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M
Lundi 19 novembre 2007.
DS de mathématiques. 1S1 et 1S2.
Partie 2.
3 heures. CALCULATRICE INTERDITE.
Les exercices seront faits sur des feuilles séparées.
Exercice 1.
Dans un repère (O ; i→ ; j→), (P) est la parabole d’équation y = x² − 3x + 1 et (∆) est la droite d’équation y = x + 2.
1. Construire (P) et (∆). Justifier cette construction.
2. A et B sont deux points de (P) d’abscisses respectives a et b. Calculer, en fonction de a et b, le coefficient directeur de la droite (AB) et le simplifier.
3. A quelle condition sur a et b a−t−on (AB)//(∆) ? Exprimer alors b en fonction de a.
4. Soit I le milieu de [AB] et (AB) //(∆).
a. Montrer que tous les points I appartiennent à une droite fixe.
b. Justifier que l’ordonnée de I a une valeur minimale et donner cette valeur.
c. Préciser alors à quel ensemble appartiennent les points I.
Exercice 2.
Le directeur d’une salle de spectacle a remarqué qu’à 8 € la place il peut compter sur 500 spectateurs ; de plus, chaque fois qu’il diminue de 0,50 € le prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus.
Quel tarif doit−il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Quelle est cette recette ?
Exercice 3.
Question préliminaire : donner l’écriture générale d’un polynôme de degré 3.
P est un polynôme de degré 3 tel que P(0) = 0 et pour tout réel x, P(x + 1) − P(x) = x².
1. Montrer, à l’aide d’une identification, que P(x) = 1 3x
3 + 1 2 x² + 1
6 x.
2. Factoriser P(x).
3. Calculer : P(2) − P(1) ; P(3) − P(2) ; P(4) − P(3) ; P(27) − P(26).
4. Déduire des questions précédentes, l’expression sous forme de produit de 1² + 2² + 3² + … + n² où n est un entier naturel.
Exercice 4.
Sur chaque côté du triangle ABC les subdivisions sont régulières.
1. Exprimer I et J comme barycentres de A et B, K et L comme barycentres de B et C
et M et N comme barycentres de A et C.
2. Prouver que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en un point à préciser.
Construction à faire sur l’annexe.
A E o
B
F
Exercice 5.
ABC est un triangle.
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que yMA→ + 4 MB→ + MC→ y = 3 yMA→ + MB→ y.
Construction à faire sur l’annexe.
Exercice 6.
Une plaque métallique homogène circulaire de rayon 4, est percée de deux petit disques, dont les centres sont les milieux des segments [OA] et [OB], les rayons étant tous les deux égaux à OA
4
1. Construire le centre d’inertie G de la plaque. (la construction doit être justifiée …) 2. On veut percer un troisième disque de centre S et de rayon OA
4 , de telle sorte que le centre de gravité de la plaque percée des trois trous soit le point O. Quel doit être l’emplacement de S ?
Construction à faire sur l’annexe.
B
K L
C J
I A
N
M
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K L
C J
I A
N
M
ANNEXE. à rendre avec votre copie. NOM :
Exercice 4.
Exercice 5.
Exercice 6.
A C
B
A C
B
A E o
B
F
A1
B1
A2
B2 I1
I2
2 3 4
-1 -2
2 3 4 5 6 7
-1
0 1
1
x y
A1
B1
A2
B2 I1
I2
DS du 19 novembre 2007. Corrigé.
Exercice 1.
dans (O ; i→→→→ ; j→→→→), (P) est la parabole d’équation y = x² −−−− 3x + 1 et (∆∆∆∆) est la droite d’équation y = x + 2.
1. Construire (P) et (∆∆∆∆).
Justifier cette construction.
Construction de (P) :
Le coefficient 1 de x² est positif donc (P) est
« tournée vers le haut »
Le sommet de (P) a pour abscisse x = -(-3) 2 × 1 = 3/2 et donc pour ordonnée (3/2)² − 3(3/2) + 1 = −5/4 La droite d’équation x = 3/2 est axe de symétrie de (P).
