(3)

équation

( )

On sait que, lorsque - = ƒ (a>) représente l'équation d'une courbe, la tangente à cette courbe en un point pour lequel o> = a est donnée par l'équation

- — ƒ (fl)cos(w —- a) -+-ƒ'(«) sin(w — a).

(DE COMBEKOUSSE, Cours de Mathématiques, t. III, p. s65.) Dans le cas actuel, la tangente à la courbe (i) en un point A situé sur le rayon vecteur o) = a est donnée par (i) — ~ — cos (&> — a) cosw;

? P P

et la tangente en un point B situé sur la courbe et le rayon vecteur w = è, par

(3) - = - cos (w — b) cosw.

? P P

La condition posée dans l'énoncé du problème est la suivante :

(4) b — a z= const. = K.

Un point quelconque du lieu est donné par l'intersec- tion des droites (2) et (3), dans lesquelles les paramè- tres a et b sont liés par la relation (4) ; en éliminant a et b entre ces trois équations, on aura l'équation du lieu.

On met (2) et (3) sous la forme

(2 bis) h - cosw = - cos (w — a),

(3 bis) — | — c o s w = - cos(w — b);

p P P

(4)

( 473 )

il s'ensuit cos (o) — a) = cos (w — &), c'est-à-dire

( 5 ) w — a = 2/27T ± : (w — 6r) ;

mais l'angle R est supposé < 180 degrés, et è — a = R;

on ne peut donc avoir ni b = a, ni è = a •+- 2«7r -, on doit prendre le signe — dans le second membre de (5), et poser

( 6 ) 2 6) = a -4- b -f- 2/27T.

Multiplions (2 fó) par (3 bis), transformons en somme de cosinus le produit des seconds membres, il vient, vu

(6),

f—h - cosw J = —a |cos[2w — (a -+- b)] -h cos(6 — a) j

= —r (1 4- cosR) = — cos2 —?

2/?2 V ' p1 2

et, en extrayant la racine,

1 e

— j — cosw

? P

et, par suite, le lieu est représenté par

1 e _^ 1 K

— j — cos w = dz — cos — : PP P 2

K

\ cos —

COSW

(

\ cos —

et par cosw

K

COS —

cos —

(5)

( 474 )

Discussion. — On remarque que les deux équations

(7) e t (7 bis) ne sont pas distinctes l'une de l'autre ; car

on passe de la p r e m i è r e à la seconde, en changeant p en — p , et a) en 7T -4- a) ; elles représentent d o n c la m ê m e courbe, r t il suffit de discuter Tune d'elles, (7) par exem- ple.

La courbe représentée par (7) est une conique h o t a o - focale à la proposée (1) •, son excentricité e ' = — > et

cos —

2

son paramètre p = *, p cos —

2

Si laconique proposée est une hyperbole ( < ? > i ) , la conique (7) est toujours une hyperbole, facile à con- struire.

Si la proposée est une parabole (e = 1), le lieu (7) est toujours une hyperbole, excepté dans le cas singulier où cos— = ± 1 , c'est-à-dire lorsqu'on a

2

K = o ou Rr= 36o degrés;

on trouve alors, pour le lieu, une parabole qui se confond avec la proposée (1), ce qui devait être.

Si la proposée («) est une ellipse ( e < [ i ) , le lieu (7), suivant qu'on a e' <^ 1, ef ^> 1, ou e1 = 1, est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, ce qui revient aux con- ditions suivantes :

Ellipse, si Hyperbole, si Parabole, si

cos cos cos

K

2

K

2 K

2

>

C

a c

— * a c

—.

a

(6)

(475 )

Si Ton joint par deux droites le foyer pris pour origine aux deux sommets de la proposée, situés sur son petit axe, et qu'on appelle a l'angle de ces deux droites, on trouve

CL b CL r

tang- = - , ou cos-— - •

° 1 c i a

Or, l'angle K étant supposé toujours <^ 180 degrés, les conditions (8) font savoir que le lieu (7) sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'angle donné K sera plus petit que l'angle a, ou plus grand, ou lui sera égal.

En effet, cet angle a est l'angle minimum de tous les angles S sous lesquels on voit du foyer les différents dia- mètres de l'ellipse ; les angles (3 varient depuis a jusqu'à 180 degrés \ si donc l'angle donné K est plus petit que a, la corde AB d'intersection des côtés de cet angle avec l'ellipse ne sera jamais un diamètre, et les deux tangentes à la courbe en A et en B ne pourront pas être parallèles;

par suite, il n'y aura pas de point du lieu situé à l'in- fini, et la conique {7) sera fermée.

Si l'angle K est égal à a, il y aura une position, et une seule, où la corde AB sera un diamètre de la proposée (1) ; ce cas se présentera quand AB se confondra avec le petit axe; alors le li^u (7) est une parabole aisée à construire.

Si l'angle K est plus grand que a, on trouvera deux di- rections asymptotiques symétriques par rapport à l'axe polaire-, le lieu est alors une hyperbole dont la construc- tion n'offre aucune difficulté.

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