LE SYSTÈME À DOUBLE CHAMBRE D'ÉQUILIBRE

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — N " 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 4 8 1

L e s y s t è m e à d o u b l e c h a m b r e d ' é q u i l i b r e

T h e d o u b l e s u r g e - t a n k s y s t e m

РАК LE DOCTEUR CHARLES J A E G E R SPECIAL LECTURER, IMPERIAL COLLEGE, LONDON UNIVERSITY CONSULTANT ENGINEER OF THE ENGLISH ELECTRIC COMPANY

Le Dr. Charles JAEGER présente une solution originale du problème de la stabilité des sys- tèmes à double chambre d'équilibre, considéré jusqu'ici comme dépassant les moyens de l'ana-

lyse mathématique, en raison du grand nombre de paramètres indépendants que comporte le problème.

Dr. Charles JAEGER presents an original solution of the stability of double surge-tank systems — a problem that has hitherto been regarded as beyond general analysis, on account of the large number of indépendant variables that the pro-

blem contains.

PREMIÈRE PARTIE

L e s y s t è m e à c h a m b r e d ' é q u i l i b r e d o u b l e fai- s a n t l ' o b j e t d e cet a r t i c l e c o m p r e n d u n e c h a m - b r e à l ' e x t r é m i t é a m o n t d ' u n e t u r b i n e à r é a c - t i o n et u n e c h a m b r e d u côté a v a l . Le c a s des d e u x c h a m b r e s s i t u é e s d ' u n m ê m e côté de la t u r - b i n e n e s e r a p a s e x a m i n é ; on l ' a b o r d e r a i t de la m ê m e f a ç o n et o n a r r i v e r a i t p r o b a b l e m e n t à des r é s u l t a t s a n a l o g u e s .

P o u r c a l c u l e r les o s c i l l a t i o n s q u i se p r o d u i - s e n t d a n s ces c h a m b r e s , o n e m p l o i e d ' o r d i n a i r e des p r o c é d é s g r a p h i q u e s [1] [ 2 ] ; o n n ' a j a m a i s é t a b l i d é f i n i t i v e m e n t les c o n d i t i o n s g é n é r a l e s d o n t d é p e n d l a s t a b i l i t é de l ' o s c i l l a t i o n

L e s y s t è m e d o n t il s e r a q u e s t i o n p r é s e n t e m e n t a été t o u t d ' a b o r d d é c r i t et é t u d i é p a r n o u s e n 1943 et a d e p u i s é t é u t i l i s é d a n s le c a s des c h a m - b r e s n o m b r e u s e s et t r è s g r a n d e s . Le s y s t è m e à d e u x c h a m b r e s de l a Chiite des P a s s e s ( C a n a d a ) ,

(a) Les chiffres e n t r e crochets se r a p p o r t e n t à l'index b i b l i o g r a p h i q u e m i s à la fin.

q u i s e m b l e ê t r e le p l u s g r a n d d u m o n d e , a p p a r - t i e n t à ce t y p e (^h) . E t a n t d o n n é la v o g u e d o n t j o u i s s e n t a c t u e l l e m e n t les c e n t r a l e s s o u t e r r a i n e s , il est à p r é v o i r q u e de n o m b r e u s e s c h a m b r e s de ce g e n r e s e r o n t c a l c u l é e s et c o n s t r u i t e s , ï l est d o n c t r è s u t i l e d ' é t a b l i r u n e t h é o r i e c o m p l è t e de ces s y s t è m e s , d ' a u t a n t p l u s q u e les a v i s d e s s p é c i a l i s t e s d e la q u e s t i o n s o n t d i v i s é s au s u j e t d e s c o n d i t i o n s q u ' i l y a lieu de r é a l i s e r p o u r o b t e n i r des o s c i l l a t i o n s s t a b l e s . P e n d a n t de l o n - g u e s a n n é e s , o n a p e n s é q u e les é q u a t i o n s g é n é - r a l e s d e la s t a b i l i t é des s y s t è m e s à c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e , é t a b l i e s en 1943, n e c o m p o r t a i e n t p a s d e s o l u t i o n g é n é r a l e s u s c e p t i b l e d e d i s c u s - s i o n . D a n s ce q u i s u i t , n o u s p r é s e n t e r o n s c e t t e s o l u t i o n et l ' e x a m i n e r o n s d a n s ses d é t a i l s .

L e s é q u a t i o n s de b a s e e x p r i m a n t les o s c i l l a - t i o n s d a n s u n s y s t è m e à d o u b l e c h a m b r e d ' é q u i - (b) Le projet en est dû à H. G. ACRES, i n g é n i e u r - conseil, au nom de l ' A l u m i n i u m C° du Canada.

(*) Une version a n g l a i s e de cet article a été publiée p a r la r e v u e Water Power, d a n s ses n u m é r o s de j u i l l e t (pp.

253-258) et d ' a o û t 1957 (pp. 301-305) et nous sommes h e u r e u x d'en p u b l i e r ici la version française en p a r a l l è l e avec n o - tre confrère.

2

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957043

4 8 2 L A H O U I L L E B L A N C H E № 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

l i b r e , telles q u ' e l l e s o n t été d o n n é e s d a n s n o t r e m é m o i r e p u b l i é e n 1 9 4 3 , s o n t :

J ^ ⁱ + z¹ + P ^] w ¹ ^ o pour la c h a m b r e a m o n t , et

La dW²

g dt Z² + P² W^{2 a} = 0

( 1 )

(2) pour la c h a m b r e aval. L e s é q u a t i o n s de c o n t i - nuité s'écrivent :

W¹/¹ = F ¹ - ^ + Q

Q = F² dZ,

dt W²/²

. . (3)

(4) l e s n i v e a u x d ' o s c i l l a t i o n s Z^x e t Z² é t a n t c o m p - t é s p o s i t i v e m e n t v e r s le h a u t . L a s i g n i f i c a t i o n d e s s y m b o l e s W^{l 5} W², L j , L^{2 s} f^l9 f², F^l9 F² e t Q e s t d o n n é e s u r l a figure 1 (^c) , les i n d i c e s 1, 2 s e r a p p o r t e n t r e s p e c t i v e m e n t a u x g a l e r i e s et

i+z, _

FlG. 1

c h a m b r e s a m o n t et a v a l ; P i WY² et P² W^{2 2} r e - p r é s e n t e n t les p e r t e s d e c h a r g e d u e s a u f r o t t e - m e n t et à l ' e n t r é e d e s d e u x g a l e r i e s . E n p l u s

d e ces q u a t r e é q u a t i o n s , la c o n d i t i o n d e r é g l a g e à p u i s s a n c e c o n s t a n t e N e s t q u e :

N = y 7) Q H = c o n s t a n t e , o u e n c o r e ; C = Q0 ( H , — P3 W , o2 — P2 W2 02 )

= Q⁰ H o ^ Q C H + Z x - Z , ) (5) W^{1 0} e t W²o é t a n t l e s v i t e s s e s W¹ et W² p o u r le c a s d e l ' é c o u l e m e n t c o n s t a n t e t p o u r Q = Q⁰. Q u a n t à y, il d é s i g n e le p o i d s s p é c i f i q u e d e l ' e a u e t Tj le r e n d e m e n t d e s t u r b i n e s et d e s m a c h i n e s é l e c t r i q u e s .

