DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE LIMOGES

Numero d'ordre: Universite de Limoges

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE LIMOGES

Discipline: Mathematiques et applications presentee et soutenue publiquement par

Aude MAIGNAN

le 20 Janvier 2000

Resolution reelle d'equations et de systemes d'equations algebro-elementaires

Directrice de These: Co-directrice de These: Dominique DUVAL Anne BELLIDO

JURY:

Mlle A. Bellido

Ma^tre de Conferences,Universite de Limoges Examinatrice

M. J.-P. Dedieu

Professeur, Universite P. Sabatier, Toulouse Examinateur

Mme D. Duval

Professeur, Universite de Limoges Examinatrice

M. D. Michelucci

Ingenieur de recherche, habilite a diriger des Examinateur recherches, Ecole Nationale Superieure des

Mines, Saint Etienne

M. D. Richardson

Professeur, Universite de Bath Rapporteur

M. J.-J. Risler

Professeur, Universite Paris VI Examinateur

M. J.-C. Yakoubsohn

Professeur, Universite P. Sabatier, Toulouse Rapporteur

Remerciements

Qu'il me soit permis tout d'abord de remercier vivement celles et ceux qui m'ont guide et soutenu pour me permettre de mener a bien ce travail pendant ces trois annees.

Je veux citer en premier Mme Duval, responsable du laboratoire de Mathematiques a la faculte des sciences de Limoges qui m'a acceptee au nombre des chercheurs de son groupe.

Puis Mlle Bellido pour ses precieux conseils et son appui quotidien depuis le debut de ma these.

Ainsi que Mrs Yakoubsohn et Dedieu qui ont bien voulu manifester pour ma recherche un inter^etdonnant lieu a de fructueuxechanges qui mefurent tres importants pour la progression de ce travail.

Et Mr Richardson - rapporteur de these aujourd'hui avec Mr Yakoubsohn - dont la presence en france ce jour est le temoignage de l'inter^etpour ma contribution a des recherchess'initiant dans certains de ses propres travaux.

Enn Mrs Michelucci et Risler membres du jury de these qui m'ont manifeste egalement leur appui.

Sans oublier mes parents, ma soeur, mes amis sans le soutien desquels rien n'aurait ete possible.

Que tous recoivent mes sentiments les plus reconnaissants.

Table des matieres

1 Bornes pour certains types de fonctions algebro-elementaires 15

1.1 Bornes pour polyn^omes en x et exponentielle x . . . 17

1.1.1 La methode de Thom-Richardson . . . 17

1.1.2 Construction algorithmique de bornes (non explicites) . . . 21

1.1.3 Des bornes explicites . . . 24

1.1.4 Exemples . . . 27

1.2 Bornes pour fonctions exp-log . . . 27

1.2.1 Bornes pour polyn^omes enx, e^x ete^f(x) . . . 28

1.2.2 Digressions sur le m^eme theme . . . 29

1.3 Bornes pour polyn^ome en x et sinus x . . . 30

1.3.1 Critere de nitude . . . 30

1.3.2 Du critere a la determination formelle de la nitude . . . 32

1.3.3 Du critere a la determination pratique . . . 41

2 Separation, comptage des racines reelles 45

2.1 Les methodes de Richardson . . . 48

2.1.1 Methode de separation-comptage . . . 48

2.1.2 Methode de Sturm-Richardson . . . 51

2.2 Une nouvelle methode pour fonctions a coecients reels . . . 54

2.2.1 La methode . . . 54

2.2.2 Exemple . . . 57

2.2.3 Complexite . . . 58

2.3 Compter le nombre de solutions d'un systeme de polyn^omes exponentiels . . 63

2.3.1 Methode de Richardson . . . 63

2.3.2 Nouvelle approche . . . 67

3 Rappels sur la methode d'exclusion de J.-P. Dedieu et J.-C. Yakoubsohn 73

3.1 Principe de la methode d'exclusion . . . 73

3.2 La methode d'exclusion a une dimension . . . 74

3.2.1 Construction de la fonction d'exclusion de Dedieu et Yakoubsohn . . 74

3.2.2 L'algorithme d'exclusion . . . 76

3.2.3 Methode de bissection-exclusion . . . 77

3.2.4 Complexite de la methode de bissection-exclusion . . . 78

3.3 La methode de bissection-exclusion multi-dimensionnelle . . . 82

3.3.1 Principe de base . . . 82

3.3.2 Construction du polyn^ome d'exclusion . . . 83

3.3.3 Distance entre un point et les solutions deP = 0 . . . 83

4 La methode d'exclusion generalisee pour polyn^omes en

x

et

sinx

85

4.1 Exclusion generalisee orthogonale . . . 86

4.1.1 Principe et construction des rectangles d'etude . . . 87

4.1.2 Le polyn^ome d'exclusion . . . 88

4.1.3 AlgorithmeOrthogonal^;Generalized^;Exclusion^;Method . . . 90

4.1.4 Exemples . . . 91

4.2 Complexite . . . 92

4.2.1 La complexite maximale . . . 92

4.2.2 Bornes sur la demi-longueur d'exclusion . . . 93

4.3 Exclusion generalisee oblique . . . 98

4.3.1 Principe de base . . . 99

4.3.2 Construction pratique . . . 100

4.3.3 AlgorithmeOblique^;Generalized^;Exclusion^;Method . . . 102

4.3.4 Exemples . . . 102

4.4 Comparaison globale des methodes d'exclusion . . . 104

4.5 Localisation des racines \ a l'inni" . . . 106

4.5.1 Theoreme de localisation des racines a l'inni . . . 107

4.5.2 AlgorithmeRoots^;Localization . . . 108

4.5.3 Exemples . . . 109

5 Exclusion generalisee 113

5.1 Exclusion generalisee orthogonale . . . 113

5.1.1 Interpretation geometrique . . . 114

5.1.2 Construction du pave d'etude . . . 115

5.1.3 Le polyn^ome d'exclusion generalisee . . . 116

5.1.4 Algorithme . . . 117

5.1.5 Exemples . . . 118

5.2 Complexite . . . 120

5.2.1 Fonction d'exclusion centree . . . 121

5.2.2 Bornes sur la demi-longueur d'exclusion . . . 122

5.2.3 Calcul de la complexite . . . 123

5.3 La methode d'exclusion generalisee oblique . . . 125

5.3.1 Principe de base . . . 125

5.3.2 Construction pratique du parallelepipede d'etude . . . 126

5.3.3 Exemple . . . 128

5.4 La methode d'exclusion generalisee pour systemes . . . 129

5.4.1 Exclusion generalisee orthogonale . . . 131

5.4.2 Exclusion generalisee oblique . . . 134

Introduction generale

Cette these a pour objectif la localisation des solutions reelles de certaines equations ou de certains systemes d'equations faisant intervenir une classe particuliere de fonctions analy- tiques que nous appelons la classe des fonctions

algebro-elementaires

.

