Sorbonne Université M1 de Mathématiques
4M002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2020
Devoir Maison .
Facultatif. À rendre avant le 20 Décembre 2021.
Exercice 1. a) Soit f = X10+X5 + 1. Décrire le groupe de Galois de f et l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-extensions de son corps de décomposition.
b) Trouver un élément primitif du corps de décomposition deX5−3 surQ.
c) SoitAun anneau factoriel etf ∈A[X] irréductible et de terme constant irréductible dansA. Soitαune racine def dans une clôture algébriqueKdu corps des fractions deA. Montrer queαengendre un idéal premier du sous-anneauA[α] deK.
Exercice 2. Soitn >2 un entier etp, qdeux premiers distincts.
a) Montrer que pour tout entierm, il existe un polynôme irréductible de degrém dansFp[X].
b) Montrer qu’il existe un polynôme unitaire irréductiblef ∈Z[X] de degréntel que (fmodp) possède un facteur irréductible de degrén−1 dansFp[X] et (fmodq) soit séparable et possède un unique facteur irréductible de degré pair, ce degré étant égal à 2, dansFq[X].
c) Pour un telf, montrer queGf =Sn.
Exercice 3. Soit f ∈ Q[X] un polynôme unitaire séparable,Kf ⊂Q¯ son corps de décomposition et Gf :=
Gal(Kf/Q) son groupe de Galois. On choisit une numérotationα1,· · ·, αndes racines def dans ¯Qet on identifie ainsiGf à un sous-groupe deSn.
a) Montrer queδ:=Q
i<j(αi−αj)2∈Q. b) Posons√
δ:=Q
i<j(αi−αj)∈Kf. Montrer que pour toutσ∈Gf, on aσ(√
δ) =ε(σ)√
δ, oùε:Sn−→
{±1}est la signature. En déduire queGf ⊂An si et seulement si√ δ∈Q. c) i) Montrer queδ= (−1)n(n−1)/2Qn
i=1f0(αi).
ii) SoitM la matrice compagnon def, etg∈Q[X] un polynôme. Montrer queQn
i=1g(αi) = det(g(M)).
iii) Pourf de la formeXn+aX+b, en déduire queδ= (−1)n(n−1)/2((1−n)n−1an+nnbn−1).
Exercice 4. Soitf =X5+ 20X−16∈Q[X].
a) Montrer quef est irréductible et queGf contient un 5-cycle.
b) En réduisant modulo 7, montrer queGf contient un 3-cycle.
c) Montrer que la conjugaison complexe induit un élément non-trivial de Gf. En conclure que |Gf| est divisible par 30.
d) Montrer queGf est contenu dansA5 (utiliser l’exercice précédent).
e) Après avoir montré que tout sous-groupe d’indice 2 d’un groupe fini est distingué, en conclure que Gf =A5.
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