Il reste à trouver quelques points pour construire (P) …
Construction de (∆) :
(∆) coupe l’axe des ordonnées en 2 et l’axe des abscisses en − 2.
2. A et B sont deux points de (P) d’abscisses respectives a et b. Calculer, en fonction de a et b, le coefficient directeur de la droite (AB).
A est sur (P) et son abscisse est a donc son ordonnée est a² − 3a + 1 B est sur (P) et son abscisse est b donc son ordonnée est b² − 3b + 1 le coefficient directeur de (AB) est m = yB - yA
xB- xA = b² - 3b + 1 - a² + 3a - 1
b - a = (b - a)(b + a) - 3(b - a)
b - a = b + a − 3 3. A quelle condition sur a et b a−−−−t−−−−on (AB)//(∆∆∆∆) ?
les 2 droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur donc (AB) // (∆) ⇔ b + a −3 = 1 ⇔ b + a = 4
4. Soit I le milieu de [AB] et (AB) //(∆∆∆∆).
Dans cette question on sait que (AB)//(∆) donc que a + b = 4 ; on pourra donc remplacer b par 4 − a I est le milieu de [AB] donc xI = a + b
2 = a + 4 - a 2 = 2
yI = a² - 3a + 1 + (4 - a)² - 3(4 - a) + 1
2 = … = a² − 4a + 3 a. Montrer que tous les points I appartiennent à une droite fixe.
xI = 2 qui ne dépend pas de a (ni de b …) donc I est sur la droite d’équation x = 2 b. Justifier que l’ordonnée de I a une valeur minimale et donner cette valeur.
yI = a² − 4a + 3 qui est un trinôme ayant une valeur minimale (le coefficient de a² est positif) cette valeur minimale est obtenue quand a = −(−4)/2 = 2 et vaut (2)² − 4(2) + 3 = −1
c. Préciser alors à quel ensemble appartiennent les points I.
on déduit des questions précédentes que I est sur la demi−droite caractérisée par x = 2 y ≥ -1 voir la figure où sont construites deux droites (AB) particulières …
Exercice 2.
Le directeur d’une salle de spectacle a remarqué qu’à 8 € la place il peut compter sur 500 spectateurs ; de plus, chaque fois qu’il diminue de 0,50 € le prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus.
Quel tarif doit−−−−il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Quelle est cette recette ? Avec x diminutions de 0,50 € : le prix sera alors de 8 − 0,50 x € la place
et il devrait y avoir 500 + 100 x spectateurs La recette sera donc R = (8 − 0,5 x)(500 + 100 x) = … = −50 x² + 550 x + 4000
R est un trinôme qui a une valeur maximale (car le coefficient de x² est négatif) obtenue pour x = - 550
2(-50) = 5,5 cette recette vaut alors : −50(5,5)² + 550(5,5) + 4000 = 5512,5 €
Bilan : avec le prix d’une pace à 8 − 5,5(0,5) = 5,25 €
il y aura 500 + 100(5,5) = 1050 spectateurs et la recette sera maximale et sera de 5512,5 €
Exercice 3.
Question préliminaire : donner l’écriture générale d’un polynôme de degré 3.
L’écriture générale d’un polynôme de degré 3 est P(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a ≠ 0 P est un polynôme de degré 3 tel que P(0) = 0 et pour tout réel x, P(x + 1) −−−− P(x) = x².
1. Montrer, à l’aide d’une identification, que P(x) = 1 3x
3−−−−1 2 x² + 1
6 x.
P est un polynôme de degré 3 donc P(x) = ax3 + bx² + cx + d P(0) = 0 donc d = 0
P(x +1) − P(x) = a(x +1)3 + b(x +1)² + c(x +1) − a x3 − b x² − c x
= a(x3 + 3x² + 3x + 1) + b(x² + 2x + 1) + cx + c −a x3 − bx² − cx = a x3 + 3ax² + 3ax + a + bx² + 2bx + b + cx + c − a x3− bx² − cx = 3ax² + (3a + 2b)x + a + b + c
Pour tout réel x, P(x + 1) − P(x) doit être égal à x².
