DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
ISUP 04
Partie A – III
A.1 Ces sont des parties de L(E) non vides et stables par combinaisons lin´eaires, donc des sous-espaces vectoriels deL(E). C’en sont aussi des suos-alg`ebres, puisqu’en outre, elles comprennentInet sont stables par produit.
A.2 un−1 6= 0 : soitx∈E tel queun−1(x)6= 0. On v´erifie que (un−1(x), . . . , u(x), x) est une baseE dans laquelle la matrice deuestN.
A.3 Soit y ∈ E. On ´ecrit y = Pn−1
j=0λjuj(x). y ∈ Ker(uk) si et seulement siPn−1
j=0λjuk+j(x) = 0, si et seulement siλj= 0 pour toutj tel quek+j < n: une base de Keruk est donc (un−k(x), . . . , un(x)).
A.4 C’est une famille clairement g´en´eratrice de P ol(u), et elle est libre car son ´evaluation en x (qui est lin´eaire) l’est : c’est une base deP ol(u).
A.5w etP(u) commutent, doncwstabilise Ker(P(u)).
A.6w stabiliseKer(uk) pour toutk, donc sa matrice dansBest triangulaire sup´erieure.
A.7L’inclusion indirecte est ´evidente, et soit w∈Com(u). On ´ecritw(x) =Pn−1
j=0 λjuj(x). On v´erifie alors quewetPn−1
j=0 λjuj co¨ıncident sur la baseB et sont donc ´egaux.
Com(u) est donc de dimensionn.
A.8 On prendxtel que un−2(x)6= 0 : on a alors une famille libre (un−2(x), . . . , u(x), x), que l’on compl`ete librement en une base deE. Dans cette base seule la derni`ere colonne n’est pasa priori comme on le souhaite.
Cependant, son dernier coefficient est n´ecessairement nul (car u0 est nilpotent), et en changeant de base, on obtient bien un dernier vecteur dans le noyau.
A.9Question beaucoup trop difficile : pour y r´epondre, ´ecrire une matrice commutant avecN0par blocs, et utiliser le cas deN (pour la taillen−1). On trouven+ 2.
Partie B – IV
B.1 0 1
0 0
et 0 0
1 0
conviennent tant pour la somme que pour le produit.
B.2
a D´ej`a fait (il suffit que l’une des deux matrices soit nilpotente).
L’in´egalit´e est stricte pourA=B d’indice de nilpotence 2.
bVue dans le cadre plus g´en´eral des anneaux. Il y a ´egalit´e si (pas seulement si !)B= 0 par exemple.
B.3
a Il suffit de s’arrˆeter lorsque les puissances deAsont nulles.
bIl suffit de composer, et d’ailleurs il y a une erreur d’´enonc´e (Q(P(x)−1) et nonQ(P(x−1))).
B.4On v´erifie d’abord (ais´ement) que l’on d´efinit bien des applications entre les ensembles consid´er´es, et elles sont r´eciproques l’une de l’autre, car si par exempleNest nilpotente, alorsQ(P(X)−1)−Xest un multiple deXn, donc, en ´evaluant enN : Q(P(N)−In) =N.
B.5On a vu dans un cadre plus g´en´eral que exp(A+B) = exp(A) exp(B) siAet B commutent.
B.6On a ln(U V) = ln(U) + ln(V), en ´ecrivant U = exp(A) etV = exp(B).