(c) Les notations adoptées dans cet article sont celles qui ont été introduites par CALAME et GADEN et utilisées par ESCANDE et HURON et par d'autres ayant eu à traiter ce problème.

(d) Voir les équations (34) et (35) de l'article [1] de Ch. JEAGEH, paru en 1943 et les équations (7) de l'ar- ticle [5] d'EscANDE et HURON, paru en 1953.

D a n s l ' é q u a t i o n (5), la c h u t e n e t t e e s t définie p a r :

H0 = H — P j w1 0 2 — P2W202

H é t a n t la h a u t e u r b r u t e p o u r Q — 0.

N o u s a v o n s m o n t r é q u e les c i n q é q u a t i o n s (1) à (5) p e u v e n t ê t r e r é d u i t e s à u n s y s t è m e d e d e u x é q u a t i o n s d u s e c o n d o r d r e , t e l l e s q u e :

d'² s, ds^

dt*

d² s² dt*

1 dt

dso dt

b^ls^l = Aⁱ Bi *² . . . (6)

b² s² = A²-jj^L + B²s¹ . . . (7) s^x et s² d é s i g n a n t les h a u t e u r s d ' o s c i l l a t i o n m e - s u r é e s d e p u i s le n i v e a u final d ' é c o u l e m e n t c o n s - t a n t Si Z^x et Z² d é s i g n e n t les h a u t e u r s m e - s u r é e s à p a r t i r d u n i v e a u s t a t i o n n a i r e d u r é s e r - voir e t si Z¹⁰ = — P x W V e t Z^{2 0} = — P^{2 0}W^{2 0 2} s o n t les p e r t e s d e c h a r g e d u e s a u f r o t t e m e n t d a n s 3e c a s d e l ' é c o u l e m e n t p e r m a n e n t , o n a :

: Z]_ •— ZJQ et s² Z²⁰ (fig. 1) O n p e u t r e n d r e l i n é a i r e s les é q u a t i o n s (1) à (5) e t f a i r e e n s o r t e q u e les coefficients a^l9 a², b^ls b², A^l9 A², B^:, B² s e r é d u i s e n t à d e s c o n s t a n - t e s ; l e s é q u a t i o n s (6) e t (7) d e v i e n d r o n t d e ce fait d e s é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s de q u a - t r i è m e o r d r e , q u ' o n p o u r r a r é s o u d r e e t d i s c u t e r .

D e u x p r o b l è m e s p r i m o r d i a u x se p o s e n t : a) E v a l u e r les h a u t e u r s d e s o s c i l l a t i o n s m a x i m a p o s i t i v e s et n é g a t i v e s d a n s les d e u x c h a m b r e s d ' a p r è s les é q u a t i o n s (6) et (7) n o n l i n é a r i s é e s . L a r é s o l u t i o n g r a p h i q u e e s t ici la seule p o s s i b l e ;

b) I n t r o d u i r e d e s c o n d i t i o n s m i n i m a a n a l o g u e s à l a r è g l e b i e n c o n n u e d e T h o m a c o n c e r n a n t les c o n d i t i o n s d e s t a b i l i t é d e s o s c i l l a t i o n s et a d o p t e r d e s f a c t e u r s d ' a m o r t i s s e m e n t c o n v e n a b l e s . P o u r cela, il f a u d r a n é c e s s a i r e m e n t p a r t i r d e s é q u a - t i o n s l i n é a r i s é e s et s i m p l i f i é e s . D a n s n o t r e m é - m o i r e de 1943, n o u s a v o n s e x a m i n é p l u s i e u r s voies à s u i v r e e t é t u d i é s u c c i n c t e m e n t t o u t e s les f a ç o n s d ' a t t a q u e r les d e u x p r o b l è m e s .

L a voie n a t u r e l l e à s u i v r e c o n s i s t e à c a l c u l e r d i r e c t e m e n t les o s c i l l a t i o n s p a r le p r o c é d é g r a - p h i q u e d e S c h o k l i t s c h ; n o u s l ' a v o n s l a r g e m e n t e m p r u n t é e d a n s n o t r e a r t i c l e d e 1943 (^e). Ce p r o - cédé p e r m e t d e r é s o u d r e s u r u n m ê m e d i a - g r a m m e les d e u x p r o b l è m e s d é s i g n é s p a r (a) e t p a r (b) (»').

(e) Au sujet de ce d é v e l o p p e m e n t du procédé Schoklitsch, c o n s u l t e r Ch. JAEGER ; « H y d r a u l i q u e t e c h - n i q u e », P a r i s , Dunod, 1954, p. 265-269.

(e') D ' a u t r e s procédés m o d e r n e s o n t r e c o u r s à l ' a n a l o g i e électrique ou à des m a c h i n e s à calculer.

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 CH. JAEGER 483

L a d i s c u s s i o n d e l ' é q u a t i o n différentielle g é n é - r a l e d u q u a t r i è m e o r d r e n o u s d o n n e r a u n e r é -

-165 S. ft

Actual stability limit, bosed on graphical construction Limite effective de stabilité

* Stable - Stable Limiting case _ Cas /imite . Unstable (collapse)

Instable

Design formula based on Ct « 0-7

Formule de projet basée sur C^t = 0,7

Hydraulic model _ Modèle Mathematical opproximS Calcul approché

F I G . 2

Courbes limites de stabilité p o u r u n e installation type à double cheminée d'équilibre

(Centrale Kiewa n° 4, Australie)

p o n s e c e r t a i n e q u a n t a u s e c o n d p r o b l è m e (&).

Ce p r o c é d é , q u e n o u s a v i o n s d é j à c o n s e i l l é d a n s n o t r e a r t i c l e d e 1 9 4 3 , a é t é d e p u i s c o m p l é t é p a r

M E Y E R [ 6 ] et p a r E S C A N D E et H U R O N [ 5 ] . D a n s

n o t r e p r e m i e r a r t i c l e , n o u s a v o n s i n t r o d u i t d e s

« v a l e u r s m o y e n n e s », q u i f o u r n i s s e n t p l u s r a p i - d e m e n t d e s v a l e u r s a p p r o c h é e s p o u r l a s u p e r - ficie d e s c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e p o u v a n t s e r v i r à d e s c a l c u l s p r é l i m i n a i r e s .

D a n s u n m é m o i r e r é d i g é e n c o m m u n p a r B A L I N T , F L O W E R e t F R U E H , d é c r i v a n t l a c h a m b r e d ' é q u i l i b r e d e l a c e n t r a l e n ° 4 d e K i e w a ( A u s - t r a l i e ) , les a u t e u r s o n t u t i l i s é s i m u l t a n é m e n t l e s t r o i s p r o c é d é s (celui d e S c h o k l i t s c h , c e l u i d e s

« v a l e u r s m o y e n n e s d e s t e m p s », e t c e l u i d e s é q u a t i o n s l i n é a i r e s ) e t c o m p a r é l e s v a l e u r s o b t e - n u e s a u x r é s u l t a t s d ' u n e s é r i e d ' e s s a i s s u r m o - d è l e s . L e r é s u l t a t s d e s q u a t r e p r o c é d é s se t r o u - v e n t r é u n i s s u r u n s e u l d i a g r a m m e q u e n o u s r e p r o d u i s o n s ici c o m m e é t a n t d ' i n t é r ê t g é n é r a l (fig. 2 ) .

