Université Paris Sud Année 2016–2017
L2/S3 M261 PMCP Algèbre Linéaire II
TD n
◦II
Exercice A : (Groupe symétrique et signature)
Pour tout n ∈ N∗, on noteSn l’ensemble des bijections de [1;n[⊂ N muni de la loi de composition des applications, qui est un groupe appelégroupe symétrique d’ordren. Poursets′des éléments deSn,on notess′ la composée desets′. On appellepermutationousubstitutionun élément deSn.
Dans la suite, on fixen∈N∗.Pourai ∈[1, n],1≤i≤ℓ≤n,on note(a1, ...aℓ)la permutations∈ Sntelle que
s(ai) =ai+1 ∀1≤i≤ℓ−1 et s(aℓ) =a1. 1) (Exemples)
Simplifier, quand c’est possible, les écritures suivantes :
(1,2)2, (1,2,3)2, (1,2,3)3,
(1,2,3,4)k, 1≤k≤4, (1,2,3,4)(1,4,3,2), (1,2,3,4)(1,3)(1,2,3,4)−1, (1,2)(2,3), (1,2)(3,4)2
, (1,2)(3,4,5)6
, (1,2,3)(4,5,6)3
, (1,2,3)(4,5,6)(1,2,3)−1(4,5,6)−1 2) (Orbites et décomposition en produit de cycles)
Pour touts∈ Sn,on définit la relationRssur[1, n]de la manière suivante : pour tout(a, b)∈[1, n]×[1, n], aRsbs’il existek∈Ztel quea=sk(b).
a) Vérifier que, pour touts∈ Sn, Rsest une relation d’équivalence.
Pour touta∈[1, n],la classe deaselonRsest notéeOs(a)et est appeléeorbitedeasouss.Si une orbite est un singleton, on dira qu’elle esttriviale, sinon on dira qu’elle estnon triviale.
Pour s ∈ Sn, la réunion de ses orbites non triviales est appelée support de s. Une permutation qui n’a qu’une orbite non triviale est appeléecycle. Lalongueurd’un cycle est le nombre d’éléments de son orbite non triviale. Un cycle de longueur2 (ou2-cycle) est appelé transposition. Un cycle de longueurn (oun-cycle) est appelépermutation circulaire.
b) Montrer que sic1etc2sont deux cycles dansSnde supports disjoints alors c1c2 = c2c1 .
c) Soits∈ SnetOi,1≤i≤d,ses orbites non triviales. Pour tout1≤i≤d,on définitci ∈ Snpar : ci(a) :=
( s(a) a∈Oi a sinon.
Montrer que lesci,1≤i≤d,sont des cycles de supports deux à deux disjoints et que s= Πdi=0ci.
3) (Engendrement par les transpositions)
a) Pour toutai ∈[1, n],1≤i≤ℓ≤n,montrer que
(a1, ..., aℓ) = (a1, a2)(a2, a3)...(aℓ−1, aℓ). 1
b) En déduire que pour touts∈ Sn,il existertranspositionsti,1≤i≤r,telles que s = t1◦...◦tr.
Exercice B : Calculer les déterminants des matrices suivantes :
2 5 1
3 −1 4
1 2 6
,
1 1 1
a b c
b+c c+a a+b
,
a c c b
c a b c
c b a c
b c c a
,
c a b c
a c c b
b c c a
c b a c
,
a x y z
b x y z
c x′ y′ z′ d x′ y′ z′
,
1 +a b a b
b 1 +a b a
a b 1 +a b
b a b 1 +a
,
a a a2 b+c+d a b b2 c+d+a a c c2 d+a+b a d d2 a+b+c
,
1 0 a a2 0 1 b b2 1 0 c c2 0 1 d d2
.
Exercice C : (Multilinéarité du déterminant) 1) On se donne dansR4les vecteurs :
v1 := (2,0,0,0), v2 := (1,2,0,0), v3 := (1,2,3,0), v4 := (1,2,3,4) et
f1 := (1,2,1,0), f2 := (1,0,1,1), f3 := (1,1,0,1), f4 := (0,1,2,0). a) Montrer que B={f1, f2, f3, f4}est une base deR4.
b) Calculer detB((v1, v2, v3, v4)).