La localisation d'une ou de plusieurs solutions de ce type de systemes d'equations peut ^etre traitee par des methodes numeriques. Mais ces dernieres ne susent pas quand il s'agit de localiser

l'ensemble

des solutions. La resolution du probleme fait alors appel a des outils algebriques.

Les fonctions algebro-elementaires

Une fonction algebro-elementaire est une fonction de^Rndans ^Rpouvant s'exprimer comme polyn^ome a coecients reels dependant des variables x = (x¹;x²;:::;xn) de ^Rn et d'un ensemble de fonctions dites \simples".

Nous appelons

fonctions simples

une fonction de ^R dans ^Rqui est de la forme ln(g(x)), exp(g(x)), sin(g(x)), cos(g(x)), arcsin(g(x)), arccos(g(x)), sinh(g(x)), cosh(g(x)),

arcsinh(g(x)), arccosh(g(x)) ou^jg(x)^jou g(x) est une fonction simple ou un polyn^ome. Nous demandons a ce que le nombre de compositions soit ni.

Par exemple, la fonction g denie par:

g(x) = cos(x + 2)(sin(x)^;x + 1)^;(sin(x)^;3cos(x + 2)²)ln(x)^;3x + sin(x + 2)³+ 14 est une fonction algebro-elementaire qui a pour polyn^ome associe

p(x;y;z;t;u) = y(z^;x + 1)^;(z^;3y²)t^;3x + u³ + 14;

les fonctions simples apparaissant dans g etant:

cos(x + 2);sin(x);ln(x) et sin(x + 2):

Tout au long de cette these, nous utilisons autant que possible le caractere polynomial des fonctions algebro-elementaires pour obtenir des resultats symboliques-numeriques. Nous nous appuyons sur la theorie des courbes algebriques [3, 35] et les proprietes analytiques des polyn^omes [14]. Notamment nous utilisons la decomposition cylindrique algebrique.

Bornes pour fonctions algebro-elementaires

Notre premier objectif est de determiner un intervalle borne ou non contenant l'ensemble des racines d'une fonction algebro-elementaire.

Ce probleme a deja ete resolu dans le cas particulier des polyn^omes avec, par exemple, la borne de Cauchy. Il n'a jamais ete resolu dans le cadre ou nous nous placons, la classe des fonctions algebro-elementaires etant trop vaste pour pouvoir obtenir des bornes generales.

Nous nous limitons donc a un ensemble de sous-classes pour lesquelles nous proposons une serie de methodes permettant de borner l'ensemble des racines.

La premiere sous-classe que nous etudions est celle des polyn^omes en x et e^x. D. Richardson s'est penche dans [27] sur ce cas particulier.

Dans le

chapitre 1

, nous presentons la methode qu'il propose, puis nous en proposons une nouvelle permettant de resoudre ce probleme de maniere plus directe et a meilleur co^ut. En particulier nous construisons des intervalles contenant l'ensemble des racines de polyn^omes enx et e^x dont les bornes sont explicites. Cette determination explicite et a faible co^ut des bornes permet de developper une methode recursive pour la plus grande classe des

fonctions exp-log

.

Nous etudions ensuite la classe des

fonctions spb

(classe de fonctions algebro-elementaires n'ayant qu'une seule fonction

s

imple

p

eriodique

b

ornee). Les fonctions spb sont plus delicates a traiter car, contrairement aux fonctions exp-log, le nombre de leurs racines peut ^etre inni.

L'existence d'un majorant ou d'un minorant de l'ensemble des racines d'une fonction spb n'est alors pas toujours garantie. Nous presentons des resultats originaux permettant:

{ de determinersi le nombre de racines est ni ou non, nous en deduisons alors l'existence ou la non existence d'un minorant ou d'un majorant;

{ de donner explicitement un minorant et un majorant a chaque fois qu'ils existent.

Nous developpons de plus une methode permettant de determiner les limites a l'inni ap- partenant a l'intervalle [^;1;1] des fonctions implicites d'un polyn^ome reel a deux variables.

Ce resultat est utilise dans le chapitre 4 an de localiser l'ensembledes racines d'une fonction spb dans le cas ou ces dernieres sont en nombre inni.

Localisation des racines

Il n'est evidemment pas possible de donner une determination explicite formelle des racines d'une fonction algebro-elementaire. En calcul numerique, il est d'usage de fournir une ap- proximationnumeriquedes racines, assortie d'une precision certiant la proximitede la racine par rapport a son approximation. Notre objectif est d'obtenir une localisation des racines sous la forme d'un ensemble d'intervalles contenant eectivement l'ensemble des racines.

Enoncons rapidement les dierents types de methodes de resolution connues.

Les methodes numeriques

La localisation des racines reelles des fonctions algebro-elementaires a ete traitee essentielle- ment de maniere numerique [1, 2, 9, 15, 23, 30].

Les methodes de bissection, de la secante, de Newton, d'interpolation inverse, d'homotopie, ::: sont utilisees dans les logiciels de calcul numerique comme

matlab

mais aussi dans les logiciels dits de calcul formel comme

maple

.

Ces methodes necessitent l'utilisation de points initiaux ou de fonctions initiales. Elles ont en general une tres bonne convergence vers une racine lorsque les conditions de depart sont bonnes. Au contraire, certaines conditions de depart entra^nent la non convergence de la methode.

De plus le probleme que nous avons souleve est de trouver l'ensemble des racines reelles sur un intervalle borne. Aucune methode purement numerique ne peut assurer la localisation de toutes les racines.

Prenons l'exemple simple de la fonction

f(x) = sinx^; x

sur l'intervalle [^;96:1;96:1]. Cette fonction a ete proposee par H. Gonnet et A. Bonadio dans100 [13] et a pour but de souligner la diculte qu'ont les programmes de resolution d'equations implantes dans

maple

de localiser toutes les solutions.

