Formalisation ordinale de modèles pluriels du développement psychologique

B. M ONJARDET

G. N ^ETCHINE -G ^RYNBERG

Formalisation ordinale de modèles pluriels du développement psychologique

Mathématiques et sciences humaines, tome 96 (1986), p. 65-94

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FORMALISATION ORDINALE DE MODELES PLURIELS DU DEVELOPPEMENT

PSYCHOLOGIQUE

B.

MONJARDET*,

G. NETCHINE-GRYNBERG**

AVANT-PROPOS

I. COMPOSITION ENTRE PLUSIEURS ORDRES : FORMATION DE L’ORDRE COMME PRODUIT DIRECT D’ECHELLES ORDINALES.

LES ITEMS ET LA STRUCTURE

ALGEBRIQUE

^DE L.’ Efv7SEMBLE DES ITEMS.

I.1 l Présentation

1.2

Définition, représentations

^{des items}

1.3 Structure ordinale et

algébrique

^de l’ensemble des items II. LA CARACTERISATION DES SUJETS : CONSTRUCTION DES PATRONS DE REPONSE

IMPLIQUES

^{PAR L’ORDRE DE BASE}

LES PATROIVS SATURES ET À’EIYSEFfBLE DES PATRONS SATURES II.1 l Présentation

II.2 Patrons

quelconques, opérations

^{de réduction et de saturation}

II.3 Une

correspondance bijective

^entre l’ensemble des patrons ^saturés

et l’ensemble des patrons ^réduits

II.4 Le

codage

^des patrons ^{saturés en} vecteurs-scores II.5 Dénombrement et distribution des patrons ^saturés

II.6 La structure

algébrique

^de l’ensemble des patrons ^{saturés : un} treillis distributif

II.7 Construction de l’ensemble des patrons ^de

réponse impliqués

par l’ordre de base. Formation de trois

systèmes

^de

générateurs.

* Université René Descartes et

CAMS,

^{54 bd.}

Raspail,

75270 Paris Cédex 06.

** Laboratoire de

Psychologie

^du

Développement

^{et de} l’Education ^de

l’Enfant,

Université René

Descartes,

^Paris V; C.N.R.S., ^JE

018;

^RCP

802,

^{46 rue}

Saint

Jacques

^{75005 Paris.}

III. LA CARACTERISATION DES POPULATIONS EXPERIMENTALES EN FONCTION DE L’ORDRE

DE BASE

UNE TAXONOMIE DES "COLLECTIFS DE REPONSE" A PARTIR DE LA CORRESPOIVDAIUCE ENTRE PREORDRES D’IMPLICATION ET ENSEMBLE "FERMES" DE PATRONS. COLLEC- TIFS COHEREIVTS ET COLLECTIFS COlvJPATIBLES

III.1 l Présentation

111.2

Collectifs,

collectifs fermés

111.3 Collectifs

quelconques, préordre d’implication

^{et collectifs}

fermés

111.4 La

correspondance

^entre

préordre d’implication

^et collectifs fer- més. Les critères d’une taxonomie des collectifs

III.5 Deux classes de collectifs cohérents avec l’ordre de

base,

^les

collectifs cohérents

complets

^et

incomplets

111.6 Deux classes de collectifs

non-cohérents,

^les collectifs _compa- tibles et

incompatibles

111.7 La taxonomie des collectifs et l’étude du modèle. Validation

expérimentale

^et

propriétés générales.

-

Bibliographie

- Glossaire

AVANT-PROPOS

Ce texte

présente

^la

première étape

^{d’une démarche de} formalisation de mo-

dèles du

développement psychologique,

^à caractère dit

"composé"

^ou

"pluriel",

destinés à

étayer

^{l’étude de la} coordination entre

plusieurs

dimensions du

développement.

^Cette

formalisation,

^{effectuée en termes des}

mathématiques

des ensembles

ordonnés,

^se

présente

comme une

généralisation

multidimension- nelle de l’échelle de Guttman. Elle vise à assurer la traduction

mathématique d’hypothèses préalablement

^{formulées dans le}

champ

^du

développement psycho- logique.

L’intérêt _pour l’élaboration de modèles

mathématiques ordinaux,

^suscep-

tibles de

représenter

^un

développement "pluriel",

^{est né d’un}

problème

^par-

ticulier rencontré _par l’un de nous. Il

s’agissait

^{d’une étude de l’indivi-}

dualisation

perceptive

de formes

simples

^{par de}

jeunes

^enfants

(4

^{à 7}

ans).

L’investigation

^a été conduite à

partir

d’un matériel

expérimental

^construit

de

façon

^{à mettre en évidence deux}

rubriques

^de

propriétés

^{de ces}

formes, passibles

^de

procédés perceptifs distincts,

^dont il fallait

éprouver

^{la re-}

lation ^{au cours} du

développement.