D a n s l e u r a r t i c l e s u r la m ê m e q u e s t i o n , E S C A N D E e t H U R O N e x p r i m e n t l ' o p i n i o n q u ' é t a n t d o n n é le g r a n d n o m b r e d e p a r a m è t r e s i n d é p e n - d a n t s , le p r o b l è m e d e l a s t a b i l i t é n e p e u t ê t r e t r a i t é d e f a ç o n g é n é r a l e .

Il e s t d o n c i n d i q u é d e p o u r s u i v r e les r e c h e r - c h e s d a n s d e u x d i r e c t i o n s :

1. E t u d i e r s y s t é m a t i q u e m e n t les c o n d i t i o n s g é n é r a l e s d e l a s t a b i l i t é ;

2. E x a m i n e r l a m a r g e d e s é c u r i t é n é c e s s a i r e .

I. — É T U D E S Y S T É M A T I Q U E D E S C O N D I T I O N S G É N É R A L E S D E S T A B I L I T É D ' U N S Y S T È M E A D E U X C H A M B R E S D ' É Q U I L I B R E

A N A L Y S E D I R E C T E

N o u s r e p r e n o n s l ' e x a m e n d e s c o n d i t i o n s g é - n é r a l e s l à o ù E S C A N D E et H U R O N l ' o n t l a i s s é ( 6 ) .

U t i l i s a n t l e s « v a l e u r s r e l a t i v e s » b i e n c o n - n u e s i n t r o d u i t e s p a r CALAME et GADEN, d é s i - g n o n s p a r :

7 w t th. h. O O I L

7

w

^{i / La}

h

^{Qo T2}

r e s p e c t i v e m e n t les périodes f o n d a m e n t a l e s et les o s c i l l a t i o n s m a x i m a d e s d e u x s y s t è m e s i n d é p e n - d a n t s 1 e t 2, s a n s tenir c o m p t e d e s f r o t t e m e n t s .

O n a p o u r la c h a m b r e d'équilibre 1 e n a m o n t des t u r b i n e s :

Zl -7 » # 1 »7 > ^W\ \\r 9 " * 1 RN >

***\ ^ + 1

N o u s d é f i n i r o n s d e s « v a l e u r s r e l a t i v e s » s e m b l a b l e s z², x², w^2f h²⁰, p²⁰ e t p² p o u r l a c h a m - b r e a v a l 2.

P o u r l i n é a r i s e r les é q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s , n o u s s u i v r o n s le p r o c é d é é t a b l i p a r T h o m a d a n s le c a s d ' u n e c h a m b r e u n i q u e ; n o u s s u p p o s e r o n s q u e x^l9 x², dx^x/dt^v dx²/dt² s o n t t r è s p e t i t s e t n o u s n é g l i g e r o n s les p r o d u i t s d ' o r d r e s u p é r i e u r .

4 8 4 — - L A H O U I L L E B L A N C H E № 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

Si T o n a d o p t e u n e d é f i n i t i o n c o n v e n a b l e p o u r le t e m p s r e l a t i f t c o m m u n a u x d e u x c h a m b r e s , d e f a ç o n q u ' o n a i t :

dXj ax* dt dXj

d t ^ ^{L i} dt

les c o n s t a n t e s a^u b^u A^{l 5} B^x, a², b², A², B² e n t r a n t d a n s les é q u a t i o n s ( 6 ) et ( 7 ) (et e x p r i m é e s e n v a l e u r s r e l a t i v e s ) d e v i e n n e n t , s e l o n E S C A N D E e t H U R O N :

a, = •

A, A²:

2 % T i 2 7C ,

0 i

\b²o — * i 2 % _{F ,} To hw F² 2% F² Ti h²⁰ F , T^{2 2}

;/>HI

T.,² V

— 8 ir

Bo = — 8 %

2 / )2Q

Fi To (8)

9 /^}20

F2 T ,³ F² T ,

Ces v a l e u r s s o n t c o m p a r a b l e s à celles q u i i n t e r v i e n n e n t d a n s l a t h é o r i e d e s c h a m b r e s u n i - q u e s , d é d u i t e s d e l ' é q u a t i o n b i e n c o n n u e (0 :

dx^{2 f 0} dx

dt* + 2 a ~ + b x 0 a s a v o i r :

2 a = - 2 7T 2 Po ) e t 6 : 4 tt² ( 1 •

\

L e s d e u x é q u a t i o n s ( 6 ) e t ( 7 ) p e u v e n t ê t r e r a - m e n é e s à u n e s e u l e é q u a t i o n d u q u a t r i è m e o r d r e d o n t l'associée s e r a i t :

p⁴ + ¿4 p'^¿ -f- cu p² -f- a³ /? + a⁴ = 0

*1 = « 1 + « 2

a2 = &i + b² + ^ai ^a2 — A^: A² a³ = a^x b² + i?^x a² — Ai B² — B^x A²

<x⁴ = ¿?¹ Z?o — B^x B²

. (9)

(9 a)

L e s c o n d i t i o n s d e R O U T H e t H U R W I T Z , p o u r q u e les o s c i l l a t i o n s s o i e n t s t a b l e s o u a m o r t i e s , s o n t :

a^x > 0, <x² > 9, a³ > 0, a⁴ > 0 et :

S o i e n t (*) F ™ ,

a^x (oc² ot³ — a^t a⁴) < 0

. . (10) (10 a)

F » , = = 1 2.9

1 2 0

U Qo

/

²

H0 PX Wao2

L² / 2 H0 P2W202

H y d r a u l i q u e t e c h n i q u e »,

(/) Voir Ch. JAEGER, « H y d r a u l i q u e t e c h n i q u e », 1954, p . 253.

(g) Voir Ch. JAEGER, « H y d r a u l i q u e t e c h n i q u e », p p . 238-239 et 245-246.

h²⁰ FX T²

les « a i r e s d e T h o m a », v a l e u r s m i n i m a p o u r q u e l e s o s c i l l a t i o n s s o i e n t s t a b l e s d a n s l e s c h a m - b r e s d ' é q u i l i b r e q u a n d o n c o n s i d è r e d e u x s y s t è - m e s e n c h a r g e indépendants c a r a c t é r i s é s p a r l a c h u t e n e t t e H⁰ = H — P^x W^{a o 2} — P² W^{2 0 2}, p a r u n e l o n g u e u r d e g a l e r i e é g a l e à L^x e t p a r u n e a i r e d e s e c t i o n t r a n s v e r s a l e d e g a l e r i e é g a l e à f^x d a n s u n p r e m i e r c a s e t p a r H⁰, L² et f² d a n s le s e c o n d c a s .

