2ndes 1-2-3-4-5 DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 21-12-2007 Calculatrice autorisée 2 heures
Orthographe, présentation, rédaction entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le barème est donné à titre indicatif.
Utiliser la feuille de figures (à rendre ) : page 4 pour les exercices 1,2,3,4 et page 3 pour l’exercice 5.
Exercice 1 (5 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i j
on considère les points : (1;1) , (4; 0) , (0; 2) , ( 3; 1)
A B C − D − − .
1. Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
On répondra aux questions suivantes par des calculs :
2. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3. Soit I le milieu de
[ ]
AB , calculer ses coordonnées.Déterminer les coordonnées du point M tel que le quadrilatère AIDM soit un parallélogramme.
4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
5. Déterminer les coordonnées du point K tel que KA+KB−KD=0 . Que peut-on dire des vecteurs KI
et KD
? Justifier.
Que peut-on en déduire ? Exercice 2 (3points)
Soit ABC un triangle quelconque.
1. Placer les points E et F définis par : 1
AE=2AB+BC
et 3
AF =2 AC+BA
. 2. Montrer que les droites (EF et () BC sont parallèles. )
Exercice 3 (3,5 points)
Soit ABCD un parallélogramme.
1. Construire les points E et F tels que : 3 AE=2AB
et DF= −2DA . 2. Montrer que FE=3CE
3. Montrer que les points E , F et C sont alignés.
Exercice 4 (2 points)
A et B sont deux points du plan distants de 5 cm.
1. Quelle est l’abscisse du point M dans le repère d’origine A de vecteur unitaire AB
défini par 3
AM =5AB
? Placer M.
2. Même question pour le point N tel que : 3NA+2BN=0
. Placer N.
page 1
Exercice 5 (6,5 points)
Une entreprise fabrique un maximum de 32 ordinateurs haut de gamme par mois.
On suppose que l’entreprise vend toute sa production, quel que soit le nombre d’ordinateurs fabriqués.
Sur le graphique page suivante :
- La courbe C représente le coût total de production (charges, salaires, matériel…) en centaines d’ euros, en fonction du nombre x d’ordinateurs produits.
- La droite D représente la recette totale en centaines d’euros engendrée par la vente de ces x ordinateurs.
Ainsi, la graduation 100 correspond à 10 000 euros.
1. Par lecture graphique et en faisant figurer sur le graphique les tracés nécessaires :
a. Donner le coût total de production de 10 ordinateurs. ; en déduire le coût unitaire de production, c’est à dire le coût de production d’un ordinateur quand on en fabrique 10.
b. Quel est le coût unitaire si on fabrique 15 ordinateurs ? Arrondir la réponse à l’euro.
c. Préciser le montant des coûts fixes, c’est à dire qui ne dépendent pas du nombre d’ordinateurs fabriqués.
d. Peut-on dire que la recette est proportionnelle au nombre d’ordinateurs vendus ? pourquoi ? e. Donner en justifiant, le bénéfice réalisé par l’entreprise suite à la production et à la vente de 10
ordinateurs.
f. Pour combien d’ordinateurs produits et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? g. Donner le bénéfice maximal et pour combien d’ordinateurs vendus il est obtenu : expliquer la démarche et l’indiquer sur le graphique.
2. Partie calculs :
On admet que les deux courbes précédentes sont définies pour x∈
[
0;32]
par :( )C x = +x² 5x+125 pour le coût de production.
( )R x =35x pour la recette.
a. Montrer que le bénéfice réalisé par l’entreprise, suite à la production et à la vente de x ordinateurs est donné par :
( )B x = − +x² 30x−125.
b. Montrer que ( )B x = − −(x 15)² 100+ .
c. Retrouver le résultat lu dans la question 1. g : pour combien d’ordinateurs vendus l’entreprise réalisera-t-elle le bénéfice maximal et quel est son montant ? Justifier.
d. Que peut-on penser de l’affirmation suivante : « pour que le bénéfice soit maximal, il suffit que le coût unitaire soit le plus bas possible. »
page 2
Corrigé du DS de Seconde Exercice 1
Rappels de l’énoncé : A(1;1) , B(4; 0) , C(0; 2) ,− D( 3; 1)− − . 1. La figure est donnée en fin d’exercices.
2. On a 3
AB 1
−
et 3
DC 1
−
donc AB=DC
ce qui prouve que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3. Soit I le milieu de
[ ]
AB : d’après le cours ;2 2
A B A B
x x y y
I + +
donc 5 1;
I2 2
. Soit M x
y
: le quadrilatère AIDM soit un parallélogramme si et seulement si (ssi)
3 2 3
1 1
2
IA DM x y
− +
=
+
.
Comme deux vecteurs sont égaux ssi il sont les mêmes coordonnées, on a
3 9
3 2 2
1 1
1 2 2
x x
y y
+ = − = −
⇔
+ = = −
.
Ainsi, le point M a pour coordonnées 9; 1 2 2
M
− −
.
4. On a 3
AB 1
−
donc AB2 = + −32 ( 1)2 =10 ; 1
AC−3
−
donc AC2 = −( )3 2+ −( 1)2 =10 ; BC−−42
donc ( )2
2 2
4 ( 2) 20 BC = − + − = .
AB = AC (= 10) donc ABC est isocèle en A
AB² + AC² = BC² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
Ainsi ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
5. > Soit K x y( ); : alors 1 4 3
1 1
x x x
KA KB KD
y y y
− − − −
+
− − − −
−
a pour coordonnées 8 2
x y
−
−
.
Mais comme 0
0 0
KA KB KD
+ − =
, en identifiant les coordonnées, on trouve x = 8 et y = 2. Ainsi K( )8; 2 .