Ce cas

particulier

^a conduit à

envisager

^la

question générale

^{des con-}

ditions d’étude de la coordination entre

plusieurs

dimensions du

développe-

ment ou de

l’apprentissage,

conditions

qui

^n’ont

guère

^suscité d’instrumen- tation

mathématique appropriée,

^{si ce n’est sous} la forme de moyens d’esti- mation des interrelations entre ces dimensions

(de

type

corrélation).

La littérature

psychologique classique

^{s’adresse en effet}

principale-

ment à un

développement

^{linéaire. Les}

grandes

^{théories ont} essentiellement donné lieu à la construction de

systèmes d’investigation

^{à visée}

générale,

^à

partir desquelles

l’évolution de l’enfant est

envisagée

^{comme un}

système

^uni-

taire,

définissant une

trajectoire

^{fixe dans ses}

étapes,

cumulative dans ses

effets,

^{linéaire dans son} mouvement. La structure

mathématique

^{ordinale sous-}

jacente

^est donc celle d’ordre total ou de

façon quasi équivalente,

^celle

d’échelle de Guttman.

Cependant

^les

objets

^{de l’étude}

psychologique

^{de l’en-}

fance n’ont _pas tous - tant s’en faut - les

caractéristiques qui justifient

une telle

organisation.

^{Il existe} de nombreuses classes d’activités à ca-

ractère

composé,

peu

étudiées, qui

peuvent

présenter

^{un intérêt}

théorique

considérable.

Evoquons

par

exemple

^{les activités} relevant de

plusieurs

^domai-

nes du comportement,

l’accomplissement

^{de tâches}

cognitives requérant plu-

sieurs

registres

^de

compétence,

^{ou bien encore}

l’acquisition

d’une connais-

sance nouvelle faisant intervenir

plusieurs champs notionnels, plusieurs

^ma-

tières

enseignées

^{notamment s’il}

s’agit

^d’une

acquisition

^scolaire.

C’est donc à titre

d’alternative

^aux

approches classiques

^du

dévelop-

pement

psychologique, qui

peuvent être traduites _{par des} modèles ordinaux ^de type

guttmanien,

que l’on propose la formation de modèles

"pluriels" expri-

mant des

hypothèses

relatives à la coordination entre

plusieurs

^dimensions

du

développement,

^{dont la}

transcription mathématique implique

^une

générali-

sation multidimensionnelle d’échelles ordinales linéaires. En permettant ^de

préciser

^les conditions d’étude d’activités

psychologiques

^{à caractère com-}

posé,

^{de tels} modèles pourront contribuer à

élargir

^{le domaine des}

approches psychologiques

^{de l’enfance.}

On trouvera dans les _pages suivantes la

description

^{de la}

première ^pha-

se de la construction du modèle

mathématique représentant

^{le modèle}

psycho- logique "pluriel".

^{Ce modèle}

mathématique

^{est défini comme un}

"produit

^di-

rect" d’échelles linéaires

(ordres totaux).

^Le nombre des échelles ainsi _que le nombre de leurs modalités peuvent ^être

quelconques

^et

jouent

^{le rôle de}

paramètres adaptables

^à

chaque

^situation

expérimentale

considérée. Pour

illustrer les

procédures

^de construction ^du modèle

général,

^on empruntera ^les

paramètres

^{de la}

première

^situation

expérimentale évoquée plus haut,

^soit

deux

échelles,

^{l’une à}

trois,

^{l’autre à} six modalités.

L’étape

^{initiale de la} démarche consiste à définir l’ensemble des unités élémentaires d’observation - ^{ou items -} ainsi

que l’ordre hypothétique

^entre

ces

unités;

^{cet ordre sera}

appellé ^l’ordlÎe

^{de base entre les}

items,

^et peut

s’interpréter

^{comme un ordre de} difficulté entre ceux-ci. Conformément à ce

qui

^{a été dit}

ci-dessus,

^{cet ordre est le}

produit

^{de deux échelles}

ordinales,

i. e. de deux ordres totaux, l’un à six et l’autre à trois

modalités,

^dans

notre

exemple.

^{Il en résulte} que

chaque

^item peut être considéré comme la combinaison de deux

modalités, prises respectivement

^{sur la}

première

^{et la}

seconde

échelle,

^et que l’ensemble des dix-huit

(6X 3)

items a une structure

ordinale et

algébrique

^bien connue, celle de treillis distributif.