La fonctionf a 63 racines dans l'intervalle[^;96:1;96:1]. La plupart des methodes numeriques convergent ecacement vers une racine de f etant donne une bonne condition initiale. La diculte reside dans le nombre de racines a localiser et dans la capacite du logiciel a creer 63 bonnes conditions initiales permettant la convergence vers les 63 dierentes solutions du probleme.

Les methodes symboliques

Une idee naturelle pour aborder ce probleme de localisation des racines est de separer ou de compter les racines de l'equation a resoudre sur un intervalle borne.

L'alpha-theorie de Shub et Smale [33] permet lorsque l'on est assez proche d'une racine de creer un petit intervalle contenant une et une seule racine. Cette methode de determination d'intervalles d'unicite est liee a la methode de Newton dans [33] et ne peut ^etre appliquee que si l'on se place susamment pres d'une racine.

Dans un cadre plus general de separation et de comptage des racines, D. Richardson [25, 26, 27, 28] a elabore un ensemble de methodes a partir de la theorie de la decomposition cylindrique algebrique et de la theorie des suites de Sturm. Nous en parlons plus longuement

au

chapitre 2

ou nous en proposons une nouvelle approche qui permet de reduire le co^ut et de resoudre eectivement le probleme dans certains cas.

Mais, le gain que nous apportons a la complexite de la methode de Sturm-Richardson n'est pas susant pour que nous puissions l'utiliser en pratique sur l'ensemble de la classe des fonctions algebro-elementaires.

En eet, la methode est recurrente sur le nombre de fonctions simples contenues dans la fonction algebro-elementaire et elle engendre des equations polynomiales de tres haut degre qu'il est necessaire de resoudre. De plus, elle necessite la decidabilite du signe de fonctions algebro-elementaires a gauche et a droite de certains points. Cette decidabilite traitee de maniere symbolique est un probleme dicile (\constant problem", Richardson [24]); traitee d'un point de vue uniquement numerique, elle est dangereuse car sans garantie, et le risque d'erreur augmente avec la complexite des fonctions considerees.

Les methodes symboliques-numeriques

Les methodes symboliques-numeriques se situent entre

{ les methodes numeriques, rapides, mais resolvant le probleme ici pose de maniere par- tielle,

et

{ les methodes formelles, plus adaptees a une resolution theorique que pratique du pro- bleme, du fait de leur complexite algorithmique.

Ces methodes ont en eet l'ambition de garantir les resultats obtenus gr^ace a la theorie algebrique sur laquelle elles s'appuient, tout en evitant l'explosion de la complexite en intro- duisant a certains niveaux des evaluations numeriques.

La

methode d'inclusion

[22, 10] en est un exemple pour le probleme que nous soulevons.

En voici une presentation rapide.

Considerons le systeme d'equations algebro-elementaires h(x) = 0

oux = (x¹;x²;:::;xn)^2Rn,h(x) = (h¹(x);h²(x);:::;hn(x)) et ou pour tout i = 1;2;:::;n, hi est une fonction algebro-elementaire:

hi(x) = Pi(x;f¹(x¹);:::;fk(x¹);f¹(x²);:::;fk(xn)):

Etant donne une precision ", la methode d'inclusion appliquee a un pave ^B va selectionner un ensemble de paves dont la longueur des ar^etes est inferieure a", contenant l'ensemble des racines de h dans ^B.

Elle est basee sur le test suivant:

Soit ^B un pave de^Rn; 0^Rn2h(^B) ?

Comme l'image d'un pave par h est en general dicile a determiner, une nouvelle fonction H appelee fonction d'inclusion est introduite. Sa propriete fondamentale est:

h(^B)H(^B):

On peut alors construire un test moins n mais plus facile a eectuer:

Soit ^B un pave de^Rn; 0^Rn2H(^B) ?

La fonction d'inclusion H est creee gr^ace au calcul par intervalles. Ainsi l'image d'un pave par H est connexe et son calcul est immediat.

La methode d'inclusion est tres ecace quand le degre total de P est petit. Dans le cas contraire H(^B) est une trop grossiere estimation de h(^B) et le test perd de son ecacite.

Des variantes de la methode d'inclusion ont ete proposees notamment par K. Roach [29].

Mais il est alors necessaire de borner un ensemble de derivees et nous restons confrontes au m^eme type de probleme.

La

methode d'exclusion

(Weyl, [14]) est un autre exemple de methode symbolique- numerique.

Elle a ete reprise et amelioree par J.-P. Dedieu et J.-C. Yakoubsohn [7, 8]. Cette approche est ecace pour la localisation de l'ensemble des solutions de systemes polynomiaux de taille raisonnable et nous developpons cette theorie en detail au

chapitre 3

.

J.-C. Yakoubsohn a etendu cette methode a l'ensemble des fonctions analytiques [32] dont les fonctions algebro-elementaires font partie, mais elle utilise des series entieres qui doivent

^etre evaluees en de nombreux points. P. Kravanja dans sa these [17] a souligne la diculte d'utilisation de cette methode.

X. Ying [34] a developpe une methode a partir de la methode d'exclusion pour localiser l'ensemble des racines de fonctions non lineaires dans un domaine borne. Il utilise le calcul d'un majorant de la derivee dans sa fonction d'exclusion, et ce pour chaque sous-domaine rencontre. Nous retrouvons les problemes souleves pour la methode d'inclusion.

Nous proposons de construire une methode d'exclusion, que nous appelons

methode d'ex- clusion generalisee

, adaptee aux systemes d'equations algebro-elementaires en evitant la manipulation des series innies et en evitant le calcul de majorants de fonctions sur des domaines nis.

Reconsiderons le systeme d'equations algebro-elementairesh(x) = 0 deni plus haut.

Ce systeme est equivalent a un systeme a n + k variables et a n + k equations:

{ n equations sont polynomiales et constituent le systeme polynomial associe a h(x) = 0;

{ les k autres relient une nouvelle variable et une fonction simple. Ces k equations ana- lytiques constituent le systeme de conditions lie a h(x) = 0.