> On a alors 11 3 2 ; 2
KI
− −
et KD
(
− −11; 3)
donc KD=2KI.> D’après le cours, on peut en déduire que I est le milieu de [KD], et comme c’est aussi le milieu de [AB], dans le quadrilatère AKBD, les diagonales se coupent en leur milieu : AKBD est donc un parallélogramme.
1 1 A
B
C D
I
M
K
Exercice 2 (3points)
Soit ABC un triangle quelconque.
1. Les points E et F sont définis par : 1
AE= 2AB+BC
et 3
AF =2AC+BA
.
2. Pour montrer que les droites (EF et () BC sont parallèles il ) suffit de prouver que les vecteurs EF
et BC
sont colinéaires.
D’après la relation de Chasles, on a EF=EA+AF
donc par hypothèse
1 3 3 3
2 2 2 2
EF= −AE+AF = − AB+BC+ AC+BA= BA+ AC−BC
. Or 32BA+32AC=32
(
BA+AC)
=32BC donc EF=32BC−BC=12BC.Les vecteurs EF
et BC
sont bien colinéaires donc les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
Exercice 3 (3,5 points)
Soit ABCD un parallélogramme.
1. Les points E et F sont tels que : 3 AE=2AB
et DF= −2DA . 2. Montrons que FE=3CE
: d’après le relation de Chasles, 3
2 3
2
2 3
1 2 AE
FD DA AB
AE A
FE DA AE DA DA
CE CD DA AB DA B DA AB
= + + = + + = +
= + + =− + + = +
et on a bien
3 FE= CE
. 3. D’après la question 2, les vecteurs FE
et CE
sont colinéaires donc les droites (FE) et (CE) sont parallèles.
Comme elles ont le point E en commun, ces deux droites sont confondues ce qui implique que les points F, E et C sont alignés.
Exercice 4 (2 points) A et B sont deux points du plan distants de 5 cm.
1. M est le point défini par 3 AM =5AB
dans le repère d’origine A de vecteur unitaire AB
.
Par définition, M est d’abscisse 3
5 ! (pour info M est alors plaçé à 3 5 3
5× = cm de A, dans le sens de AB
).
2. Pour le point N tel que : 3NA+2BN=0
, on doit exprimer AN
en fonction de AB
(le vecteur de référence du repère).
D’après la relation de Chasles, 3NA+2BN= ⇔0 3NA+2BA+2AN= ⇔ −0 AN=2AB⇔AN= −2AB : N a donc pour abscisse –2.
A
B E C
F
A B
C D
E F
Exercice 5 (6,5 points)
1. Par lecture graphique et en faisant figurer sur le graphique les tracés nécessaires :
1a. Graphiquement, le coût total de production de 10 ordinateurs est de 280 centaines d’euros environ.
Le coût unitaire de production de 10 ordinateurs est donc de 280 28
10 = centaines d’euros, soit 2800€.
1b. De même, le coût de production de 15 ordinateurs est d’environ 42500€ soit un coût unitaire de 42500 2833
15 ≈ € environ.
1c. Le montant des coûts fixes est donné par le coût de production de 0 ordinateurs, soit environ 125 centaines d’euros.
1d. Oui la recette est proportionnelle au nombre d’ordinateurs vendus puisque la recette est repréntée graphiquement par une droite qui passe par l’origine.
Cela signifie que r est une fonction linéaire de la forme r(x) = ax où a sera le rapport de proportionnalité entre recette et nombre d’ordinateurs fabiqués (donc a est le prix d’un ordinateur !).
1e. Le bénéfice réalisé par l’entreprise suite à la production et à la vente de 10 ordinateurs est donnée par la différence entre la recette et le cout de production de 10 unités et, soit respectivement 35000€ et 28000€.
Lé bénéfice est donc de 7000€.
1f. Comme Benefice = recette – cout, l’entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure au coût.
Graphiquement, il y a des bénéfices quand la courbe représentant les recettes est au dessus de la courbe représentant les couts soit pour une production comprise entre 5 et 25 ordinateurs.
1g. Le bénéfice maximal est donc représentée graphiquement par le plus grand écart entre les deux courbes, lorsque x est compris entre 5 et 25.
On lit un bénéfice maximal d’environ 10000€ réalisé par la production de 14 ordinateurs.
2. Partie calculs :
On admet que les deux courbes précédentes sont définies pour x∈
[
0;32]
par : ( )C x = +x² 5x+125 pour le coût de production et ( )R x =35x pour la recette.2a. Le bénéfice est la recette moins le cout donc B x( )=R x( )−C x( )=35x−
(
x2+5x+125)
= − +x2 30x−125.2b. Développons − −(x 15)² 100+ = −
(
x2−30x+225)
+100= − +x2 30x−125 et on reconnaît B(x).Ainsi B x( )= − −(x 15)2+100.
2c. Comme un carré est toujours positif, on a pour tout x, − −(x 15)2 ≤0 donc − −(x 15)2+100≤ +0 100. Ainsi, pour tout x, B x( )≤100 : 100 est donc un majorant de B.
Mais B(15) = -(0)² + 100 = 100 donc 100 est le maximum de B, réalisé pour x = 15.
Benef. Max
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 2
100
x y
Cela est cohérent avec la lecture graphique faite en 1g, où on avait estimé que x = 14 et Bmax = 100 centaines d’euros.
2d. Que peut-on penser de l’affirmation suivante : « pour que le bénéfice soit maximal, il suffit que le coût unitaire soit le plus bas possible. »
C’est faux !! Comme nous l’avons vu en 1a et 1b, le cout unitaire de production de 10 ordinateurs est plus faible que celui de 15.
Pourtant, le bénéfice réalisé est maximal pour 15 ordinateurs fabriqués, donc supérieurs à celui réalisé pour 10.