La deuxième

partie

^{de ce} texte est consacrée à l’étude des patrons ^de

réponse "impliqués"

par l’ordre de base. Ces patrons ^{sont ceux donnés} par ^un

sujet "théorique",

^{i. e. un}

sujet

^{dont les}

réponses

^{sont conformes à}

l’hypo-

thèse

théorique exprimée

par l’ordre de base. Au

départ,

^{on définit la notion}

de patron

(de réponse) quelconque,

par l’ensemble des items _que le

sujet

^a

réussi. Puis on étudie les

opérations

^de saturation et de réduction d’un _pa-

tron. Dans

l’exemple

^de

référence,

^à

partir

^des

218

_patrons

possibles ^(autant

que de sous-ensembles de l’ensemble des dix-huit

items), l’opération

^{de satu-}

ration conduit à la formation de 84

patrons

^saturés

qui

sont exactement les patrons

impliqués

par l’ordre de base. Un patron saturé peut être

représenté

de

façon univoque

^{par un}

patron "rédu2t", plus simple;

^{mais il est encore}

plus économique

de le coder par ^un "vecteur-score". L’ordre d’inclusion

(en- sembliste)

entre patrons munit l’ensemble de tous les

(84)

_patrons saturés d’une structure

ordinale, qui

^{est de} nouveau un treillis distributif. Il en

résulte _que l’ensemble de tous les

(84)

_patrons saturés peut être ^construit par des

opérations algébriques,

^{soit comme union des}

patrons

^saturés

"simples",

soit comme intersection des

patrons

^saturés

"cosimples",

^{soit comme union et}

intersection des

patrons

^saturés "doublement

simples".

^Une

caractéristique importante

^{de ce} type ^de modèle est

qu’il

y ^a le même nombre

(18)

de patrons

simples,

^de patrons

cosimples,

^et que dans

chaque

^{cas l’ordre entre ces 18} patrons

simples

^ou

cosimples reproduit

exactement l’ordre de base entre les

18 items.

Dans la troisième

partie

^{on se}

place

^{au niveau des}

populations.

^{On consi-}

dère l’ensemble des

réponses

différentes données _par ^une

population

^de

sujets.

Cet ensemble constitue donc une

partie

^de l’ensemble de tous les patrons ^de

réponses possibles ^(saturés

^{ou non}

saturés);

^{on dit} que c’est ^un

collectif

(de réponses).

^{Parmi les}

collectifs,

^les

collectifs fermés

^{sont ceux pour}

lesquels

^{l’uni.on et} l’intersection de patrons ^{du collectif}

appartiennent

^{à ce}

collectif. Un

exemple

^{de tel collectif est} celui formé _par tous les

(84)

pa- trons

saturés, correspondant

^{à l’ordre de} base. Mais

plus généralement

^{à n’im-}

porte

quel

^ordre

(ou préordre)

^sur l’ensemble des items

correspond

^{un collec-} tif fermé

unique.

^Cette

correspondance bijective

^entre collectifs fermés et

préordres

^{sur les}

items,

permet d’associer ^{à tout} collectif - et par

exemple

à un collectif obtenu

expérimentalement -

^{un ordre sur les items. On} peut alors comparer ^cet ordre à l’ordre de base. Si ces deux ordres sont

égaux,

^on

dit _{que le} collectif est cohérent

complet.

^{Un des résultats de ce travai.l est}

de caractériser les collectifs cohérents

complets,

^{par le fait} que ^{ce sont} les collectifs formés

uniquement

^de patrons ^saturés et contenant tous les patrons doublement

simples.

^A

partir

^{de ce}

résultat,

^on peut aussi caractériser trois

autres classes de collectifs :

1°)

les

collectifs

^cohérents

"incomplets",

^{i.e. ceux pour}

lesquels

^l’ordre

associé contient strictement l’ordre de base

(par exemple

^{si un item est}

moins difficile

qu’un

^{autre dans l’ordre de}

base,

^{il est moins ou}

également

difficile dans l’ordre

associé).

2°)

les

collectifs

^{non cohérents}

compatibles,

^pour

^lesquels

l’ordre associé

est strictement contenu dans l’ordre de base

(par exemple

^{si un item est}

moins difficile

qu’un

^{autre dans l’ordre de base il est} moins difficile ^ou in-

comparable

^{dans l’ordre}

^associé).

3°)

^les

collectifs

^{non cohérents}

incompatibles, qui

^{sont tous ceux ne rentrant}

pas dans l’une des

catégories précédentes.

On a ainsi établi ^une taxonomie de tous les collectifs

possibles, qui

peut ^{servir de cadre}

général

^pour

l’analyse

^de

l’adéquation

^d’un ensemble de

réponses

^{au modèle}

hypothétique,

^à condition bien sûr de l’affiner tant au

plan algébrique qu’au ^plan statistique.

Telles sont les

étapes premières

^{de la formation du modèle}

mathématique

décrites dans cet article. Leur

présentation

éclaire certaines des caracté-

ristiques

structurales d’un

développement "pluriel".

^{Dans un texte ultérieur}

nous

analyserons

^ce que

représente

^ce type ^de

généralisation

^{de l’échelle de}

Guttman par rapport ^{à des}

généralisations classiques

^{bien connues,}

qui

^fonc-

tionnent en

pratique

^{comme des} instruments

d’analyse

^{des données}

plutôt

^que

comme des modèles "stricto

sensu";

^on y ^trouvera donc ^un certain nombre de références omises ici. _{Nous y} aborderons

également

^le

problème

^{de la détermi-}

nation de l’ensemble des chemins individuels du

développement, prévisibles

^à

partir

^{d’un ordre de base}

(hypothétique)

^donné.