L a c o n d i t i o n (10) <x^x > 0 c o n d u i t à :

1 1 ¹

F ™ » ( H )

et sa s i g n i f i c a t i o n p h y s i q u e e s t é v i d e n t e . P o u r m i e u x f a i r e voir s a p o r t é e m a t h é m a t i q u e , n o u s p o s e r o n s :

FN = FT*3 e t F2 = n2 F ™ . L ' é q u a t i o n (11) d e v i e n t a l o r s :

1 , 1 1 , 1

r T;I0

Il ! FTJ ^{- h} n⁹ F T FT/,, (11 a) o u , a v e c ( F T ^ / F ^ O ) = X,

« 1

n > — ——- p o u r n^± . . (12)

T r a ç o n s en c o o r d o n n é e s n^u n² la c o u r b e : n² = n¹/ [ X ( n¹ — 1) + n i ]

OU i l¹= / l²/ [ ( / I²— ] ) / X + 7î²] L a c o n d i t i o n a, > 0 (fig. 3) e s t s a t i s f a i t e d a n s la r é g i o n s i t u é e à d r o i t e , a u - d e s s u s d e l a c o u r b e . P o u r X = 1, l a c o u r b e e s t s y m é t r i q u e . N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t é t u d i e r la c o n d i t i o n T < 0, b i e n p l u s i m p o r t a n t e e t t r è s s o u v e n t c a p i t a l e .

L e s é q u a t i o n s (8) e t (9 a) f o n t voir q u e l a c o n - d i t i o n P < 0 (10 a), e x p r i m é e e n v a l e u r r e l a t i -

SEPTEMBRE 1957. — № 4 CH. JAEGER 485

Courbes (n², /ij) m o n t r a n t la région où a^t > 0 p o u r diverses valeurs de X = F T ^ / F T ^ . ves, d é p e n d d e s s i x p a r a m è t r e s / i^{1 0}, h^{2 0}, p^{1 0}, p^{2 0}, T^x e t T², l e s q u e l s à l e u r t o u r d é p e n d e n t i m p l i - c i t e m e n t d e Z *³, Z *², H⁰, F i et F². T r a d u i t e n v a l e u r s a b s o l u e s , le p r o b l è m e c o m p r e n d e n r é a - lité d i x v a r i a b l e s i n d é p e n d a n t e s . E S C A N D E [ 6 ] et d ' a u t r e s o n t p e n s é q u ' i l y a t r o p d e p a r a m è - t r e s i n d é p e n d a n t s p o u r e n t r e p r e n d r e u n e d i s c u s - s i o n g é n é r a l e d e s c o n d i t i o n s (10) e t (10 a ) . I]

a é t é s u g g é r é q u e la s e u l e f a ç o n p r a t i q u e d ' a b o r - d e r l a q u e s t i o n c o n s i s t a i t à u t i l i s e r d i r e c t e m e n t les v a l e u r s n u m é r i q u e s c o r r e s p o n d a n t a u x dif- f é r e n t s c a s p a r t i c u l i e r s . N o t r e m é m o i r e d e 1943 e t les c a l c u l s e f f e c t u é s p a r E S C A N D E - H U R O N e n 1953 e t p a r B A L I N T - F L O W E R e n 1955 c o n s t i t u e n t d e s e x e m p l e s d ' a p p l i c a t i o n d u p r o c é d é .

P o u r a b o r d e r l a d i s c u s s i o n g é n é r a l e d é t a i l l é e a v e c q u e l q u e s c h a n c e s d e s u c c è s , i l f a u t c h o i s i r u n n o u v e a u g r o u p e d e p a r a m è t r e s i n d é p e n d a n t s se r a p p o r t a n t t o u s a u x « a i r e s d e T h o m a » f o n - d a m e n t a l e s FTAJ e t F T *² r e l a t i v e s à d e s c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e i d é a l e s e t c a l c u l é e s p o u r l a m ê m e c h u t e Ho = H — P^a W^{1 0 2} — P² W^{2 0 s}. L a m é t h o d e a fait s e s p r e u v e s l o r s q u ' i l s'agit d e l ' a m o r t i s - s e m e n t d ' u n e c h a m b r e u n i q u e (⁴). E n effet, F ^ e t F™² c o n t i e n n e n t d é j à i m p l i c i t e m e n t les p a r a - m è t r e s , L , F , P W⁰² et H⁰ et l e u r i n t r o d u c t i o n

d o i t s i m p l i f i e r l e s é q u a t i o n s (6) e t ( 7 ) : D e p l u s , F T ^ e t FTA² s o n t c o n n u s d è s le d é b u t , e t l ' o n s ' a r r a n g e r a p o u r q u ' i l e n soit d e m ê m e p o u r l e s a u t r e s p a r a m è t r e s q u ' o n a u r a à i n t r o d u i r e , sauf

et n², l e s d e u x v a r i a b l e s i n d é p e n d a n t e s q u ' i l f a u d r a d é t e r m i n e r p l u s t a r d d e f a ç o n à s a t i s - f a i r e a u x c o n d i t i o n s d e s t a b i l i t é .

P o s o n s p a r c o n s é q u e n t :

Z „ ' = W^{1 0} y / ^ ^ et Z „ = W^{1 0} V ' ' ^ £ = Z^W' y

Z « ' = W^M \ / ^ et Z « = W^{2 0}

yj^f £

^{= z „ ' y}

T i ' = / L , F » , ^r„ „ / L , , F « „

V g fx - V g f^s

d e m a n i è r e à a v o i r :

'**• ~~ 2 * F™, et Z

*² ~ 2 * F « , et p o s o n s a u s s i :

T , '

m * = / L² / , Fr„² iⁿ,

a v e c :

T /

To

Y

/ i s L I i

! u h

^{F ,}

S e l o n E S C A N D E e t H U R O N :

; Hp Ho.

z ^²

P, W )⁰a _ P²W

P i o — ^z . P a i — ^z

P r e n o n s c o m m e n o u v e l l e s v a l e u r s relatives : u , _ i k ^h , _ i k „ • ^P'^W' "² „ ' ^{1 W}

N1 0 — 7 ,* ^{N2 0} — 77 ^A Rio — 7 / > / ^ O

de f a ç o n q u e :

Pio = V n T P i o ' » P20 = V n² p^{2 0}'

E n v e r t u d e la d é f i n i t i o n d e F ^ et F ™², o n p e u t m o n t r e r q u e l ' o n a ;

Z*

a^A = 0, a² = 0 p o u r = n² : et q u e :

-jr-7 =* 2 p1 1 ^{1 0}' e t : — 2 />^{2 0}',

" 3 0 ^{/ ¿}2 0

r e l a t i o n p a r t i c u l i è r e m e n t i m p o r t a n t e q u i s i m p l i - fie t o u t e s les c o n s t a n t e s d e s é q u a t i o n s (6) e t ( 7 ) . E S C A N D E e t H U R O N o n t c a l c u l é c e s c o n s t a n t e s

a², b^u b², A , , A², B^X e t B ² e t l e s o n t e x p r i m é e s e n v a l e u r s r e l a t i v e s / i^{î 0}, ft²⁰, p^{1 0} e t p^{2 0}. T r a n s f o r - m o n s à l ' a i d e d e s n o u v e l l e s v a l e u r s t o u t e s c e s c o n s t a n t e s ; il v i e n t ( 0 :

(0 Cf. JAEGER, « H y d r a u l i q u e t e c h n i q u e », 1954, p p .