Le principe de la methode d'exclusion generalisee est d'appliquer le principe d'exclusion au systeme polynomial. La partie de ^Rn+k, solution du systeme de conditions, est approchee localement par un objet geometrique simple qui la contient et qui est deni uniquement gr^ace aux n variables principales x¹;x²;:::;xn. Ainsi, l'analyticite est geree au cours de la bissection et lesk variables introduites sont \reabsorbees".

Nous developpons au

chapitre 4

la methode d'exclusion generalisee dans le cas particulier des polyn^omes en x et sinx. Nous eectuons une analyse de complexite et proposons une approche particuliere lorsque le probleme est mal conditionne. Enn, nous etendons la me- thode de localisation des racines sur un intervalle borne a une localisation sur ^Rtout entier en utilisant un resultat du chapitre 1. De nombreux exemples sont donnes.

Au

chapitre 5

, nous presentons dans le cas general la methode d'exclusion generalisee pour systemes d'equations algebro-elementaires. La encore, une analyse de complexite et une gestion speciale pour problemes mal conditionnes sont donnees.

Chapitre 1

Bornes pour certains types de fonctions algebro-elementaires

Introduction

Dans le cas des polyn^omes a une variable on sait calculer des bornes qui permettent de determiner un intervalle contenant toutes les racines (reelles ou non) ([21], :::).

Par exemple, si A est un polyn^ome a une variable tel que A(x) =^Xk

i⁼⁰ aixⁱ et si = max_z=A

(z^)=0jz^jest la plus grande racine en norme de A, alors on denit la borne de Cauchy C(A) par C(A) = 1 + max_i<k ^jai^j

jak^j et cette borne verie < C(A).

Peu de recherches par contre ont ete faites pour borner l'ensemble des racines reelles des fonctions algebro-elementaires dont nous rappelons la denition en commencant par denir la notion de fonction simple.

Denition 1.0.1

Une fonction de ^Rdans^Rest dite

simple

si elle est de la formeln(g(x))^, exp(g(x)), sin(g(x)), cos(g(x)), arcsin(g(x)), arccos(g(x)), sinh(g(x)), cosh(g(x)),

arcsinh(g(x)), arccosh(g(x)) ou ^jg(x)^j ou g(x) est une fonction simple ou un polyn^ome. Le nombre de compositions est ni.

Denition 1.0.2

Une fonction g(y) de ^R dans ^R est une fonction

algebro-elementaire

si elle peut s'exprimer comme polyn^ome en n ^variables y^, f¹(y)^, f²(y)^, :::^, fn^;1(y)^ou fi est une fonction simple pour tout i^2f1;2;:::;n^;1^g:

g(y) = P(y;f(y)); (f(y) = (f¹(y);f²(y);:::;fn^;1(y))):

Il est clair que les specicites inherentes a chacune des fonctions contenues dans la grande classe des fonctions algebro-elementaires nous interdisent de resoudre le probleme de calcul

d'une borne des racines reelles dans sa globalite et dans sa plus grande generalite. C'est pourquoi nous nous contenterons d'etudier deux types de fonctions algebro-elementaires:

{ les

fonctions exp-log

: fonctions algebro-elementaires ou les fonctions simples sont des compositions en nombre ni de fonctions logarithmes et exponentielles.

{ Les

fonctions spb

: fonctions pouvant s'exprimer comme polyn^omes en la variable x et une fonction simple periodique bornee.

Remarque : . Cette denition des fonctions exp-log diere de celle donnee par J. Shackell [31]. Pour lui, l'ensemble des fonctions exp-log est l'ensemble des termes a une variable constitues a partir de (1;+;^;;; div ;exp();log^jj). Un exemple typique d'une fonction exp-log de J. Shackell est

exp1 +x³ln^j2 +x^j x + exp(x)

:

Ici, nous nous restreignons a des expressions n'ayant pas de partie fractionnaire et ou les compositions de ln et exp ne sont appliquees qu'a la variable x. De plus, nous utilisons des coecients reels et non pas rationnels. /

Les fonctions exp-log, telles que nous les denissons ici, ont un nombre ni de racines reelles, et il existe donc un intervalle borne les contenant toutes.

D. Richardson s'est interesse aux polyn^omes enx et e^x. Il a elabore une methode constructive basee sur les suites de Thom permettant de borner les racines reelles d'un polyn^ome enx et e^x [27].

Apres avoir rappele la methode de Thom-Richardson, nous proposons, dans la section 1, une methode moins co^uteuse pour resoudre ce probleme. Les bornes que nous donnons peuvent

^etre decrites de maniere explicite.

La section 2 est consacree a l'extension de notre methode a la famille des fonctions exp-log.

Les fonctions spb peuvent avoir un nombre inni de racines (il sut par exemplede considerer la fonction sinx), mais dans un intervalle borne le nombre de racines est ni. Ce caractere va necessiter une gestion dierente du probleme.

Nous proposons, dans la section 3, une methode permettant de determiner si le nombre de racines est ni ou non. Dans le cas ni, nous donnons un intervalle borne contenant l'ensemble des racines. Dans le cas inni, nous proposons une borne inferieure ou une borne superieure si elle existe.

Pour obtenir l'ensembledes resultats de ce chapitre, nous n'avons recours ni au comptage des racines ni a la separation des racines. Les outils que nous utilisons sont la borne de Cauchy, la decomposition cylindrique algebrique et un resultat de D. Richardson [25].

Les bornes que nous obtenons ne sont certainement pas optimales. Nous les avons calculees en nous xant comme objectif d'elaborer des algorithmes dont le co^ut est faible. En eet, ces bornes ne sont qu'une premiere etape pour la recherche de l'ensemble des zeros d'une fonction.

1.1 Bornes pour polyn^omes en

^x

et exponentielle

^x

Dans cette section, nous construisons une borne superieure non explicite au-dela de laquel- le un polyn^ome en x et exponentielle x n'a pas de racine reelle. De cette borne superieure nous deduisons par dualite la construction d'une borne inferieure, puis nous proposons deux bornes superieures explicites. Dans une sous-section d'exemples, nous mettrons en valeur l'inter^et de chacune des bornes proposees.

Mais rappelons tout d'abord la methode construite par D. Richardson [27, 28].

1.1.1 La methode de Thom-Richardson

La methode de Thom-Richardson [27, 28] est une methode constructive permettant de borner l'ensemble des racines reelles d'un polyn^ome en x et e^x a coecients rationnels.