Précisons _pour terminer _que le

style adopté

^{dans cet article est déli-}

bérement

didactique.

^{Il a été}

supposé

que le lecteur n’a _pas de connaissance

particulière

^{de la théorie des ensembles}

ordonnés,

^{ni même de son} vocabulaire.

Les définitions nécessaires sont donc données soit dans le corps du ^texte soit dans le

glossaire

^en annexe; dans ce dernier cas le mot concerné est

marqué

d’un

astérisque.

^{Pour toute} information ou

précision complémentaire

^{on pourra}

se reporter à ^{Barbut et}

Monjardet (1970).

I. COMPOSITION ENTRE PLUSIEURS ORDRES : FORMATION DE L’ORDRE COMME PRODUIT DIRECT D’ECHELLES ORDINALES

LES ITEMS ET LA STRUCTURE

ALGEBRIQUE

^DE L’ENSEMBLE DES ITEMS 1.1. Présentation

La démarche initiale consiste à définir l’ensemble des unités élémentaires

d’observation,

^les

items,

nécessaires à l’étude de la

composition

^entre

plu-

sieurs échelles ordinales. Dans notre

exemple

^de

référence,

^les

items,ou

^uni-

tés élémentaires

d’observation, correspondent

^{à des} tâches d’individualisa- tion

perceptive

^d’une

forme,

construites en fonction de deux "dimensions" en-

tièrement

ordonnées,

^{l’une à trois}

modalités,

la seconde à six modalités.

Ainsi, chaque

^unité

d’observation, chaque tâche,

peut être considérée ^comme

une combinaison de deux modalités de ces

dimensions,

^{et l’on a donc 18 telles}

unités.

1.2.

Définition, notations, représentations

^{des items}

On

appelle item,

^l’une

quelconque

^{de ces unités et l’on notera E leur en-}

semble,

l’ensemble des 18 tâches

perceptives

^{dans notre}

exemple.

Formellement,

l’ensemble E est défini comme un

produit

^{direct* de}

deux ensembles totalement ordonnés

(échelles ordinales).

^{Nous nous donnons}

donc deux ensembles totalement ordonnés :

("correspondant"

^{à la}

première dimension),

^et

("correspondant"à

la seconde

dimension).

Nous identifierons l’ensemble E des 18 items au

produit

^direct

E

^{1 x}

E2 ,

^"

c’est-à-dire à l’ensemble des 18

couples

Dans la suite un élément de E , c’est-à-dire ^un

item,

^{sera donc noté}

(x.,y.) ;

^{i J pour}

^alléger,

^{les notations}

^(x,y)

^ou

^{(i,j) ,}

^{ou même}

^simplement

"e" ,

^{seront aussi}

employées.

Les

figures

^{1 et 2 donnent deux}

représentations graphiques possibles

^de l’ensemble E ; ^nous n’utilisons que celle

indiquée

par la

figure 2,

^{où les} items sont

représentés

^{par des cases.}

1.3. Structure ordinale et

algébrique

^de

l’ensemble

^{des items}

L’ensemble E ayant été défini comme

produit

^{direct de deux ensembles tota-}

lement

ordonnés,

^{il est bien connu}

qu’il

^{est lui-même un ensemble}

partielle-

ment

ordonné*,

^{l’ordre entre deux items}

(x,y)

^et

(x’,y’)

^{étant défini} par :

(dans E ~ )

^et

(dans E2 ) .

Autrement

dit,

^{si on}

interprète

^cet "ordre

produit"

^{comme un ordre de}

difficulté entre

items,

^l’item

(x,y)

^est "moins difficile" _que l’item

(x’,y’) ,

^{si et seulement si il est} moins difficile sur chacune des deux di- mensions

(ou également

^{difficile sur l’une des deux et} moins difficile sur

l’autre).

On notera . cet

ordre, qui

^se lit facilement ^sur les

figures

^{1 et}

~ ~ E

2.

Ainsi,

^{on a} par

exemple :

Par contre, ^les items

(x ,y3)

^et

(x3,y2) ,

^par

^exemple,

^{ne peuvent}

être

comparés

^{dans l’ordre}

produit (puisque x

1

x3

^et

y3

&#x3E;

y2);

^{on dit}

qu’ils

^sont

incomparables.

Au lieu de dire _que l’item

(xl,y3 )

^est moins difficile _que l’i"tem

(x2,y3) ,

^on

^pourrait

aussi dire _que ce dernier item

"implique"

^le

premier (au

^{sens où un}

sujet

réussissant

(x2,y3)

"doit" réussir

(x1’Y3)).

^{On note-}

ra alors :

(x2’Y3) E

^{2 3 E}

(x1,y3) ,

^{1 3 et de manière}

^générale,

^{on a donc :}

Formellement,

^l’ordre

d’implication ~

ainsi défini entre items n’est

E

rien d’autre _que l’ordre

réciproque* de ~ , et

^{il est} évidemment

équivalent

E

de considérer l’un ou l’autre. Dans la

suite,

^{on aura} à considérer d’autres ordres

(de

difficulté ou

d’implication)

^{définis sur} l’ensemble E des 18

items, qui

^seront

comparés

^aux deux ordres fondamentaux :-5 et

É précédents.