263-265. (j) Voir ESCANDE et HunoN, é q u a t i o n s (8).

4 8 6 LA H O U I L L E B L A N C H E № 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

2 t c / 1 ⁰

2n( 1 T² V^20 2 / >^{2 0}

T » i ^

4 7 1 1 / —

4 l t² /

(13)

A _ ^ELIA. T> _ O 9 PJO _

^F

1

^T

2

A 2 - " A ^{2 0} F^x T²2 ' ^Ba - ~^{8 lt}" A ^{a o}F ¹ T²« (13

D e s é q u a t i o n s (9) et (9 a) (^{f c}) il r é s u l t e , si T o n f a i t m* = m * V ( n²/ n^x) et 1/n, = X :

o u :

*i =

— ^ I

^{X m * p1 0' V F2 — V n2 ( m * p1 0' + p ^ O +}

I

^{(14 a )}

Pio ^ P20

ft20 ft10

o u : 4 *²

a² = ^ f - \Xn² [ m *² (i _ (2 Pi0

r-)

— 4 m * p^{a f t}p²o ' ] + (1 — (2 / >^{2 0}' )²) + 4 m* p^{1 0}' p^{2 0}' ( n²— 1}. . . . (14 6) _ 8it»

«^{3 T i Ts} ou :

a³ = — 4 ^ m*№ [2 m* p20'] [ V n² + n² v n² (2 p¹⁰T-— 1) ]

+ X [2 p^{1 0}' y ï ï o " ] + 2 / W [(2 p^{2 0}' )² — 1 ] ^

16 *

⁴

f

^t

n fPw , P20V

« * . -^Ti 2 t²2L^{1 _ 2}U x o ⁺ a^So ; _

(14 c)

ou :

<X⁴ :

16 ^{I t *}

^ - m *² X n² [1 — (2 P10O² — (2 / W )²] (14 d)

E n c a l c u l a n t n u m é r i q u e m e n t l ' é q u a t i o n V — 0, l'équation r = 0 devient u n e é q u a t i o n du troi- o n s'aperçoit q u e T² figure p a r t o u t à la p u i s - s i è m e degré e n X = l/n¹ a v e c n² c o m m e para- s a n c e — 6 ; a u s s i cette é q u a t i o n p e u t être écrite : m è t r e variable principal, les a u t r e s trois p a r a -

m è t r e s i n d é p e n d a n t s é t a n t m*, p^1Q' et p^2û'.

T^{2 6}r = T^{2 6}[ a^{3 2} — axCttgas — a i « 4 ) ] ^ 0 O n pourra m a i n t e n a n t aborder f a c i l e m e n t l'ensemble du p r o b l è m e et porter sur u n m ê m e et l'on p o u r r a e n é l i m i n e r la q u a n t i t é p o s i t i v e d i a g r a m m e les courbes r é s u l t a n t e s :

T^{2 6}. T o u t e s l e s q u a t r e c o n s t a n t e s

c o n t i e n n e n t m a i n t e n a n t e x p l i c i t e m e n t les v a - l e u r s /if.-jet n² ( q u i a u p a r a v a n t é t a i e n t c o n t e n u e s

i m p l i c i t e m e n t d a n s a^î9 a², b^x . . . ) ; f i n a l e m e n t , c o m m e s u r l a figure 4. L e s f o r m u l e s ( 1 0 ) , ( 1 0 a ) et (14) r é s o l v e n t le p r o b l è m e .

S u r le d i a g r a m m e d e la f i g u r e 4, F**! e t F**² n^x ~ n^x ( n², m * , p^1Q\ P20O

(70 Voir a u s s i ESCANDE et HURON, é q u a t i o n s (12) et (120.

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 C H . J A E G E R — 4 8 7

s o n t p r i s é g a u x à l ' u n i t é ; n² = F²/F™^{2 e}$ t d o n c e n a b s c i s s e s et n^x — F^a/ F T ^ = 1/X, e n o r d o n - n é e s . L e s c o u r b e s c o r r e s p o n d a n t a u x p a r a m è t r e s

***** Pio' P2o'^sont t o u t e s a s y m p t o t i q u e s à n = l et n² = 1. L a c o n d i t i o n r < 0 e s t s a t i s f a i t e d a n s Taire s i t u é e à d r o i t e et a u - d e s s u s de la c o u r b e p — 0. O n p o u r r a p o r t e r s u r le m ê m e d i a g r a m m e les c o u r b e s (12) c o r r e s p o n d a n t à la c o n d i t i o n a^t > 0, m a i s il f a u d r a m a i n t e n a n t t r a c e r c e s d e r n i è r e s c o u r b e s p o u r les v r a i e s v a l e u r s d e

FIG. 4

Courbe T = 0 et définition de n^x et de n². X = F T *²/ F T A¹, p r i s c o m m e n o u v e a u p a r a m è t r e . O n r e c o n n a î t r a q u e la c o n d i t i o n r < 0 e s t de b e a u - c o u p la p l u s i m p o r t a n t e à q u e l q u e s r a r e s e x c e p - t i o n s p r è s .

c u r v e 1 P j o * P j J o - O - l -

_L

- C h u t e d e s P a s s e s m * 0 - 2 6 1

n i

1 2 3 4

FIG. 5 a

Courbe n^x = n^l (zi²) p o u r m * = 0,2

5 n2

D i s c u s s i o n g é n é r a l e d e l a c o n d i t i o n d e s t a b i l i t é T < 0

L e s f i g u r e s 5 a, 5 b> 5 c c o n t i e n n e n t les v a l e u r s o b t e n u e s p a r c a l c u l d i r e c t ; l e s c o u r b e s o n t é t é t r a c é e s p o u r m * = 0,2, m * = 1, m * = 5 . P o u r Pio et p²⁰', n o u s a v o n s a d o p t é les v a l e u r s 0,1 et 0,3. E n p r a t i q u e , o n c o n s t a t e r a q u e l a v r a i e v a - l e u r d e s p e r t e s p a r f r o t t e m e n t c o r r e s p o n d à u n e v a l e u r r e l a t i v e v o i s i n e d e / V = 0 , 1 , et p⁰' — 0,3 e s t u n e l i m i t e s u p é r i e u r e q u i n e s e r a a t t e i n t e

d Points c a l c u l a t e d by E s c a n d e for Points calcules par Escande pour m * * 0 - 8 to 1-1, PJ 0* 0 - 0 5 to 0 - 0 9

/ ^ c u r v e s P1 0= P1 0* 0 - 1

/ ' I c u r v e 4 p j0* p ^ o . 3 -

: I I ! I

1 5 r u

FIG. 5 5

Courbe n^x = /i³ (n²) p o u r m* = 1.