P(x + 1) − P(x) et x² sont deux polynômes de degré 2 (car 2a ≠ 0)
il faut donc que les coefficients des monômes de même exposant soient égaux.
On procède alors à une identification : on obtient :
3a = 1 3a + 2b = 0 a + b + c = 0
et donc
a = 1/3 b = -1/2 c = 1/6
d’où P(x) = 1 3x
3−1 2 x² + 1
6 x.
2. Factoriser P(x).
P(x) = 1 3x
3−1 2 x² + 1
6 x = 1
6 x (2x² − 3x + 1)
2x² − 3x + 1 a pour racine évidente 1, l’autre est donc ½ et de ce fait 2x² − 3x + 1 = 2(x − 1)(x − ½) on a alors P(x) = 1
6 x(x − 1)(2x − 1)
3. Calculer : P(2) −−−− P(1) ; P(3) −−−− P(2) ; P(4) −−−− P(3) ; P(27) −−−− P(26).
P(2) − P(1) = P(1 + 1) − P(1) = 1² P(3) − P(2) = P(2 + 1) − P(2) = 2² P(4) − P(3) = P(3 + 1) − P(3) = 3² P(27) − P(26) = P(26 + 1) − P(26) = 26².
4. Déduire des questions précédentes, le calcul de 1² + 2² + 3² + … + n² où n est un entier naturel.
D’après la définition de P et en observant les calculs faits au 3. :
1² + 2² + 3² + … + n² = P(2) − P(1) + P(3) − P(2) + P(4) − P(3) + … + P(n + 1) − P(n) = − P(1) + P(n + 1) = P(n + 1) = n(n + 1)(2n + 1)
6
A
B
C I
J G
A
B
C I
J G B
K L
C J
I A
N
M
B
K L
C J
I A
N
M
Exercice 4.
Sur chaque côté du triangle ABC les subdivisions sont régulières.
1. Exprimer I et J comme barycentres de A et B, K et L comme barycentres de B et C
et M et N comme barycentres de A et C.
La figure nous indique que IB→ = −2IA→
or IB→ = −2IA→⇔ 2 IA→ + IB→ = o→ donc I est la barycentre de (A,2) et (B,1) car 1 + 2 ≠ 0
les positions relatives des points I, J, K, L, M, N étant les mêmes sur les trois côtés du triangle, On démontre de même que J est le barycentre de (B,2) (A,1)
K est le barycentre de (B,2) (C,1) et L est le barycentre de (B,1) (C,2) N est le barycentre de (A,2) (C,1) et M est le barycentre de (A,1) (C,2) 2. Prouver que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en un point à préciser.
Soit G le centre de gravité du triangle ABC
G est le barycentre de (A,2) (B,2) (C,2) donc de (A,2) (B,1) (B,1) (C,2)
donc de (I,3) (L,3) donc G est le milieu de [IL]
G est le barycentre de (A,2) (B,2) (C,2) donc de (A,1) (B,2) (A,1) (C,2)
donc de (J,3) (M,3) donc G est le milieu de [JM]
G est le barycentre de (A,2) (B,2) (C,2) donc de (A,2) (C,1) (C,1) (B,2)
donc de (N,3) (K,3) donc G est le milieu de [NK]
G étant le milieu des trois segments [IL], [JM] et [NK] il est le point de concours des trois droites.
Exercice 5.
ABC est un triangle.
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que yyyyMA→→→→ + 4 MB→→→→ + MC→→→→ yy = 3 yyy yyMAy →→→→ + MB→→→→ yyyy.
Pour « traiter » cette égalité il faut « réduire » les sommes MA→ + 4 MB→ + MC→ et MA→ + MB→ Déterminer ….
