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The generating function for the Jacobi polynomial

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(1)

R ENDICONTI

del

S EMINARIO M ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ADOVA

L. C ARLITZ

The generating function for the Jacobi polynomial

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 38 (1967), p. 86-88

<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1967__38__86_0>

© Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 1967, tous droits réservés.

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http://www.numdam.org/

(2)

THE GENERATING FUNCTION FOR THE JACOBI POLYNOMIAL

L. CARLITZ

*)

1. Put

Then it is familiar that

where

For

proofs

of

(1)

see

If we

put

we have

Supported in part by NSF grant GP-5174.

*) Indirizzo dell’A.: Depart of Math., Duke University, Dnrkam, North

Carolina USA.

(3)

87

and

(1)

becomes

where .R is defined

by (2).

The

object

of this note is to

give

a direct and

elementary proof

of

(3).

2. Consider the sum

The inner sum is

equal

to

which vanishes anless m n. It follows at once that

(4)

88

If we

put

it is

easily

verified that

and

Th us

(4)

becomes

This

evidently completes

the

proof

of

(3).

The above

proof

may be

compared

with

[1,

p.

82].

REFERENCES

1. W. N. BAILEY, Generalized hypergeometric series, Cambridge, 1935.

2. G. PÓLYA and G. SZEGÖ, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. I, Berlin,

1925.

3. E. D. RAINVILLE, Special functions, New York, 1961.

4. G. SZEGÖ, Orthogonal polynomials, New York, 1959.

Manoscritto pervenuto in redazione il 12 settembre 1966.

Références

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