E

Pour bien _marquer le caractère

privilégié

^{de l’ordre de}

^base,

^{ici un}

"ordre

produit",

^{où E s’obtient comme}

produit

^{direct de}

E1

^{1 et}

E2’

^on

dira

que S ( ~ )

^{est l’ordre de} difficulté

(d’implication)de

^{base. On} peut E E

aussi noter en passant, que dans notre

exemple,

l’ordre ~ contient cent huit E

implications (strictes)

"élémentaires" entre

items,

^{une telle}

implication étant,

par

exemple : (x3’y4) ^implique (xl’y3) .

Jusqu’ici,

^{nous n’avons pas considéré les}

propriétés spécifiques

^de

l’ordre

produit ~ .

^{. En fait celui-ci est loin d’être}

quelconque, puisqu’il

E

est bien connu que le

produit

^{de deux} ensembles totalement ordonnés est un

treillis distributif*.

Ainsi,

pour deux items

(x,y)

^et

(x’,y’) ,

^{il existe}

toujours

^un supremum, c’est-à-dire ^un item le moins difficile

parmi

^{tous les}

items

plus

difficiles _que ces deux

items,

^{et il est donné} par la formule :

De

même,

^{l’infimum de ces deux items -} c’est-à-dire l’item le

plus

^dif- ficile

parmi

^{tous ceux moins} difficiles

qu’eux

^{deux - est donné} par la for- mule :

On calcule facilement le supremum ^et l’infimum de deux items sur les

figures

1 et 2. Par

exemple,

II. LA CARACTERISATION DES SUJETS : CONSTRUCTION DES PATRONS DE REPONSE

IMPLIQUES

^{PAR L’ORDRE DE BASE}

LES SATURES ET L’ ENSEf-JBLE DES PATR01JS SATURES

II.1. Présentation

Lorsqu’un sujet répond

^{à tous les items}

^(ou

^unités élémentaires

d’observation)

sa

réponse

^est entièrement caractérisée _par l’ensemble de ceux

qu’il

^{a réussi.}

En

conséquence,

^nous identifierons la

réponse

^d’un

sujet

^{à un} sous-ensemble P

quelconque

^de l’ensemble E de tous les items des 18 items dans notre

exemple.

Nous

appellerons patron

^(de

2,éponse)

^{un tel ensemble. Le} nombre de patrons

quelconques possibles

^est

considérable, ²¹⁸

^{dans notre}

exemple.

Pour construire les patrons

"impliqués"

par l’ordre de

base,

^{nous nous} donnerons deux

opérations,

la saturation et la réduction de patrons

quelcon-

ques. L’intérêt de ces

opérations

^{pour la} construction ^du modèle est de per- mettre d’effectuer le passage de la ^structure d’ordre définie ^au niveau des

items à celle des patrons ^de

réponse

^des

sujets. L’opération

^{de réduction}

associe à tout patron ^un patron "réduit" formé soit d’un item

unique

^{soit de}

deux ou trois items

incomparables ^(les

patrons ^{réduits sont les}

"parties

libres"* de l’ensemble ordonné

E ).

^De manière

analogue, l’opération

^{de sa-}

turation associe à tout patron ^un patron

"saturé", qui

^lui peut comporter de zéro à dix-huit items

(ce

sont les

"parties commençantes"*

^{de l’ensemble}

ordonné).

L’on obtient ainsi tous les patrons

saturés,

^{i. e. les} patrons

"impliqués"

par l’ordre de base.

Dans les

paragraphes

^{II.2 à}

II.6,

^{nous suivrons} pas à _{pas la} construc-

tion des patrons "saturés"

(11.2),

^{en montrant la}

bijection

^entre "saturés"

et "réduits"

(11.3),

^leur

codage

^en "vecteurs-scores"

(11.4),

^{leurs dénom-}

brement et distribution

(11.5),

^{leur structure}

algébrique ^(11.6).

^{Grâce à la}

formation de trois

systèmes

^de

générateurs,

^nous

indiquerons ^{(en II.7)}

^des

démarches

générales

^de construction de l’ensemble des patrons ^{saturés. Nous}

indiquerons également

^une

procédure

^de construction

économique,

^à

partir

^des

vecteurs-scores. Nous montrerons enfin

l’isomorphisme

^{entre la structure de}

treillis de l’ordre de base et celle de deux des

systèmes

^de

générateurs, caractéristique

fondamentale de ce type ^de construction.

Il.2.Patrons

quelconques, opérations

^{de réduction et de saturation}

Rappelons

que ^nous identifions la

réponse

^d’un

sujet

^{à un} sous-ensemble P

quelconque

^de l’ensemble E des 18

items,

^et que ^nous

appellons patron ^(de réponse)

^un tel sous-ensemble.