FIG. 5 c

Courbe aj = n^} (n²) pour m* — 5 .

4 8 8 LA H O U I L L E B L A N C H E № 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

q u e r a r e m e n t . L e t a b l e a u I se r a p p o r t e a u x c o u r ­ bes q u i s o n t à l a b a s e d e c e t t e d i s c u s s i o n et q u i c o u v r e n t p r o b a b l e m e n t u n g r a n d n o m b r e de c a s p r a t i q u e s .

T A B L E A U I V A L E U R S D E S P A R A M È T R E S

E S C A N D E a é t u d i é u n s y s t è m e c a r a c t é r i s é p a r :

Courbe jji* Pio Pzo

1

2 0,2 0,1

0,3

0,1 0,3 3

4 1 0,1

0,3

0,1 0,3 5

6 5 0,1

0,3

0,1 0,3

D ' o r d i n a i r e , le c a s m* = 0,2 c o r r e s p o n d à u n e g a l e r i e d e f u i t e c o u r t e , t a n d i s q u e le c a s m* = 5 définit u n s y s t è m e à g a l e r i e d e f u i t e l o n g u e r e l a t i v e m e n t à la g a l e r i e d e m i s e e n c h a r g e a m o n t . A n o t e r , e n o u t r e , q u e les v a l e u r s o b t e - n u e s p a r E S C A N D E e t H U R O N , c e l l e s d e B A L I N T et F L O W E R a u s u j e t d e K i e w a ( A u s t r a l i e ) et cel- les d e la C h u t e d e s P a s s e s ( C a n a d a ) s o n t c o n - t e n u e s d a n s le d i a g r a m m e .

= 1.000 m L² = 700 m

il

^{- 10 m2}

u

^{== 10 m2}

= 40,8 m-' F² = 79,3 m²

2>*i = 10 m == 6 m

Il p o s e P2 0 = 0,36 m ( c o n s t a n t e ) e t f a i t v a r i e r d e 1 m à 0,50 m la p e r t e p a r f r o t t e m e n t P ,⁰ c ô t é a m o n t . P o s a n t F^x = F « , et F² = F™², il c a l c u l e les c h u t e s № ^ et H o r2 p o u r l e s q u e l l e s il y a u r a i t t o u t j u s t e s t a b i l i t é d e s d e u x c h a m b r e s , si elles s o n t c e n s é e s t r a v a i l l e r s e u l e s . E n f i n H^0L r e p r é - s e n t e la c h u t e p o u r l a q u e l l e les d e u x c h a m b r e s s e r a i e n t t o u t j u s t e s t a b l e s . Il e s t facile d e v é r i - fier q u e :

/ î1 = HOL/HOI'!

2 * I ' = 2*1 V/ï-t

m* V L i

h

^{F , -}

Più — ,

n² = Hor./HoT.j Z * 2 — V*?²

1,166 et ^{M *} = m*

Pw VA«

Le tableau II résume les calculs additionnels en partant des valeurs d'EscANDE.

T A B L E A U I L P A R A M È T R E S A D D I T I O N N E L S

Cas Pu, P-M H⁰r, H o u V n , _PÍO H o L 2 V n² PäO ^{M *}

1 1 0,36 61,8 50 1,11 0,09 50 1,11 0,054 1 1,166

2

0,91

^{0,36 62 55 1,06 0,086 50 1,113 0,0539 0,91 1,11}

3 0,833 0,36 59,7 60 0,997 0,083 50 1,093 0,055 0,835 1,063

4 0,7 0,36 69,5 71,4 0,985 0,071 50 1,178 0,0509 0,7 0,975

5 0,5 0,36 98 100 0,99 0,05 50 1,4 0,0429 0,5 0,826

O n a, p o u r les c a s :

1 2 3 4 5

n^t = 1,235 1,126 0,995 0,97 0,98

n² = 1,235 1,24 1,195 1,388 1,96

Ces p o i n t s f i g u r e n t s u r le d i a g r a m m e (flg. 5 &).

L a c o u r b e r e l a t i v e a u s y s t è m e d e c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e d e K i e w a a é t é r e l e v é e d a n s le m é - m o i r e d e B A L I N T et F L O W E R (flg. 2 ) . P o u r c e s c h a m b r e s , les d o n n é e s c a r a c t é r i s t i q u e s s o n t :

L, = 4 . 6 4 8 m f^l = 26,477 m² P^{1 0} = 15,40 m FT»! = 6,97 m² et c o n d u i s e n t à :

Z*!' = 71,62 m

P i o ' = 0,215 m

L²:

/V

P

²

0 =

: 2.234 m 31,58 m²

2,74 m 15,33 m²

P20 =

30,78 m 0,089 m m * = 0,94

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 CH. JAEGER 4 8 9

L e s v a l e u r s o b t e n u e s p a r F L O W E R o n t é g a l e - m e n t é t é r e p o r t é e s s u r l a figure 5 b.

L e s y s t è m e C h u t e d e s P a s s e s (en c o u r s d ' e x é - c u t i o n ) e s t c a r a c t é r i s é p a r :

F T^H = 260 m² F T *² = 650 m² 7H* = T²7 T¹' = 0,255 Z * / = 5 8 , 2 m è t r e s

p^{] 0} = 1 1 m è t r e s p^{1 0}' = 0 , 1 8 9

37,2 m è t r e s P^{9 0} = 5,67 m è t r e s P ¡ o ' = 0,152 L e s c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e d e C h u t e d e s P a s s e s o n t été é t u d i é e s e n p a r t a n t d i r e c t e m e n t d e s é q u a - t i o n s (12) et (120 p u b l i é e s p a r E S C A N D E et H U - RÓN ( p a g e 651 d e l e u r m é m o i r e ) . L a c o u r b e a i n s i o b t e n u e e s t r e p o r t é e , e n v a l e u r s r e l a t i v e s et n² s u r la figure 5 a, à t i t r e d e c o m p a r a i s o n a v e c les a u t r e s c o u r b e s .

L a c o m p a r a i s o n d e s f i g u r e s 5 a, 5 b et 5 c, q u i c o n t i e n n e n t e n o u t r e d e s c o u r b e s d e c a r a c t è r e p l u s g é n é r a l , p r o c u r e d ' u t i l e s r e n s e i g n e m e n t s .

D a n s le c a s où m* = ï, OY = T / ) (fig. 5 5), il y a d a n g e r d e r é s o n a n c e m a n i f e s t e , s u r t o u t s u r la c o u r b e 4 (p^i0r = p^2{{ — 0,3) où n^A d o i t ê t r e s u p é r i e u r à 2 : (ni > 2) q u a n d (n² < 2), e x i g e a n t d e g r a n d e s s u p e r f i c i e s p o u r les c h a m b r e s d ' é q u i - l i b r e . L a c o u r b e e n q u e s t i o n c o n f i r m e , j u s q u ' à u n c e r t a i n p o i n t , la c o u r b e c a l c u l é e p o u r K i e w a . O n e n c o n c l u t q u e p o u r m * = 1, u n e d e s c h a m - b r e s a u m o i n s d o i t ê t r e b i e n p l u s g r a n d e q u e

F^{T 7 (}, — a v e c p e u t - ê t r e n — 2 ou m ê m e 3. L a se-

c o n d e c h a m b r e p o u r r a i t a v o i r d e s d i m e n s i o n s m o i n d r e s . L e s c o n d i t i o n s locales p e r m e t t e n t d e d é c i d e r l a q u e l l e d e s d e u x c h a m b r e s d o i t ê t r e la p l u s g r a n d e ; p o u r d e s r a i s o n s d e c o n s t r u c t i o n , c'est s o u v e n t celle d ' a v a l .