Réduction de MA→ + 4 MB→ + MC→ :
1+4+1 ≠ 0 donc il existe un point G barycentre de (A,1) (B,4) (C,1) on a alors : pour tout point M du plan,
MA→ + 4 MB→ + MC→ = 6 MG→ Réduction de MA→ + MB→ :
soit I le milieu de [AB],
pour tout point M du plan MA→ + MB→ = 2 MI→ Recherche des points M :
Compte tenu des réductions précédentes :
yMA→ + 4 MB→ + MC→ y = 3 yMA→ + MB→ y devient y6 MG→ y = 3 y2 MI→y.
or y6 MG→ y = 3 y2 MI→y ⇔ 6y MG→ y = 6y MI→y ⇔ 6 MG = 6 MI ⇔ MG = MI
donc l’ensemble des points M cherché est la médiatrice du segment [GI]
Construire ……
construction de G :
Soit J le milieu de [AC], J est le barycentre de (A,1) (C,1)
D’après la propriété du barycentre partiel, on a G barycentre de (J,2) (B,4) donc de (J,1) (B,2) on a alors GJ→ + 2 GB→ = o→ d’où JG→ = (2/3)JB→ égalité qui permet de construire G.
construction de I : évidente …
A E o
B
F I
G
S Exercice 6.
Une plaque métallique homogène circulaire de rayon 4, est percée de deux petit disques, dont les centres sont les milieux des segments [OA] et [OB], les rayons étant tous les deux égaux à OA/4
1. Construire le centre d’inertie G de la plaque.
La plaque étant homogène, la masse de chaque partie est proportionnelle à l’aire de cette partie.
L’aire A du disque de départ est π× 4² = 16π
L’aire de chaque petit disque enlevé est π(4/4)² c’est à dire π
Et on sait que le centre d’inertie d’un disque homogène est son centre.
visualisationdu problème :
disque plein centre d’inertie O masse 16 π −
petit disque centre d’inertie E masse π −
petit disque centre d’inertie F masse π =
disque troué centre d’inertie G masse 14 π ce qui se traduit par : G est le barycentre de (O, 16π ) (E, −π ) (F,− π )
donc G est le barycentre de (O,16) (E,−1) (F,−1) en simplifiant les coefficients par π Construction de G : soit I le milieu de [EF], I est le barycentre de (E,−1) (F,−1) G est alors le barycentre de (O,16) (I,−2) donc de (O,8) (I,−1) d’où OG→ = (−1/7) OI→ ou :
disque troué centre d’inertie G masse 14 π +
petit disque centre d’inertie E masse π +
petit disque centre d’inertie F masse π =
disque plein centre d’inertie O masse 16 π ce qui se traduit par : O est le barycentre de (G, 14π ) (E, π) (F, π)
donc O est le barycentre de (G, 14 ) (E, 1) (F, 1)
donc O est la barycentre de (G, 7) (I, 1) avec I milieu de [EF]
On a alors 7OG→ + OI→ = o→ donc OG→ = (−1/7) OI→
2. On veut percer un troisième disque de centre S et de rayon OA/4, de telle sorte que le centre de gravité de la plaque percée des trois trous soit le point O. Quel doit être l’emplacement de S ?
visualisationdu problème :
disque plein centre d’inertie O masse 16 π −
petit disque centre d’inertie E masse π −
petit disque centre d’inertie F masse π −
petit disque centre d’inertie S masse π =
disque troué centre d’inertie G
masse 13 π
ce qui se traduit par : O est le barycentre de (O, 16π ) (E,− π) (F,− π) (S,− π) donc O est le barycentre de (O,16) (E,−1) (F,−1) (S,−1)
donc O est le barycentre de (E,−1) (F,−1) (S,−1) c’est à dire le centre de gravité du triangle EFS S est donc sur la médiane (IO) et IS→ = 3IO→ (ou OS→ = −2OI→) ou :
disque 2 trous centre d’inertie G masse 14 π −
petit disque centre d’inertie S masse π +
disque 3 trous centre d’inertie O masse 13 π ce qui se traduit par : O est le barycentre de (G, 14π) (S, −π) donc O est le barycentre de (G, 14) (S, −1)
donc 14OG→ − OS→ = o→ c’est à dire OS→ = 14OG→
remarque : OS→ = 14OG→ ⇔ OS→ = 14OG→ ⇔ OS→ = 14(−1/7) OI→ d’après 1.
⇔ OS→ = −2OI→ …. cela donne évidemment le même point S