Re résentation

^{et notation}

des atrons uelcon ues

On peut

figurer

^{un patron}

quelconque

^{sur la}

représentation graphique

^{de l’en-}

semble des dix-huit

items,

^{en mettant une croix dans les cases}

correspondant

à la réussite d’un item. La

figure

3 donne des

exemples

^de patrons ainsi fi-

gurés.

Pour

abréger

^les

notations,

^nous utiliserons désormais la notation

(i,j)

^{pour un item}

(1~i~3 , 1 ~ j ~ 6) .

^{Ainsi le} patron

P1 de

^la

^figure

3a est

égal

^à

l’ ensemble ~ ( 1,1 ) , ( 1, 3) , ( 1, 5) , (2, 2) , (3,1 ) , (3, 3) ~ .

^{Dans ce}

pa-’

tron, ^les items les

plus

difficiles sont

(1,5)

^et

(3,3) ;

^{si l’on ne con-}

sidère _que ces deux

items,

^{on a le} patron

P2

^{de la}

^figure

^3b.

Figure

^3.

A tout patron, ^on peut ^{associer le} patron ^{formé des items les}

plus

^difficiles

qu’il

^{contient. Cette}

opération

^est

appelée

^réduction.

Formellement,

^{on définit}

l’application

^réduction p -~

r(P),

par

r(P) = {Éléments

maximaux* de

P} .

On peut

également

^{définir une}

opération inverse,

^la saturation. On remarque que dans le patron

P

1

(ou P2 )

^ne

^figurent

^pas certains items moins difficiles _que les items

compris

^{dans ce} patron

(par exemple, (1,4),

ou

(3,2)).

^Par contre, ^{tous ces items}

"manquants" figurent

^dans

P ;

^on

dira _que

P3

^{a été} obtenu par saturation à

partir

^de

P1 .

^*

Formellement,

^{on définit}

l’application

saturation P ~

s(P)

par :

s(P) = {(i’,j’)

^{E E tel}

qu’il

^existe

(i,j)

^{E P avec}

(i’,j’) ~ (i,j)}

E On remarque que, pour ^tout patron

P ,

^{on a les}

propriétés (quasi

évidentes sur la

figure ^{3) :}

sor(P) = s(P) ,

^et

ros(P) = r(P) (

^{o étant} la

composition

^des

applications).

11.3. Une

correspondance ^bijective

^entre l’ensemble des patrons saturés ^et celui des patrons réduits.

Les

opérations

^de saturation et de réduction définies ci-dessus conduisent à individualiser deux

catégories

^de patrons ayant ^{une structure très}

parti-

culière. Un patron ^{P est} saturé si _pour tout

(i,j)

^{E P}

Autrement

dit,

^un patron

saturé,

^dès

qu’il

^{contient un certain}

item,

contient aussi tous les items moins difficiles que lui dans l’ordre de base.

Si on considère un patron ^{comme la}

réponse

^d’un

sujet,

^dire que le _pa- tron est saturé revient à dire _que cette

réponse

^est

parfaitement

"cohérente"

avec l’ordre de difficulté défini sur tous les items : le

sujet

^n’a "réussi"

une tâche _que s’il a réussi celles

qui

^{sont moins} "difficiles". On dit aussi que le patron ^est

"impliqué"

par l’ordre de base.

Par définition

l’application

saturation associe à ^un patron

quelconque

un patron saturé. ^Par

exemple P4 ^{(figure 3d)}

^{est un} patron saturé ^obtenu à

partir

^{de la} saturation du patron réduit ^ne comprenant que l’item

(2,4)

^et

P 3

^{est un} patron saturé ^{obtenu à}

partir

^de

P

¹

^(ou

^de

P2 ).

Un patron ^{P est} réduit si et seulement si il n’existe aucun

couple

d’items

comparables (pour l’ordre ~ )

dans P .

L’application

^{de réduction}

E

associe à un patron

quelconque

^un patron réduit. C’est ainsi ..

qu’on

^obtient

le patron ^réduit

P2 à ^partir

^de

P1

¹

^(ou

^de

P3 ).

On remarque

qu’un

^seul item considéré comme patron, ^{est un} patron ré- duit

(par exemple,

^le patron

{(2,4)}, qu’on

^obtient par réduction _{du pa-}

tron

P4 ,

⁵

figure 3d),

^et

qu’un

patron ^réduit peut ^{contenir au}

plus

^trois

items

(par exemple, {(1,5),(2,3),(3,1)} est

^{un tel} patron

réduit).

On peut définir ^une

correspondance bijective

^entre patrons réduits ^et patrons saturés. ^{En effet} à tout patron saturé ^P

correspond

^un patron ré- duit

r(P) ,

^et inversement à tout patron réduit

correspond

^la patron ^saturé

s(P) .