A n o t e r q u e la c o u r b e 4 c o r r e s p o n d a n t à 7Ti* — 1 et à p^v{ = p^2{}' = 0,3 f o u r n i t d e s v a l e u r s d e n b i e n p l u s g r a n d e s q u e la c o u r b e 3 (p^w' = p²⁰' = 0,1). C e p e n d a n t , d e f o r t e s p e r t e s p a r f r o t t e m e n t r é d u i s e n t e n c o r e d a v a n t a g e l'aire F ™ . O n p e u t d i r e f i n a l e m e n t q u e de f o r t e s p e r - tes s t a b i l i s e n t les o s c i l l a t i o n s ( c o m m e d a n s le c a s d e s c h a m b r e s o r d i n a i r e s u n i q u e s ) .

L e s c o n d i t i o n s se s i m p l i f i e n t p o u r m* = 0,2 o u m * = 5 : ( T / = ^ T / ) - L e c a s m* = 0,2 c o r r e s - p o n d d ' o r d i n a i r e à u n e g a l e r i e d e fuite d e faible l o n g u e u r ( T / < T / ) ; a u c o n t r a i r e , le cas m * = 5 est c e l u i d ' u n e g a l e r i e d e fuite l o n g u e . Ici e n - core, o n r e l è v e l ' i m p o r t a n c e d e s p e r t e s e n frot- t e m e n t et l e u r effet s u r l ' a l l u r e des c o u r b e s . On r e c o n n a î t q u ' i l y a a v a n t a g e à c h o i s i r l ' u n e d e s v a l e u r s rz¹ o u n² n o t a b l e m e n t p l u s g r a n d e q u e l ' u n i t é ( n , > 1 o u n² > 1 ) , p o u r q u e l ' a u t r e r e s t e faible.

La c o n d i t i o n a^t > 0 , ou 1

F , + f 7 <

i

n ' i m p o s e r a p a s d ' o r d i n a i r e d e s l i m i t a t i o n s s p é - c i a l e s , s a u f e n c e r t a i n e s p a r t i e s d e la c o u r b e (1), ou d e s c o u r b e s (5) ou ( 6 ) .

L ' a n a l y s e g é n é r a l e d u p r o c é d é n ' a été p o s s i b l e q u e g r â c e à l ' i n t r o d u c t i o n d e la n o t i o n d e v a - l e u r s r e l a t i v e s b a s é e s s u r FTA^x et F T *², a u x q u e l l e s t o u t e s les a u t r e s s o n t r a p p o r t é e s . L a significa- t i o n p h y s i q u e d e F ™^{L S} F ^² et n^x et n² e s t évi- d e n t e . L e s d e u x F^TA c o n t e n a n t d é j à i m p l i c i t e m e n t u n g r a n d n o m b r e d e v a r i a b l e s t e l l e s q u e L, / , P W^{0 2} et H, il r e s t e m o i n s d e p a r a m è t r e s i n d é p e n d a n t s et le p r o b l è m e p e u t ê t r e r é s o l u .

C o m p a r a i s o n a v e c l e s r é s u l t a t s o b t e n u s à P a i d e d e s « v a l e u r s m o y e n n e s » S u r les c o u r b e s d e s d i a g r a m m e s 5 a, 5 b et 5 c, o n v o i t c o m m e n t n^t et n² p e u v e n t v a r i e r e n t r e v a l e u r s l é g è r e m e n t p l u s f a i b l e s q u e l ' u n i t é et v a l e u r s é g a l e s à e n v i r o n 1,5 ou 2.

C'est le q u o t i e n t M* = T / / T / q u i c o n s t i t u e le p a r a m è t r e le p l u s i m p o r t a n t d u p r o b l è m e d a n s s o n e n s e m b l e . O n p o u r r a le c a l c u l e r l u i a u s s i d è s le d é b u t , p u i s q u ' i l ne d é p e n d p a s d e s f a c t e u r s n¹ et n². D e c e t t e é t u d e et d e l ' e x a m e n d u d i a - g r a m m e d e l a figure 5, o n d é d u i t q u e les v a l e u r s m* = 1 et p l u s e n c o r e m* — 1 d e v r o n t ê t r e évi- tées, c o m m e n o u s l ' a v o n s d é j à m o n t r é d a n s n o - t r e m é m o i r e d e 1 9 4 3 . S u r le d i a g r a m m e 5 b, p o u r m* = 1, l a c o n d i t i o n m * = 1 e s t r e p r é s e n t é e p a r la d r o i t e n¹ = n². E n g é n é r a i , o n p e u t d i r e q u e , s u r c h a q u e d i a g r a m m e d e n¹ et / β, p o u r u n e v a l e u r d o n n é e d e m*, la c o n d i t i o n m * = 1 c o r - r e s p o n d à la d r o i t e :

n^A

= (m*)

² n² (M U n c o u p d ' œ i l s u r les s t a t i s t i q u e s e x i s t a n t e s m o n t r e q u e , d a n s le p a s s é , on a c h o i s i p a r f o i s d e s v a l e u r s / 7 7 * ^ 1 , eu é g a r d à d e s c o n d i t i o n s l o c a l e s et p o u r d e s r a i s o n s a u t r e s q u e les r a i - s o n s d e s t a b i l i t é . M a i s o n n o t e e n m ê m e t e m p s q u e , t r è s s o u v e n t , p o u r d e s r a i s o n s p r a t i q u e s , la c h a m b r e d ' é q u i l i b r e côté aval a été é t a b l i e d e m a n i è r e q u e n² > 2. On p e u t a i n s i d o n n e r à n^l d e s v a l e u r s a c c e p t a b l e s .

Q u e l q u e s - u n s d e s r é s u l t a t s d é d u i t s d e s figu- r e s 5 a, 5 b et 5 c o n t été c o n n u s d e p u i s l o n g - t e m p s . L e m é m o i r e d e 1 9 4 3 [figure ( 9 , I ) ] cite u n c a s où les o s c i l l a t i o n s d a n s l a c h a m b r e a v a l s o n t à la l i m i t e d e s t a b i l i t é a v e c /ÎJ — 1 , 6 7 et n⁽⁾ = 0 , 8 3 < 1 . Il s ' a g i s s a i t d ' u n s y s t è m e d e c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e d e c h u t e a s s e z f o r t e H⁰ = 2 6 1 , 4 7 m . L e s r a p p o r t s m * et 777* a v a i e n t les v a l e u r s s u i v a n t e s :

FT*J F™., m* 111 7,07 2 8 , 1 5

(5:330 10,75 15.95 ^: 0,143

4 9 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

e t :

0,83

(la g a l e r i e d ' e n t r é e é t a i t l o n g u e e t l a g a l e r i e d e s o r t i e c o u r t e ) .