An de construire cette methode, D. Richardson a etendu la notion de suite de Thom [3], valide pour les polyn^omes de^R[x], aux polyn^omes en x et e^x gr^ace a l'utilisation de

fausses derivees

.

Cette theorie, developpee dans un premier temps pour majorer le nombre de racines d'un polyn^ome enx et e^x, sert ensuite a D. Richardson pour resoudre \the last root problem".

Nous allons donc rappeler les denitions de fausse derivee et de Suite de Thom, puis nous exposerons les methodes de D. Richardson concernant les polyn^omes enx et e^x sur:

{ la majoration du nombre de racines, { la majoration de la plus grande racine.

Fausse derivee

La notion de fausse derivee a ete introduite par G. H. Hardy [11]. L'idee est que dans l'analyse de fonctions, nous avons en general davantage besoin du signe de la derivee que de son expression. Ainsi, la construction d'une fausse derivee se fait dans l'optique de simplier l'expression de la vraie derivee.

Denition 1.1.1

Une fonction f est une

fausse derivee

d'une fonction f sur un inter- valle I sif est une fonction continue sur I telle que pour toutes racines xde f surI, f(x) et f⁰(x) ont le m^eme signe.

f ^et f⁰ sont des fonctions dites de m^eme signe en x si elles sont toutes les deux soit strictement negatives, soit strictement positives, soit nulles, au point x^.

Les conditions de signe etant veriees par la fausse derivee, nous pouvons utiliser une gene- ralisation du theoreme de Rolle:

Proposition 1.1.1

Soit I un intervalle sur lequel f et f sont denies et soit u et v deux racines de f appartenant a I. Au moins une racine de f appartient a l'intervalle ferme [u;v].

Une notion plus forte, permettant de recuperer plus de proprietes de la vraie derivee est souvent utile:

Denition 1.1.2

Une fonction f est une

fausse derivee forte

d'une fonction f sur un intervalle I si

{ f est une fausse derivee de f sur I;

{ pour chaque racine r de f sur I, la limite quand x tend vers r sur I^;fr^g de f⁰(x) f(x) existe et est positive et nie.

Dans un voisinage d'une racine de f, une fausse derivee forte a le m^eme signe que la vraie derivee. De plus si f est une fausse derivee forte de f sur I alors, f a une racine dans l'intervalle ouvert borne par deux racines consecutives de f et en une racine multiple de f, l'ordre de multiplicite def (s'il existe) est le m^eme que celui de f⁰.

Lemme de Thom

Le lemme de Thom [3, 4] est un resultat classique de la geometrie algebrique reelle. Sa formulation usuelle est:

Denition 1.1.3

^{Soit F} = (p¹;p²;:::;pn)une famille de polyn^omes de ^R[x]telle que toutes les derivees p⁽jⁱ⁾ appartiennent a ^F. Soit X un sous-ensemble de ^Rde la forme

X =^\

i

ft ^2R;pi(t)i 0^g ou i^2f>;=;<^g: Alors X est connexe et un des trois cas suivants est verie:

1. X =^;;

2. X =^fun point isole ^g;

3. X est un intervalle non trivial.

D. Richardson a etendu la notion de suite de Thom aux fonctions analytiques:

Denition 1.1.4

Une suite de Thom d'une fonction f sur un intervalle I est une suite de fonctions (f⁰;f¹;:::;fn) ou:

{ f⁰ est egale a f;

{ fn est une constante non nulle;

{ fi⁺¹ est une fausse derivee de fi sur I.

Remarque : Une suite de Thom

forte

est denie en remplacant le troisieme point de la denition par \fi⁺¹ est une fausse derivee forte de fi sur I".

Majoration du nombre de racines

D. Richardson utilise dans un premier temps la notion de suite de Thom forte pour majorer le nombre de racines d'un polyn^ome en x et e^x.

Theoreme 1.1.1

^Soit p⁰(x;e^x) un polyn^ome en x ^et e^x a coecients rationnels, la suite (p⁰(x;e^x);p¹(x;e^x);p²(x;e^x);:::;pn^;1(x;e^x);pn(x))

denie comme suit est une suite de Thom forte:

{ p⁰(x;e^x) est egale a p⁰(x;e^x);

{ pour tout i ^{2 f}1;2;:::;n^g, pi(x;e^x) est la fausse derivee forte de pi^;1(x;e^x) calculee en divisant [p_i^;1]⁰(x;e^x) par d'eventuels facteurs de e^x;

{ la derniere fonction de la suite pn est une constante non nulle.

Avec cet outil, nous obtenons le resultat suivant:

Proposition 1.1.2

^Soitp⁰(x;e^x)un polyn^ome enxete^xa coecients rationnels,(degx(p⁰)+

1) (degy(p⁰) + 1)^;1 est un majorant du nombre de racines de p⁰(x;e^x).

Preuve

La longueur de la suite de Thom forte est majoree par (degx(p⁰)+1) (degy(p⁰)+1).

De plus, a chaque etape, les racines de pi(x;e^x) sont separees par celles depi⁺¹(x;e^x) etpn

est une constante non nulle donc (degx(p⁰)+1) (degy(p⁰)+1)^;1 est un majorant du nombre de racines, en comptant les ordres de multiplicite, de p⁰(x;e^x). ² Remarque: Signalons que, contrairement a ce qui est ecrit dans [27, 28], il est bien necessaire de majorer la longueur de la suite de Thom forte par (degx(p⁰) + 1) (degy(p⁰) + 1) . Il sut de considerer un polyn^ome en x et e^x de degre 1 enx et de degre 1 en e^x, la suite de Thom forte qui lui est associe a, en general, une longueur de 4.

Remarque : D. Richardson dit dans [27, 28]: \It seems to me that a much better bound should be possible for the number of roots of such functions. I do not know of any example which more than degx(p⁰) +degy(p⁰) roots. Does such an example exist?"

Soit h le polyn^ome en x et e^x suivant:

h(x) = (x^;7)e^2x;(10x^;4)e^x;x^;5:

h est de degre respectif 1 et 2 en x et e^x et h a 4 racines reelles.

Il est facile d'obtenir d'autres exemples ayant plus dedegx(:)+degy(:) racines en considerant les primitives successives de h.

