ATS 2021-22 Chapitre M7
M7 - Oscillations sinusoïdales forcées
Dans les chapitres précédents nous avons étudié le comportement de systèmes soumis uniquement à des excitations "ponctuelles" (on tire sur un ressort, on cogne un pendule, on lâche une masse, etc...). L’objet de ce chapitre est d’interpréter la réponse d’un système à une excitation périodique sinusoïdale, enjeu crucial en ingénierie.
L’application la plus emblématique de cette problématique est certainement celle d’un bâtiment lors d’un séisme : lorsque la Terre tremble, la base de l’immeuble est soumise à une force oscillante (quasi-sinusoïdale) suite à quoi le bâtiment tout entier se met à osciller avec une amplitude qui dépend bien sûr de la puissance du séisme (c’est-à-dire de l’amplitude de l’excitation) mais aussi de la fréquence de la secousse :
Comment expliquer quel’amplitude de la réponsedu système puisse dépendre de lafréquence de l’exci- tation?
1 Réponse d’un système à une excitation sinusoïdale
1.1 Etude d’un exemple - Mise en équation
Etudions l’oscillateur le plus simple, le système masse-ressort amorti, et soumettons le à une force sinusoï- dale :
Grâce à un excentrique tournant à la pulsationω, la corde qui agit sur l’extrémité haute du ressort est animée d’un mouvement de translation sinusoïdale de même pulsation, de sorte qu’en choisissant l’origine des xsur la position moyenne deA:
xA=xAmcos(ωt)
NB : par convention l’amplitude d’une grandeur sinusoïdaleW est toujours noté Wm.
Appliquons le PFD àM, en supposant l’existence d’une force de frottement classique F~ =−λ~v : m~a=m~g−k(l−lo)e~x−λ~v
Le mouvement se produisant le long de l’axeOx, on y projette la relation. De plusl=x−xA, d’où :
¨ x+ λ
mx˙+ k
m(x−(lo+mg k )) = k
mxAmcos(ωt)
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Pour simplifier l’équation on procède à un changement de variable en posantX =x−(lo+mgk ). En remarquant qu’on a alors ˙X = ˙xet ¨X = ¨x, on arrive à :
X¨ + λ m
X˙ + k mX= k
mxAmcos(ωt) et en posant les notations habituelles :
X¨+ωo Q
X˙ +ω2o.X=ωo2.xAmcos(ωt) Attention à ne pas confondreωo=p
k/m, la pulsation propre du système (celle à laquelle il oscille en l’absence de frottement si vous l’étirez et le relâchez) etω, la pulsation à laquelle on excite le système via la corde.
1.2 Le phénomène physique : nature des solutions
Observons la simulation JAVA (disponible sur le site physique-ats) de la réponse d’un système soumis à une excitation sinusoïdale. Après un bref intervalle pendant lequel la réponse du système est confuse, la situation se stabilise et on observe des évolutions du style :
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 2
4
t excitation
réponse
Observations principales : après un bref régime transitoire, la masse a un mouvement sinusoïdal de même fréquence que l’excitateur, éventuellement déphasé par rapport à lui.
Conclusion : si on excite un système de façon sinusoïdale à la pulsation ω (traduit par la présence de cos(ωt) ou sin(ωt) au second membre de l’équation différentielle), alors sa réponse X(t) est elle même sinusoïdale de pulsationω :
X=Xmcos(ωt+ Φ) avecXm l’amplitude, Φ le déphasage
Xmet Φ sont les inconnues à déterminer en fonction deω pulsation d’excitation.
On appelle ce régime permanent lerégime sinusoïdal forcé (RSF). Enfin, le régime transitoire étant sans intérêt (trop complexe) on ne l’étudie jamais dans le contexte du RSF. On ne recherche donc jamais la solution générale de l’équation différentielle.
Arrêtons nous sur la notion de déphasage, à priori déjà vue en électronique (...) :
comme on le voit sur le graphe ci-dessusxAa ses maxima un peu avant x(et donc avantX), on dit donc que xA est enavance par rapport àX ou que X est enretard sur xA. Cela se traduit mathématiquement par un déphasage Φ dans le cosinus d’une des deux fonctions. L’excitateur étant toujours pris comme référence, c’est la réponseX qu’on affuble de cet éventuel Φ, d’où l’expression :
X =Xmcos(ωt+ Φ) et pour l’excitateur, à l’origine des phases : xA=xAmcos(ωt) Φ est compris dans [−π, π] et certains déphasage particuliers portent un nom célèbre :
0.2 0.4 0.6
−1 1
t
0.2 0.4 0.6
−1 1
t
0.2 0.4 0.6
−1 1
t
En phase (Φ = 0), en opposition de phase (Φ =±π), en quadrature de phase (Φ =±π/2)
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1.3 La cuisine mathématique : la notation complexe
C’est une méthode astucieuse permettant d’obtenir efficacement l’expression de l’amplitudeXmet du dé- phasage Φ en fonction de la fréquence/pulsation de l’excitation. Elle consiste à remplacer, dans l’équation différentielle, les grandeurs sinusoïdales du temps (ici la solution X, ses dérivées et le second membre) par leurs "complexes associées", grandeurs totalement abstraites mais utiles. La règle qui préside à la création de ces "fantômes" complexes est la suivante :
Partie réelle (complexe associé) = grandeur sinusoidale d’origine Ainsi on va substituerX=Xmcos(ωt+ Φ) par le complexe X =Xm.ej(ωt+Φ)
De même, on remplace lexAmcos(ωt) du 2nd membre par son complexe associé : xAm.ej(ωt).