2) Soientn∈N∗,Kun corps et(v1, . . . , vn)unn-uplet d’éléments deKn. Calculer en fonction dedet((v1, . . . , vn)) :
a) det((v1−v2, v2−v3, . . . , vn−v1), b) det((v1+v2, v2+v3, . . . , vn+v1)).
Exercice D : Soit la matrice
A :=
m−2 2 −1
2 m 2
2m 2m+ 2 m+ 1
.
1) Calculerdet(A).
2) Soitul’endomorphisme deR3 dont la matrice par rapport à la base canonique estA.Pour quelles valeurs de mest-ce un automorphisme deR3?
3) On posem= 1.Trouver une base du noyau deu.
2
Exercice E : (Déterminants par blocs)
Pour toutn∈N∗,on noteIn∈ Mn(R)la matrice identité. Dans la suitepetqsont dansN∗. 1) Soient
A∈ Mp(R) etB ∈ Mq(R). a) Calculer en fonction dedet(A)etdet(B)
det(
A 0 0 Iq
) et det(
Ip 0 0 B
).
b) En déduiredet(
A 0 B
)en fonction dedet(A)etdet(B).
Indication : Utiliser la multiplicativité du déterminant.
2) Soient
A∈ Mp(R), B∈ Mq(R) etC∈ Mp,q(R)
a) Calculerdet(
A C 0 Iq
)en fonction dedet(A).
b) Pour
M :=
A C 0 B
∈ Mp+q(R), calculerdet(M)en fonction dedet(A)etdet(B).
Exercice F : Soitnun entier supérieur ou égal à3.On se place dansRn.On noteeile vecteur deRndont la i-ième composante est égale à 1 et toutes les autres sont nulles. Écrire la matricen×ndont les vecteurs colonnesCi sont donnés parCi := ei+enpour1≤i≤n−1etCn=e1+e2+en.Calculer alors son déterminant.
Exercice G : Soitaun réel différent de 1. Pourn∈N, n≥2,on note
Dn :=
1 +a2 a 0 · · · 0 a 1 +a2 a . .. ...
0 a . .. . .. 0
... . .. . .. 1 +a2 a 0 · · · 0 a 1 +a2
.
1) CalculerDn+2en fonction deDn+1etDn. 2) On pose ∆n := Dn+1−Dn.
Calculer∆net en déduireDn. 3) Combien vautDnsia= 1 ?
Exercice H : (Déterminants de Vandermonde)
Soienta1, . . . , an∈K.Ledéterminant de Vandermondeassocié auxai est : V(a1, . . . , an) := det(
aji−1
).
1) Calculer et factoriserV(a, b)etV(a, b, c).
3
2) Pourx∈K,montrer que
V(a1, . . . , an, x) = V(a1, . . . , an)
n
Y
i=1
(x−ai).
3) En déduire l’expression générale deV(a1, . . . , an).
Exercice I : Soit(a, b)∈R2aveca6=b.Pourn∈N, n≥2,on noteBnle déterminant suivant :
Bn :=
a+b a 0
b . .. ...
. .. ... a
0 b a+b
.
1) Montrer que
∀n∈N, n≥4, Bn = (a+b)Bn−1−abBn−2 . 2) Montrer que
∀n∈N, n≥2, Bn = an+1−bn+1 a−b . 3) Que vautBnsia=b?
Exercice J : (Matrice compagnon)
Pour(a0, . . . , an−1) ∈Rn,on noteA(a0...an)la matrice
A(a0...an
−1) :=
0 0 · · · 0 a0 1 0 . .. ... ... 0 1 . .. 0 ...
... . .. ... 0 an−2
0 · · · 0 1 an−1
et àλ∈R,on associe
∆(a0...an
−1)(λ) := det(A(a0,...,an
−1)−λId). 1) a) Calculer∆(a0...an
−1)(λ)en fonction de∆(a1...an
−1)(λ)eta0. b) Calculer∆(a0...an−1)(λ)en fonction de∆(a0...an−2)(λ)etan−1. 2) Déduire de l’une des deux formules précédentes∆(a0...an
−1)(λ).
Exercice K : Soit u l’application de Rn[X] dans Rn[X]définie par u(P) = P +P′.Calculer det(u).Même question lorsqueu(P) =XP′+P(1).
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