Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Master 1 MMS, 2015-2016 D´epartement de Math´ematiques Analyse Num´erique Fondamentale
TP 3 - M´ethodes de r´esolution num´erique d’un syst`eme lin´eaire
Exercice 1. Factorisation LU
Sous certaines conditions, une matrice carr´ee d’ordre n, A, admet une factorisation de type A =LU o`u U est une matrice triangulaire sup´erieure et L une matrice triangulaire inf´erieure n’ayant que des 1 sur sa diagonale.
1. Pour une matrice A donn´ee, ´ecrire un algorithme qui retourne une nouvelle matrice A contenantUdans sa partie triangulaire sup´erieure etLdans sa partie triangulaire inf´erieure priv´ee de sa diagonale.
2. `A l’aide de l’algorithme pr´ec´edent ´ecrire une fonctionDecompLU(A)retournant les ma- trices LetUsans modifier la matriceAd’origine.
Tester la fonctionDecompLUsur des matrices cr´e´ees `a l’aide de la commanderand.
3. ´Ecrire une fonction flecheh(n)qui renvoie la matrice carr´ee d’ordrencompos´ee de 1 sur sa premi`ere ligne, sa diagonale et sa premi`ere colonne.
Appliquer la fonction DecompLU`a la matriceflecheh(4). Expliquer.
4. Modifier la fonction flecheh en une fonction flechehh de fa¸con `a ce que le coin sup´erieur gauche de la matrice cr´e´ee v´erifie :
A(2,2) = 0;A(2,3) = 1;A(3,3) = 0;A(3,2) = 1;
Appliquer la fonction DecompLU`a la matriceflecheh(n)pour diff´erentes valeurs den.
5. ´Ecrire une fonction flecheb(n)qui retourne la matrice carr´ee d’ordre n compos´ee de 1 sur sa derni`ere ligne, sa diagonale et sa derni`ere colonne.
Appliquer la fonction DecompLU`a la matriceflecheb(n)pour diff´erentes valeurs den.
6. Pour n∈ {5,10,16}, appliquer la fonctionDecompLU `a la matrice
A=
10−n 1
1 1
et comparer le produitLU`a la matriceA.
1
Exercice 2. Factorisation de Cholesky
Sous certaines conditions, une matrice sym´etrique d’ordre n, A, admet une factorisation de typeA=BBT o`uBest une matrice triangulaire inf´erieure.
1. Pour une matrice A donn´ee, ´ecrire un algorithme qui retourne une nouvelle matrice A contenant la matrice Bdans sa partie triangulaire inf´erieure.
2. `A l’aide de l’algorithme pr´ec´edent ´ecrire une fonction DecompCho(A)retournant la ma- triceBsans modifier la matriceAd’origine.
Tester la fonctionDecompCho sur la matrice
A=
3 1 2 1 3 1 2 1 3
.
3. Appliquer la fonction DecompCho `a la matriceflecheh(4). Expliquer.
2