^On vérifie facilement _que cette

correspondance

^est

bijective*,

^c’est-

à-dire

qu’on

^{a le résultat suivant}

^(cas particulier

d’un fait bien connu pour

un ensemble ordonné

quelconque) :

Soient f l’ensemble

^des _patrons ^{saturés de E et}

5lL

l’ensemble _{des pa-}

trons réduits de E ; ^{les deux}

applications

^s

(saturation)

^{et r}

(réduc- tion)

^{sont deux}

bijections ^(inverses

^{l’une de}

^l’autre)

^{entre ces deux en-}

sembles :

On a :

si

Peu, ^{sor(P) - P}

^si

Cette

correspondance bijective

^entre les ensembles de patrons réduits

et saturés est une

caractéristique

^du

modèle,

^vraie pour ^tout ordre de base.

11.4. Le

codage

^des patrons saturés ^en vecteurs-scores

Cette

correspondance

^{entre les} ensembles de patrons réduits ^et saturés permet

de "coder" un patron saturé _{par le} patron réduit

correspondant,

^{d’où une éco-} nomie

appréciable.

^Par

exemple,

^le patron saturé

P 3 ^{(figure 3c) =}

=

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

est codé _par son patron ^{réduit :}

P2 = {(1,5),(3,3)} .

Nous allons utiliser un

codage plus économique

^des patrons

saturés,

^au

moyen de "vecteurs-scores". Considérons de nouveau le patron

P3 ;

^{étant sa-}

turé,

^on peut lui associer ^{sur le} dessin de la

figure 3c,

^{une frontière en}

"escalier" allant du

point

^haut

gauche

^au

point

^{bas droit}

(frontière

^souli-

gnée

^{sur cette}

figure).

Inversement, ^{si on se donne une telle frontière en}

escalier,

^{il est clair}

qu’il

^lui

correspond

^un patron

saturé, composé

^des

items

placés

^{sous la} frontière. Dans notre

exemple,

^{une telle frontière com-} porte ^trois

lignes

horizontales et six

lignes verticales,

^{et elle est}

parfai-

tement

définie,

^{en se}

donnant,

^au

choix,

^{les niveaux des}

lignes

horizontales

ou

verticales;

^soit pour

P3 :

^{533 ou 011333.}

On

prendra

^{en fait le}

premier codage, plus

commode dans la mesure où il n’utilise _que trois chiffres

(qu’on

peut ^{lire comme un}

nombre);

^donc

P3

sera codé

533,

^et

P4 ^{(figure 3d)}

^440. D’autre part, ^ces trois chiffres ont une

interprétation

évidente : ainsi _pour

P3 ,

!&#x3E; le

premier

^{chiffre 5}

signifie

que

parmi

^{tous les items}

(1,j)

^de

P3 ,

^J’ c’est-à-dire les items de niveau 1 dans l’échelle

E1 ,

^{l’item le}

^plus

^{difficile est de niveau 5 dans l’échel-}

le

E2 .

^*

Formellement,

^{à tout} patron ^{saturé P on associe son} vecteur-score défini de la manière suivante :

v‘ (P) - (n 1, n2, n3) ,

^avec,

^{pour i = 1, 2, 3}

ni(P) - ni -

^Max

^{j

^E

^[1,...,6]

^{tel que}

^(i,j)

^F

^P}

Pratiquement,

^{on écrira le} vecteur-score

(nl,n2,n3)

^{sous la forme}

n1n2n3 ,

^e

^adoptée

^{ci-dessus dans}

^l’exemple

^de

P3 :

^{533 au lieu de}

^{(5,3,3) .}

Ce patron ^{P étant}

saturé,

^{il est clair}

(considérer

la frontière ^asso-

ciée)

que les trois nombres

n1 ,

⁹

n2 ’ n3

^{vérifient la condition}

⁽¹⁾

^sui-

vante :

Inversement,

^{la donnée de} trois entiers vérifiant la condition

(1)

^définit

une frontière en escalier

(sur

la

représentations

^des

figures

^{2 ou 3 de}

^{E )}

et le patron ^saturé associé.

Il résulte des considérations

précédentes ^(et

d’un résultat

général

sur les ensembles ordonnés

produit

^{direct de deux} ensembles totalement ordon-

nés,

cf. par

exemple, Aigner ^(1977))

^le fait suivant :

Soit 1,- l’ensemble des

triplets

^d’entiers

(nl,n2,n3)

^{vérifiant la condi-}

tion

(1), l’application qui

^{à tout} patron saturé associe son vecteur-score est une

bijection

^entre

l’ensemble 19

^des _patrons saturés et l’ensemble

1.~.

II.5. Dénombrement et distribution des patrons ^saturés

Puisque d’après

^le

paragraphe précédent

^les

ensembles Y (des

patrons ^satu-

rés), ~ ^(des

patrons

réduits) et V (des vecteurs-scores)

^{sont en}

bijection,

on a :

On peut ^calculer directement ce nombre ^en utilisant un résultat

général

^sur

un ensemble

produit

^direct de deux ensembles totalement ordonnés

(cf.

par

exemple, Aigner ^1979).