Ainsi on "passe aux complexes" l’équation et on cherche désormais à résoudre : X¨ +ωo
Q
X˙ +ωo2.X=ωo2.xAmej(ωt)
NB : ce "passage aux complexes" n’est mathématiquement possible que si l’équation est linéaire.
Pourquoi est-il si utile de travailler avecX plutôt queX? Parce que ses dérivées sont enfantines, en effet : X˙ = dX
dt =Xm(jω).ej(ωt+Φ)=jωX et de même d2X
dt2 = (jω)2X Dériver par rapport àtun complexe du type...ejωt+..., revient à le multiplier parjω.
Ainsi, l’équation différentielle se ramène à : (jω)2.X+ωo
Qjω.X+ω2o.X=ω2o.xAmej(ωt) ⇔ (−ω2+ωo
Qjω+ωo2)X =ωo2.xAmej(ωt) ⇔ X = ωo2.xAm
−ω2+jωQoω+ωo2ej(ωt) Enfin pour simplifier le terme ej(ωt) de chaque côté, on introduit l’amplitude complexe, Xm, grandeur abstraite qui regroupe toute l’information utile, telle que :
X =Xm.ejωt avec Xm=XmejΦ De sorte que l’équation devienne :
Xm= ω2o.xAm
ω2o−ω2+jωQoω
Il ne reste plus qu’à revenir aux grandeurs physiquesXmetφ(amplitude et déphasage) en utilisant les relations suivantes (déduites de la définition deXm) :
Xm=|Xm| ; Φ =arg(Xm)
1.4 Réponse du système
Pour mémoire, on a montré que la position du système a pour expression : X(t) =Xmcos(ωt+ Φ) avecXm=| ωo2.xAm
ωo2−ω2+jωQoω | et Φ =arg( ωo2.xAm
ωo2−ω2+jωQoω)
Nous n’étudierons pas ici les variations du module et de l’argument en fonction de la pulsationω, on se contentera de les évaluer :
— pour une valeur particulière deω
— pour les valeurs asymptotiques deω, c’est-à-dire pourω→0 etω→ ∞
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Dans tous les cas, pour aller vite, calculer ou évaluer l’équivalent de Xm puis passer au module et à l’argument (et pas l’inverse).
Pour obtenir l’équivalent d’une grandeur fractionnelle (et non sa limite), il faut garder le terme prépon- dérant au numérateur et au dénominateur.
Par exemple, si le système est excité à la pulsationω=ωo, on a : Xm(ωo) = ωo2.xAm
jωQ2o
=−jQxAm d’où : Xm(ωo) =| −jQxAm|=QxAm et Φ(ωo) =−π/2
De même, si le système est excité à trés basse fréquence (ω→0), on a :Xm(0)≈ ω2o.xω2Am
o ≈xAmd’où : Xm(0)≈xAm et Φ(0)≈0
Enfin, si le système est excité à trés haute fréquence (ω→ ∞), on a :Xm(∞)≈ω2o−ω.xAm2 d’où : Xm(∞)≈ω2o.xAm
ω2 et Φ(∞)≈π
Ces 3 valeurs suffisent pour esquisser l’allure de la réponse du système en fonction deω, graphe appelé diagramme fréquentiel. On peut aussi tracer le diagramme fréquentiel du déphasage (qui a toujours l’allure de la fonction arctan) :
ωo xAm
ω
Xm Q= 5
Q= 0.5
−150
−100
−50
ωo
ω Φ
On retrouve les observations expérimentales : à basse fréquence le système oscille un peu, à haute fréquence il est quasi-immobile et pour une fréquence intermédiaire il oscille avec une amplitude maximale. Ce phénomène de réponse maximale s’appelle résonance, et on peut remarquer qu’il a lieu à une pulsation proche de la pulsation propre de l’oscillateur, ce qui est universel.
Un système résonne lorsqu’il est excité à sa fréquence propre. Résonance = réponse d’amplitude maximale.
NB : en fait l’existence de cette résonance peut ne pas avoir lieu (cas oùQest trop faible, cf courbe pointillée), nous le montrerons en TD en faisant l’étude détaillée de Xm(ω).
Parmi les exemples les plus célèbres de résonance, on peut citer l’écroulement en 1850 du Pont d’Angers sous le pas cadencé des soldats du 11ieme régiment d’infanterie légère (l’origine de l’excitation est néanmoins contestée puisqu’un règlement interdisant la marche au pas sur les ponts existait avant cette catastrophe) ; les armes acoustiques basses fréquences susceptibles de faire entrer en résonance la boîte crânienne ou d’autres organes ; l’effet de seiche entraînant des marées exceptionnelles dans certains lieux ; la proximité des fréquences de la houle avec la fréquence du roulis d’un bateau qui incite les marins à ne pas prendre trop longtemps des vagues par le travers ; la présence d’un trou dans les anneaux de Saturne à un rayon dont la durée de révolution est multiple entière de celle du satellite Mimas ; enfin et tout simplement la balançoire, dont on sent naturellement la fréquence à laquelle il faut la stimuler pour qu’elle entre en résonance...
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