Ainsi une deuxieme primitive de h:

(14x^;2)e^2x+ (^;10x + 24)e^x; 5

3x^3; 5

2x^2; 63

5 x^; 449 a 6 racines et repond aussi a la question. 20

Remarque : A. G. Khovanskii [16] a obtenu une borne plus generale pour la majoration du nombre de solutions des systemes d'equations contenant des exponentielles, des sinus et des cosinus. Dans notre cas particulier, cette borne prend pour valeur:

(degx(p⁰) +degy(p⁰))(degx(p⁰) +degy(p⁰) + 1):

Majoration de la plus grande racine reelle

Pour majorer la plus grande racine d'un polyn^ome en x et e^x, D. Richardson n'a besoin que de la notion faible de la fausse derivee.

Theoreme 1.1.2

Soit p⁰(x;e^x) un polyn^ome en x et e^x a coecients rationnels, la suite (p⁰(x;e^x);p¹(x;e^x);p²(x;e^x);:::;pn^;1(x;e^x);pn(x))

denie comme suit est une suite de Thom:

{ p⁰(x;e^x) est la partie sans facteur carre de p⁰(x;e^x);

{ pour tout i ^{2 f}1;2;:::;n^g, pi(x;e^x) est la fausse derivee de pi^;1(x;e^x) calculee en remplacant p⁰i^;1(x;e^x) par sa partie sans facteur carre et en divisant par d'eventuels facteurs e^x;

{ la derniere fonction pn est une constante non nulle.

Remarque : La longueur de cette suite est a fortiori majoree par (degx(p⁰) + 1) (degy(p⁰) + 1):

Technique de majoration: Cette suite de Thom permet de determiner de maniere recursive un majorant de la plus grande racine reelle de p⁰(x;e^x). Un raisonnement similaire donne la determination d'un minorant de l'ensemble des racines reelles.

Supposons que nous pouvons trouver une borne superieure b pour les racines reelles de pi(x;e^x). Au-dela de ce point, la fonction pi^;1(x;e^x) est monotone. Comme nous pouvons calculer le signe limite des polyn^omes en x et e^x en +¹, nous pouvons decider s'il y a une racine de pi^;1(x;e^x) a droite de b en evaluant le signe de pi^;1 au point b. Si le signe de p_i^;1(b;e^b) est dierent de celui de limx^!+1p_i^;1(x;e^x) alors il y a une racine a droite de b et l'on fait un pas a droite de b en retestant le signe p_i^;1 en ce nouveau point jusqu'a obtenir un point a droite de la derniere racine.

Ainsi en commencant par la derniere fonction de la suite pn qui est une constante et en remontant la suite jusqu'a p⁰(x;e^x), nous pouvons determiner un majorant de l'ensemble des racines reelles de p⁰(x;e^x).

1.1.2 Construction algorithmique de bornes (non explicites)

La methode de Thom-Richardson est recursive sur la longueur de la suite de Thom, longueur qui comme nous l'avons vu depend des degres du polyn^ome en x et e^x. Cette methode est par consequent tres co^uteuse des que les degres du polyn^ome augmentent.

Le but de cette sous-section est donc d'obtenir une methode non recursive pour borner les racines des polyn^omes p(x;e^x) en x et e^x a coecients reels.

D'autre part, le calcul des fausses derivees et notamment le calcul de la partie sans facteur carre, nous oblige a nous placer dans^Q[x;e^x] plut^ot que dans^R[x;e^x]. En nous placant dans la decomposition cylindrique algebrique de p(x;y) = 0 et en utilisant la borne de Cauchy, nous construisons une methode non recursive necessitant la creation d'une seule fonction en evitant ainsi les problemes lies a la determination de la partie sans facteur carre.

Nous commencons par decrire l'algorithme permettant d'obtenir un majorant, puis nous donnons une proposition permettant d'en deduire un minorant.

Majorant

Demontrons dans un premier temps le resultat suivant:

Theoreme 1.1.3

Soitp(x;e^x) =^Pn_j⁼⁰Aj(x)e^jx un polyn^ome en xete^x et notons pour tout j = 0;1;:::;n^, A⁺j =sign(lc(Aj))Ai. Soit m ^2f0;1;:::;n^;1^g un indice veriant

8j ^2f0;1;:::;n^;1^g_xlim

!+1

(A⁺_m(x)^;A⁺_j(x))0:

Soit x = max

0in(C(A⁺_i );C(A⁺m^;A⁺_i );C(A⁰⁺n A⁺m+A⁺nA⁺m+ (A⁺n)^2;A⁺nA⁰⁺m)). Sur l'intervalle [x;+¹[, p(x;e^x) a au plus une racine.

Preuve

Placons-nous dans le plan (x0y). Nous cherchons un majorant de toutes les abscisses des points d'intersection entre les courbes representatives dey = e^xet des fonctions implicites dep(x;y) = 0. Notons^fy = i(x); i^2f1; 2; ; l^ggl'ensemble de ces fonctions implicites.

Pour tout x xe, nous pouvons utiliser la borne de Cauchy du polyn^ome p(x;y) de la variable y, borne que nous notons y. Nous avons donc pour toutj ^2f1; 2; ; l^g tel que j(x) soit denie en x:

y= 1 + max_i

=0n^;1

jAi(x)^j

jAn(x)^{j j}j(x)^j:

Ai etant un polyn^ome a une variable, il existe un reel Bc et un indice m ^2f0;1;:::;n^;1^g veriant

8i^2f0; 1; ; n^;1^g; ⁸x²]Bc;+¹[; ^jAm(x)^jjAi(x)^j: (1.1) L'indice m est determine en comparant les mon^omes des polyn^omes Ai:

{ si deg(Ai) ⁶= deg(Aj) alors on a immediatement l'ordre (dans le sens ou nous l'avons deni dans l'assertion 1.1) entre Ai et Aj.

{ sinon, il faut comparer les coecients principaux; si ces derniers sont aussi egaux, nous devons comparer les mon^omes suivants, etc ...

Remarque : . Am verie alors deg(Am)degx(p). /

Le calcul d'un reel Bc est tres rapide lorsque l'on considere les polyn^omes associes a Ai: A⁺_i =sign(lc(Ai))Ai.

En eet, posons Bc = max

0in(C(A⁺i );C(A⁺m^;A⁺i )).