Ce p o i n t ( c a l c u l é p a r l a m é t h o d e g r a p h i q u e d e S c h o k l i t s c h ) p e u t ê t r e i n c o r p o r é à l a f a m i l l e d e s c o u r b e s r e p r é s e n t é e s s u r l a figure 5 a .

L e m ê m e m é m o i r e c o n t i e n t u n p r o c é d é a p - p r o x i m a t i f d e c a l c u l d e s d i m e n s i o n s d ' u n e c h a m - b r e d ' é q u i l i b r e s a t i s f a i s a n t a u x c o n d i t i o n s d e s t a b i l i t é . L e p r o c é d é p e r m e t d ' o b t e n i r d e s v a - l e u r s d ' a v a n t - p r o j e t . N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t c o m p a r e r l e s v a l e u r s d e F ^x e t d e F ² o b t e n u e s p a r l a m é t h o d e d e s « v a l e u r s m o y e n n e s » a u x v a l e u r s f o u r n i e s p a r l a m é t h o d e d ' a n a l y s e d i - r e c t e ( c o u r b e r = 0 ) .

L e s v a l e u r s d e m o y e n n e d e s t e m p s s o n t :

F i ^ F ^ O + H O ^ / F o ) . . . ( 1 6 ) F² > F n²( l + ) , ( 0 F ^ F O . . . (16 a ) E n é c r i v a n t :

m¹ = 2 % t/^rT¹ e t m² = 2% t/T² il v i e n t (0 :

s i n Qn¹ — m²) t ^ i n ( m¹ + m²) t (9. (m. .— + ~~

X m (t) =

(2 (m, 2 ( m¹ + m»)

l/m^x ( 1 / 4 s i n 2 m^x t + 1/2 m, t) (17) L a c o u r b e d e X m (t) v a r i e a v e c le t e m p s t, c o m m e o n le voit s u r l a figure 6 ( q u i r e p r o d u i t

Limiting curves for T j / T2 S 0-5

^ Courues limite pour »

F I G . 6

Variation de X,^H (t) p o u r diverses valeurs de T^t/ T². la figure 8 d u m é m o i r e d e 1 9 4 3 ) ; e t 1m (f) t e n d v e r s u n e l i m i t e e x p r i m é e p a r :

X m(t)^lim = ± (m-i + m²) - | - l ^ i — m²|

\m¹ + m²| (m^ -f- m²)t . - (18)

Cette f o r m u l e , é t a b l i e d e p u i s 1 9 4 3 , f a i t e n t r e - voir l e d a n g e r d e T^x = T² ( o u m^x — m²), q u i c o r - r e s p o n d à l a c o n d i t i o n m * = m* \/lï²~/n¹' = 1, i n t r o d u i t e d a n s c e m é m o i r e e t d i s c u t é e a u c h a - p i t r e I, 1 c i - d e s s u s .

Q u a n d m¹ diffère s e n s i b l e m e n t d e m², o n p e u t i n t r o d u i r e d a n s l a f o r m u l e (16) u n e v a l e u r X ( 0 = X ( 0^{H m} c o m m e celle d o n n é e e n (18) c i - d e s s u s . Q u a n d m¹ e s t à p e u p r è s é g a l à m² le d a n g e r d ' i n t e r f é r e n c e d ' o s c i l l a t i o n s s e m a n i f e s t e d è s le d é b u t ; n o u s a v o n s r e c o m m a n d é u n e v a l e u r de X (t) à p e u p r è s , o u e x a c t e m e n t , é g a l e à 1.

E n s e b a s a n t s u r u n e r e m a r q u e f a i t e p a r F L O W E R [ 7 ] , o n p e u t p o s e r r — F¹/F² e t a u s s i

F i min — r F2 min, Fmin é t a n t l a v a l e u r q u ' i l f a u t a d o p t e r p o u r d e s r a i s o n s d e s t a b i l i t é q u a n d o n p a r t d e s « v a l e u r s m o y e n n e s ». Fmin e s t p a r c o n - s é q u e n t l ' é q u i v a l e n t d e F — nF^Th, q u ' o n o b t i e n t a v e c l a c o n d i t i o n p l u s g é n é r a l e F — 0.

Q u a n d Fi'ft^x < FTft², é l i m i n o n s F^{1 7 t}, e t é c r i v o n s :

Flmta = F T *¹( l + X ( 0 r ) J

F2min = F -²( l + ( X ( f ) / r ) . . . ( 1 9 )

et : F,^mln - F « 2 (X (t) + r) )

E n f a i s a n t v a r i e r le p a r a m è t r e , o n p o u r r a t r o u v e r s u r le d i a g r a m m e d e ( F², F³) u n e c o u r b e

<ie F^{x m i u} e n f o n c t i o n d e F2 1 M i l l m a r q u a n t l a l i m i t e e n t r e o s c i l l a t i o n s s t a b l e s e t i n s t a b l e s b a s é e s s u r les « v a l e u r s m o y e n n e s » (fig. 2 ) .

P o u r F ™³ > F ™², o n o b t i e n t l a c o u r b e c h e r - c h é e e n é l i m i n a n t FTA„ e t e n é c r i v a n t :

F , „ n n - F - nf l ( 1 + X ( 0 r)

Fx mjji i

. . . ( 1 9 a )

F 2 min

(/) Ch. JAEGER, Schweizerische Bauzeitung, 1943, éq. (39).

S e l o n B A L I N T , a v e c X (f) = Ci = 0,7, o n o b t e - n a i t u n e c o u r b e s a t i s f a i s a n t e d a n s le c a s d e s c h a m b r e s d e K i e w a ( p o u r l e c a s m * = 0,94, v o i r fig. 2 ) . D a n s -le c a s d e C h u t e d e s P a s s e s , c'est X (t) = 0,2 q u i d o n n a i t d e s v a l e u r s s a t i s f a i s a n t e s p o u r u n e é t u d e p r é l i m i n a i r e (avec m * = 0,255).

B i e n a p p l i q u é e s , l e s f o r m u l e s (16) à (19) c o n - d u i s e n t à d e s v a l e u r s p e r m e t t a n t d ' é t a b l i r d e s a v a n t - p r o j e t s ; n ' o u b l i o n s p a s t o u t e f o i s q u e l a m é t h o d e d e s « v a l e u r s m o y e n n e s » n ' a d ' a u t r e r ô l e à j o u e r q u e c e l u i d e j a l o n s d a n s u n a v a n t - p r o j e t ; c e s v a l e u r s n e d o i v e n t p a s s e r v i r d e b a s e à u n p r o j e t définitif. E l l e s s o n t f a c i l e s à c a l c u l e r , t a n d i s q u e l e c a l c u l d ' u n e c o u r b e r = 0, o u l a c o n s t r u c t i o n d e « d i a g r a m m e s d e S c h o k l i t s c h », exige d u t e m p s .