Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels

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LFM – Mathématiques – 3^ème

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3Ch7 : Fractions

I Fractions irréductibles

1) Nombres rationnels

Définition :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme une fraction, c’est-à-dire sous la forme ^!_! , ou p et q sont des entiers relatifs (q non nul)

Remarque : Les nombres entiers, les nombres décimaux et les fractions sont des nombres rationnels.

Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. Par exemple 𝜋 et 2 , qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction.

2) Simplification de fractions !,!

! = ^!,!×!"_!×!" = ^!!_!" et ^!"_!"=^!×!_!×!=^!_!

Propriété :

a et b désignent deux entiers relatifs (𝑏≠ 0) Une fraction

€

a

b est dite irréductible, lorsque le seul diviseur positif commun à a et b est 1

Exemple : 13 et 18 ont pour seul diviseur positif 1 donc la fraction ^!"_!" est irréductible.

Méthode :

a et b désignent deux entiers relatifs (𝑏≠ 0) Pour rendre la fraction

€

a

b irréductible, on peut : -‐ Simplifier la fraction

€

a

b en plusieurs étapes, jusqu’à ce qu’on ne puisse plus la simplifier.

-‐ Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers puis simplifier

Application :

Rendre irréductible la fraction ^!"_!"

Rendre irréductible la fraction !""

!"#

(2)

2

II Addition et soustraction de fractions

1) Les dénominateurs sont les mêmes

Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le même dénominateur.

c b a c b c

a +

=

+ et

c b a c b c

a −

=

− où a,b,c sont des nombres relatifs, avec 𝑐 ≠0

Exemples :

3 2 6 3

1 7 3 1 3

7 − =−

+ =

= −

− + ⁻⁶ 5 −−3

5 =−6−(−3)

5 =−6+3 5 =−3

5 =−3 5

2) Les dénominateurs sont différents

Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur.

Ensuite, on applique la règle vue au 1).

Exemple : Calculer sous forme fractionnaire

4 7 8 1 6 5− + A=

La méthode consiste à écrire les multiples du plus grand dénominateur jusqu’à obtenir un multiple de tous les autres dénominateurs.

Multiples de 8 : 8 ← multiple de 4 mais pas de 6 16 ← multiple de 4 mais pas de 6

24 ← multiple de 4 et de 6 et donc de tous les dénominateurs.

On prend donc 24 comme dénominateur commun aux trois termes et on calcule :

4 7 8 1 6 5− + A=

III Multiplication de nombres en écriture fractionnaire

Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

d b

c a d

c b a

×

= ×

× et

d c a d

a c ×

=

× où a,b,c,d sont des nombres relatifs avec cet dnon nuls.

Remarque : Il est conseillé, si cela est possible, de simplifier avant de multiplier.

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3

Exemple :

5 1 7 2 5 3

7 3 2 14

15 21 2 14

21 15

2 =−

×

− ×

× =

− ×

− =

×

Calculer : 𝐴 =15

28× 7 18×12

6 =

IV Division de nombres relatifs en écriture fractionnaire

1) Inverse d’un nombre relatif en écriture fractionnaire

Définition : Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1

Propriétés : cet ddésignent des nombres relatifs non nuls.

• L’inverse du nombre cest le nombre c 1.

• L’inverse du nombre d

c est le nombre c d .

Exemples :

• L’inverse de -‐3 est

3 1 3 1 =−

− .

• L’inverse de 4

− 3est 3

− 4.

2) Division

Diviser par un nombre relatif en écriture fractionnaire revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

a,b,c,d désignent des nombres relatifs avec b,c et d différents de zéro.

• a b b

a 1

×

=

•

c d b a d c b

a: = × ou

c d b a d

c b a

×

=

Exemple :

9 2 11 3 3 2

2 2 11 33

6 4 11 33

4 6

11 4 33 6 11

−

× =

×

− ×

× =

− ×

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛−

×

=

−

Calculer 𝐴= ^!!_! ÷_!"#^!"