8x²]Bc;+¹[,x max

0in(C(A⁺i )), donc ^jAi(x)^j=A⁺i (x).

De plus, pour tout i^2f0;1;:::;n^;1^g, x max

0in^;1(C(A⁺m^;A⁺i )) et ^jAm(x)^j;jAi(x)^j=A⁺m^;A⁺i 0.

Donc Bc ainsi deni convient pour l'assertion (1.1).

Une foism et Bc calcules, nous savons que pour tout x superieur a Bc, la courbe y(x) = 1 + ^jAm(x)^j

jAn(x)^j, ou de facon equivalente y(x) = 1 + A^+m(x)

A⁺_n(x), est au-dessus de toutes les fonctions implicites de P(x;y) = 0.

Soit r la plus grande racine de 1 + A^+m(x)

A⁺n(x) = e^x. Comme la fonction e^x est strictement croissante et au-dessus de y(x) en +¹, max(Bc;r) est un majorant en valeur absolue de

toutes les racines reelles de p(x;e^x). Notons

q(x;e^x) =A⁺n(x)e^x;(A⁺m(x) + A⁺n(x)):

Il nous sut a present de trouver un majorant de la derniere racine de q. Nous avons donc reduit le probleme initial: pour majorer la derniere racine reelle d'un polyn^ome en x et exponentielle x, nous n'avons plus qu'a majorer la derniere racine d'un polyn^ome en x et exponentiellex de degre 1 en e^x.

Notons Bq un reel superieur a toutes les racines reelles de q.

D'apres un resultat de D. Richardson [25] sur la separation des racines de ce type de fonctions, (ce resultat est repris au chapitre 2, lemme 2.1.1), nous savons que sur ]Bc;+¹[ les racines deq sont separees par celles de R(x) = Resy(q(x;y);yqy(x;y) + qx(x;y)).

Commeq est un polyn^ome de degre 1 en exponentielle, ce resultant n'est autre qu'un deter- minant 22 etR s'ecrit:

R = A⁰⁺n A⁺m+A⁺nA⁺m+ (A⁺n)^2;A⁺nA⁰⁺m:

Denissons h ^{2 R+} tel que q(C(R) + h;e^C(R)+h) > 0 (si q(C(R);e^C(R)) > 0, nous prenons h = 0).

Bq =C(R) + h est superieure a r et B¹ =max(Bc;Bq) est a droite de toutes les racines de

p(x;e^x). ²

L'algorithme qui suit decrit les etapes essentielles de la methode.

Algorithme de calcul du majorant

B¹ Entrees:p(x;e^x) =^Xn

i⁼⁰ Ai(x)e^ix et h^2R+. Sortie: la borne B¹.

{ poser A⁺i =

Ai silc(Ai)> 0

;Ai sinon ;

{ trouver m tel que ⁸i^2f1; 2; ; n^g; lim_x!+1(A⁺m^;A⁺i )(x)0;

{ calculerBc : = max

0in(C(A⁺i );C(A⁺m^;A⁺i )) et

B¹ : = max(Bc;C(A⁰⁺_n A⁺_m+A⁺_nA⁺_m+ (A⁺_n)^2;A⁺_nA⁰⁺_m));

{ calculerq(x;e^x) =A⁺_n(x)e^x;(A⁺_m(x) + A⁺_n(x));

{ tant que q(B¹;e^B1)< 0 faire B¹ =B¹ +h.

Remarque: Nous pouvons utiliser la correction de Newton pour donner une valeur ah, ainsi h = ^jQ(B¹;e^B1)^j

jQ⁰(B¹;e^B1)^j permet en general d'obtenir la borne rapidement.

Minorant

Pour la borne inferieure, la construction d'une fonction conjuguee va nous permettre de nous ramener au cas du minorant.

En eet, posons f(x) = p(x;e^x) et creons f(x) = e^nxf(^;x) avec n = degy(p).

f ainsi denie verie

f(x) = 0 si et seulement si f(^;x) = 0 et si B est une borne superieure de f alors

B max^fx > 0; f(x) = 0^g ce qui revient a

B max^fx > 0; f(^;x) = 0^g soit encore

;B min^fx < 0; f(x) = 0^g: Pour resumer, erigeons ce resultat en proposition:

Proposition 1.1.3

f(x) = p(x;e^x)etant un polyn^ome en x et e^x tel que degy(p(x;y)) = n, un minorant des racines reelles de f est l'oppose d'un majorant de l'ensemble des racines reelles de f(x) = e^nxf(^;x).

1.1.3 Des bornes explicites

La methode que nous venons de proposer n'est pas recursive, mais elle n'est pas explicite et en derniere etape nous avons recours a une approche par t^atonnements.

An d'eviter ces t^atonnements, nous allons modier la derniere etape de la methode et ainsi creer des bornes explicites.

Avant d'enoncer le theoreme de la borne explicite, nous presentons deux lemmes utiles a sa preuve.

Lemme 1.1.1

Pour tous reels x et k tel que k 1 et xk^e;1e on a x^k e^x.

Remarque : Le fait qu'a partir d'un certain rang x^k e^x est un resultat classique, mais l'originalite de ce lemme est de donner explicitement un rang dependant d'une puissance de k a partir duquel l'inegalite est vraie.

Preuve

Pour tout reel positif x, x^k e^x equivaut a k ln(x) < x. Etudions la fonction f(x) = x^;k ln(x)

et determinons une valeur de ^2Rla plus petite possible telle que la relation

xk ⁾ k ln(x)x (1.2)

soit vraie.

Pourx > k1, f⁰(x) > 0 et f(x) est strictement croissante, donc pour que l'assertion (1.2) soit veriee, il sut de determiner1 tel que k ln(k)k.

Or la valeur minimale de est inferieure a 2;

en eet, xk² implique 1^px 1

k et ln(x)

px

px

k d'ou k ln(x)x.

Notons ⁰ = 2, pour quek ln(k)k, avec < ⁰, il sut que ⁰k ln(k)k d'ou ln(⁰k ln(k))

ln(k)

Or pour tout reel ² [1;2], la fonction qui a la variable k associe ln( k ln(k))ln(k) , admet un maximum enee^1;ln() et prend en ce point la valeur e + e .

Posons

¹ = max_k

1

(ln(⁰k ln(k))

ln(k) ) = e + e ⁰ et ¹ verie (1.2).