^On

obtient,

pour ^notre

exemple :

On peut ^aussi calculer le nombre de tous les patrons saturés à l’aide de la notion de "score". Notons

Q(P)

^et

appelons

^{score du} patron ^saturé

P ,

^le

nombre d’items

qu’il

contient : si

nnn

^{est le vecteur score de}

^{P ,}

^on

vérifie aisément _que

Le score

G(P)

^varie de 0 à

18,

^{et on} peut ^se proposer de calculer le nombre de patrons ^{de score}

a(P) = _{k ,}

nombre fixé. Là _encore, des résultats classi- ques permettent d’obtenir ^ces nombres par récurrence

(ils apparaissent

^en

effet dans de nombreux

problèmes,

^{niveaux du} "treillis de

Young",

^distribu-

tion de la

statistique

^somme des rangs dans le ^test de Wilcoxon - Mann -

Whitney,

nombre de

"partages"

^{d’un nombre au}

plus égal

^{à 18 - en au}

^plus

^trois

nombres au

plus égaux

^à

^6).

^La

figure

^{4 montre la} distribution

obtenue,

^c’est- à-dire le nombre de patrons ^{de score} fixé.

11.6. La structure

algébrique

^de l’ensemble des patrons ^{saturés : un treillis} distributif

Quelle

^{est la structure}

algébrique

^de l’ensemble des patrons

saturés,

^{des 84}

patrons ^de l’ordre

produit

^{de notre}

exemple ?

^{Dans ce}

paragraphe "patron"

signifiera toujours

patron saturé.

Il existe une relation d’ordre ^entre les patrons

saturés, qui

^{est sim-}

plement

^{leur inclusion} ensembliste :

P c= P’ si tout item de P

appartient

^{à P’ .}

Là _encore, un résultat

général

^sur les ensembles ordonnés

(cf.

par

exemple

L’Ensemble ^des patrons ^saturés

A. Nomenclature

Figure

^4.

Barbut et

Monjardet, ¹⁹⁷⁰⁾

permet d’énoncer :

L’ensemble à

des patrons saturés muni de l’ordre

d’inclusion C ,

^{est un}

treillis distributif. Dans ce

treillis,

^les

opérations

^{supremum et infimum}

sont données _{par :}

(items

appartenant ^{à P ou}

P’ ) (items

appartenant ^{à P et}

P’ )

Le

plus petit

patron

de Y

^{est le} _patron ^vide

(aucun

item

"réussi")

et le

plus grand

^{est le} patron formé ^{de tous les}

items,

c’est-à-dire E .

Puisque

l’ensemble des vecteurs-scores est en

bijection avec -f

^,

11

^{a la même structure de} treillis distributif _que

J .

^. L’ordre entre deux vecteurs-scores

n n n

^et

n’1

^{est défini par :}

et

Quant

^aux

opérations

^du

treillis,

^elles s’obtiennent ainsi :

Par

exemple,

^{si on considère les} patrons

P3

^et

P4

^{de la}

^{figure 3,}

^{et leurs}

vecteurs-scores 533 et

440,

^{on en déduit} que le vecteur-score de

P3

^lJ

P4 ’

égal

^à

v(P3)

^v

v(P4),

^est

^{543 ;}

^de

^même,

^le vecteur-score de

P3

ⁿ

P4 ,

égal

^à

V(P3)A v (P4) ,

^{est 430.}

La

figure

⁵

représente

^{le treillis des 84} patrons

saturés,

^codés par leurs vecteurs-scores

(autrement

^{dit le treillis}

V ).

^Les _patrons de même

score

(~(p) =

n + n2 + n3)

^sont

^alignés

^{sur un}

^niveau,

^et les successeurs*

de

chaque

patron ^dans l’ordre d’inclusion

(c’est-à-dire

les patrons ^contenant

un item de

plus)

^{sont donc}

figurés

^{sur le} niveau immédiatement

supérieur;

^de

même les

prédécesseurs*

^{d’un patron}

(qui

comportent ^{un item de}

moins),

^sont

situés sur le niveau immédiatement inférieur. Un patron ^{a au}

plus

^{trois suc-}

cesseurs et trois

prédécesseurs (immédiats),

^{et au moins un tel successeur}

(sauf

_pour

666)

et un tel

prédécesseur ^(sauf

^pour

^000).

^Un

exemple

^de patron

avec trois successeurs et trois

prédécesseurs

^{est 432.}

II.7. Construction de l’ensemble des patrons ^de

réponse impliqués

par l’ordre de base. Formation de trois

systèmes

^de

générateurs.

Nous allons maintenant définir certaines

catégories particulières

^de patrons

saturés, qui

^{ont l’intérêt de} constituer ^des

systèmes

^de

générateurs

permet-

tant la construction de l’ensemble des patrons

impliqués

par l’ordre de base.

Figure

^2b

Figure

^2a

Figure

^{2. : i Le treillis} distributif des 84 patrons saturés.

(on

^a

représenté

^{deux des}

figurations possibles

^{de ce}

treillis)