S4 2005-2006 - Probabilités et statistiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 5 : régressions ; estimation de paramètres et premiers tests d’hypothèses
1. On donne le tableau d’observations suivant : x 0.1 0.3 0.5 1 5 10 y 0.031 0.26 0.72 2.92 74 305
Ajusteryenxselon une loiy=βxα (se ramener par un logarithme à la méthode des moindres carrés).
2. On mesure l’indice de réfractionnd’un milieu transparent pour une lumière de la longueur d’ondeλ (exprimée enµm). On mesure les valeurs suivantes :
rouge :λ=0.768,n=1.612 ; jaune :λ=0.582,n=1.625 ; vert :λ=0.540,n=1.629 ; bleu :λ=0.486,n=1.635 ; violet :λ=0.434,n=1.646.
On souhaite, à l’aide de ces 5 mesures, choisir trois modèles pour la loi de dispersion reliantnetλ.
(a) Appliquer la méthode des moindres carrés pour obtenir une relation linéairen=a1+b1λ.
Quel est le coefficient de corrélationr1correspondant ? (b) Donner de même la meilleure relationn=a2+b2/λ.
(c) Donner de même la meilleure relationn=a3+b3/λ2.
(d) Calculer, pour chacun de ces trois modèles, la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts entre la valeur denmesurée et celle prédite par le modèle.
(e) Quel est, d’après vos connaissances en optique, le bon modèle ? Conclusion ?
3. Dans un grand lot de pièces circulaires, on a prélevé au hasard 40 pièces dont on vérifie le diamètre.
Les mesures (en cm) sont :
4.9 5.0 5.2 4.7 4.8 5.1 4.5 5.2 4.9 4.8 4.9 4.9 4.9 5.3 5.0 4.8 4.8 4.9 5.1 5.3 5.4 4.9 4.9 5.0 4.8 4.8 5.3 4.8 5.1 5.0 5.1 4.8 4.7 5.0 4.9 4.8 4.6 4.7 4.9 4.7
(a) Donner les estimations ponctuelles des moyenne, variance et écart-type des diamètres des pièces.
(b) Estimer par des intervalles à 95% de confiance la moyenne et la variance du diamètre.
4. Des essais en laboratoire sur 20 lampes miniatures donnent les durées de vie suivantes, en heures : 451, 412, 412, 375,407, 454, 375, 393, 355, 364, 414, 413, 345, 432, 392, 329, 439, 381, 451, 413.
On suppose la durée de vie distribuée normalement.
(a) Donner l’estimation ponctuelle de la durée de vie moyenne pour l’ensemble de la production.
(b) Donner l’estimation ponctuelle de la variance pour l’ensemble de la production.
(c) Estimer, à l’aide d’un intervalle ayant un niveau de confiance de 95% la durée de vie moyenne.
(d) Estimer de même l’écart-type à l’aide d’un intervalle ayant un niveau de confiance de 95%.
5. Les mesures des résistances d’un échantillon de 16 composants sont, enΩ: 392, 396, 386, 389, 388, 387, 403, 397, 401, 391, 400, 402, 394, 406, 406, 400.
On veut tester l’hypothèse selon laquelle la résistance moyenne des composants produits vaut 400Ω; on considère que la distribution de la résistance est celle d’une loi normale.
(a) Donner les estimations ponctuelles de la moyenne et de la variance de la résistance.
(b) Formuler l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative ; précisez la règle de décision.
Peut-on considérer, au seuil de significationα=5%, que le lot respecte la norme de 400Ω? (c) Même question avec un seuil deα=1%.
6. Un fabriquant de tubes à essais se vante de proposer des tubes qui ont une durée de vie supérieure à 2000h de chauffage. A l’aide d’un échantillon de 100 tubes testés, on estime la durée de vie moyenne à 1982h, avec un écart-type de 130h. Peut-on affirmer, au risque 5%, que le fabriquant ne ment pas ?