En reprenant le m^eme raisonnement que precedemment, nous pouvons verier que tous les reels de la suite

i⁺¹ = max_k

1

(ln(ⁱk ln(k))

ln(k) ) = e + i

e ; i^2N; verient (1.2).

Comme la fonction associee a la suite i⁺¹ = e + e est contractante, la suite converge. Laⁱ valeur de sa limite est = ee^;1 ce qui acheve la demonstration. ²

Lemme 1.1.2

Un polyn^ome A a coecients reels est strictement monotone sur l'intervalle [C(A);+¹[.

Preuve

D'apres le theoreme de Lucas, les racines complexes de A⁰ sont contenues dans l'enveloppe convexe des racines complexes de A. Or C(A) est superieur aux modules de toutes les racines deA donc le disque de rayon C(A) contient l'enveloppe convexe des racines de A et A⁰ n'a pas de racine a l'exterieur de ce disque. En particulier,A⁰ n'a pas de racine reelle sur ]C(A);+¹[ et A est strictement monotone sur [C(A);+¹[. ²

Theoreme 1.1.4

Soit p(x;e^x) = ^Xn

i⁼⁰ Ai(x)e^ix avec Ai ^{2 R}[x]et soit m un indice veriant quel que soit i^2f0; 1; :::; n^;1^g, _xlim

!+1

(^jAm(x)^j;jAi(x)^j)0. Si Bc = max

0in(C(A⁺_i );C(A⁺m^;A⁺_i )) et S(x) = A⁺_nmax(Bc;(degx(p) + 1) e

e^;1)xdeg^x(p) + 1^;(A⁺_m(x) + A⁺_n(x)) alors B² = maxBc;(degx(p) + 1) e

e^;1;C(S) est une borne superieure associee a p.

Preuve

Pour trouver une borne explicite, nous reprenons le polyn^ome en x et e^x cree dans la sous- section 1.1.2.

Comme lim_x

!+1

q(x) = +¹, pour majorer la derniere racine deq il sut de minorer q sur un intervalle positif non borne par un polyn^omeS(x) tel que lim_x

!+1

S(x) = +¹ et de majorer la derniere racine de ce dernier par la borne de Cauchy par exemple.

Soit k un entier strictement positif; d'apres le lemme 1.1.1, pour tout x > max(Bc;k^e;1e ), q(x;e^x) A⁺n(x)x^{k ;}(A⁺m(x) + A⁺n(x)):

D'apres le lemme 1.1.2, A⁺_n est monotone, de plus son coecient principal est positif, donc A⁺n est croissante etA⁺n(x)A⁺n

max(Bc;k^e;1e ), ce qui nous donne q(x;e^x)A⁺n

max(Bc;k^e;1e )x^{k ;}(A⁺m(x) + A⁺n(x)):

Posons S(x) = A⁺n

max(Bc;k^e;1e ) x^{k ;}(A⁺m(x) + A⁺n(x)); pour que S verie

x^!+1lim S(x) = +¹ il sut que k degx(p) + 1 car d'apres la remarque de 1.1.2, on a deg(A⁺m) =degx(p). En posant k = degx(p) + 1, nous obtenons le theoreme 1.1.3.

2

La borne explicite inferieure se calcule facilement en utilisant la proposition 1.1.3.

Remarque : Si B² = (degx(p) + 1) e

e^;1 alors nous pouvons dans certains cas diminuer la valeur de la borne en posant

T(x) = A⁺_n(x)x^{deg(Am);deg(An)+1;}(A⁺_m(x) + A⁺_n(x)):

Le polyn^ome T ainsi construit verie pour tout x > max(Bc;(deg(Am)^;deg(An) + 1)^e;1e ) q(x;e^x)T(x) et lim_x

!+1

T(x) = +¹:

De ce fait

B³ = max(Bc;(deg(Am)^;deg(An) + 1)^e;1e ;C(T)) est une autre borne associee a p.

1.1.4 Exemples

Considerons les trois polyn^omes en x et e^x suivants:

p¹(x;e^x) =e^3x;e^2x(^;4x³+ 7x + 3) + e^x(x^;1)^;3x^6;6x⁴+x^3;7x^;2 p²(x;e^x) =e^8x(x^3;4x²+ 7)^;e^5x(x^34;345x^27;1453x² + 234x^;4) +e^4x(3x⁶³

+7x³⁴+4578x^22;1243x¹³+4x^12;387x¹¹+765x^7;3x³+986x^2;70)+x⁴+36x^3;4x+13 p³(x;e^x) =e^6x(x^3;6)^;e^5x(x^23;4x¹⁴+x²+ 12x^;18)^;e^3x(x^24;59x¹⁷+ 123x^2;24x

;12) +e^x(x^20;18x¹⁸+ 7)^;x^14;4x⁷+x + 5

Pour chaque polyn^ome, et en utilisant les bornes que nous avons decrites plus haut, voici les intervalles contenant toutes les racines reelles que nous obtenons.

p B¹ B² B³

p¹ [-10.34,19.34] [-21.73,21.73] [-6.34,21.73]

p² [-1043785,235005] [-1527,1527] [-4579,4579]

p³ [-5139,6019] [-162.76,162.76] [-125,132.96]

p¹ est un polyn^ome dont les coecients et les degres sont reduits. De ce fait, la borne de Cauchy du resultantR est petite et apres quelques iterations de Newton, nous obtenons une majoration meilleure que (degx(p¹) + 1)^e;1e .

p², au contraire, a de gros coecients. La borne de Cauchy du resultant est alors un trop grand majorant de la derniere racine de q(x;e^x).

La troisieme borne est ici egale a la borne de Cauchy du polyn^ome S².

Sur ce type de polyn^omes, la deuxieme methode a pour avantage de creer un polyn^ome S dont la borne de Cauchy est toujours voisine de 1, car le coecient de t^ete est tres important.

Ainsi sur cet exemple,B² prend pour valeur Bc.

Enn, sur le troisieme exemple,B² est egale a (degx(p¹)+1)^e;1e . La troisieme methode nous permet de rabaisser le degre et ainsi d'obtenir une meilleure borne.

1.2 Bornes pour fonctions exp-log

Nous avons obtenu trois approches permettant de determinerun un majorant et un minorant de l'ensemble des racines reelles.